Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 04

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 146-158).

NOTE IV.

SUR LA MANIÈRE DE TROUVER UNE LIMITE PLUS PETITE QUE LA PLUS PETITE DIFFÉRENCE ENTRE LES RACINES D’UNE ÉQUATION DONNÉE.

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La détermination de cette limite est nécessaire pour pouvoir former une suite de nombres dont la substitution successive fasse connaître d’une manière certaine toutes les racines réelles de l’équation proposée (n^o 6). Le moyen le plus direct d’y parvenir est de calculer, comme nous l’avons proposé, l’équation même dont les racines seraient les différences entre celles de l’équation donnée, et de déterminer ensuite, par les méthodes connues, la limite de la plus petite racine de cette équation. Mais, pour peu que le degré de l’équation proposée soit élevé, celui de l’équation des différences monte si haut, qu’on est effrayé de la longueur du calcul nécessaire pour trouver la valeur de tous les termes de cette équation, puisque, le degré de la proposée étant $m,$ on a ${\frac {m(m-1)}{2}}$ coefficients à calculer, et que, pour employer les séries du n^o 8, il faudrait en tout calculer $2m(m-1)$ termes.

Comme cet inconvénient pourrait rendre la méthode générale presque impraticable dans les degrés un peu élevés, je me suis longtemps occupé des moyens de l’affranchir de la recherche de l’équation des différences, et j’ai reconnu en effet que, sans calculer en entier cette équation, on pouvait néanmoins trouver une limite moindre que la plus petite de ses racines, ce qui est le but principal du calcul de cette même équation.

1. En effet, soit l’équation proposée en $x$

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

que je représenterai, pour plus de simplicité, par

$\mathrm {X} =0\,;$

qu’on en déduise cette équation en $u$ du degré $m-1$ (n^o 8)

$\mathrm {Y} +\mathrm {Z} u+\mathrm {V} u^{2}+\ldots +u^{m-1}=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots ,\\\mathrm {Z} =&{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}-{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} x^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}-\ldots ,\end{aligned}}$

savoir,

$\mathrm {Y=X',\quad Z={\frac {X''}{2}},\quad V={\frac {X'''}{2.3}}} ,\quad \ldots ,$

$\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ étant les fonctions dérivées de $\mathrm {X}$ ou les coefficients différentiels ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\ {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\ {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}},\ldots .$

On a vu dans le problème du n^o 8 que, si l’on substitue dans cette équation en $u,$ à la place de $x,$ une quelconque des racines de l’équation $\mathrm {X} =0,$ elle aura alors pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres racines de la même équation. Donc, si l’on y substitue successivement les $m$ racines de l’équation $\mathrm {X} =0,$ on aura $m$ équations en $u$ dont les racines seront toutes les différences possibles entre les racines de l’équation proposée par conséquent, il ne s’agira que de trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de chacune de ces $m$ équations.

Donc, si l’on fait $u={\frac {1}{i}},$ ce qui changera l’équation en $u$ en celle-ci

$\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {Z} }{i}}+{\frac {\mathrm {V} }{i^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{i^{m-1}}}=0,$

ou bien, en multipliant par $i^{m-1}$ et divisant par $\mathrm {Y} ,$

$i^{m-1}+\mathrm {\frac {Z}{Y}} i^{m-2}+\mathrm {\frac {V}{Y}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {Y} }}=0,$

tout se réduira à trouver une limite plus grande que la plus grande des racines de cette dernière équation, en supposant qu’on y substitue successivement pour $x$ chacune des $m$ racines de l’équation proposée car, cette limite étant trouvée, si on la nomme $\mathrm {L} ,$ il est visible que ${\frac {1}{\mathrm {L} }}$ sera la limite cherchée plus petite que chacune des $m$ racines.

2. Or on sait (n^o 12) que le plus grand coefficient des termes négatifs d’une équation, pris positivement et augmenté d’une unité, est plus grand que la plus grande de ses racines positives. Ainsi, pour avoir la limite $\mathrm {L} ,$ il n’y aurait qu’à trouver la plus grande valeur négative qui pourrait résulter de la substitution des racines de l’équation $\mathrm {X} =0$ à la place de $x$ dans les coefficients $\mathrm {\frac {Z}{Y}} ,\mathrm {\frac {V}{Y}} ,\ldots$ de l’équation en $i,$ ou une quantité plus grande que cette valeur.

Si ces coefficients ne contenaient que des puissances de $x$ sans dénominateur, on pourrait résoudre la question en substituant à la place de $x,$ dans les termes positifs, une limite plus petite que la plus petite des valeurs positives de $x,$ et, dans les termes négatifs, une limite plus grande que la plus grande de ces valeurs ; car il est visible qu’on aurait, par ce moyen, des quantités négatives plus grandes que les valeurs négatives que chaque coefficient pourrait recevoir par la substitution de chacune des racines positives de la proposée en $x\,;$ et, pour avoir égard aux racines négatives de la même équation, il n’y aurait qu’à changer dans les expressions des mêmes coefficients $x$ en $-x,$ et substituer ensuite dans les termes positifs une valeur de $x$ plus petite que la plus petite racine négative de cette équation, prise positivement, et dans les termes négatifs une valeur de $x$ plus grande que la plus grande de ces racines.

La plus grande des quantités négatives trouvées de cette manière, prise positivement et augmentée de l’unité, pourrait sans scrupule être employée pour la limite cherchée $\mathrm {L} .$

Toute la difficulté vient donc du dénominateur $\mathrm {Y} ,$ qui contient aussi l’inconnue $x.$ J’avais proposé autrefois de prendre pour $\mathrm {Y}$ une valeur plus petite que chacune de celles qui pourraient résulter de la substitution des racines de l’équation $\mathrm {X} =0$ à la place de $x\,;$ mais la difficulté était d’avoir cette limite, et il ne paraît pas possible de la trouver autrement que par l’équation même dont les différentes valeurs de $\mathrm {Y}$ seraient racines. Pour avoir cette équation, on ferait $\mathrm {Y} =y,$ et l’on élimineraitx au moyen de l’équation $\mathrm {X} =0$ et de celle-ci, $y-\mathrm {Y} =0\,;$ l’équation résultante en $y$ serait du $m$^ième degré, et la limite plus petite que la plus petite de ses racines serait la quantité qu’on pourrait prendre pour $\mathrm {Y} \,;$ mais cette équation en $y$ peut encore être fort longue à calculer, soit qu’on la déduise de l’élimination, soit qu’on veuille la chercher directement par la nature même de ses racines.

3. J’ai fait réflexion, depuis, qu’on pouvait toujours éliminer l’inconnue $x$ du polynôme $\mathrm {Y}$ en le multipliant par un polynôme convenable du même degré $m-1,$ et en faisant disparaître, au moyen de l’équation $\mathrm {X} =0,$ toutes les puissances de $x$ plus hautes que $x^{m-1}.$

En effet, si l’on prend un polynôme tel que

$x^{m-1}-ax^{m-2}+bx^{m-3}-cx^{m-4}+\ldots ,$

que nous nommerons $\xi$ pour abréger, et dans lequel les coefficients $a,b,c,\ldots$ soient arbitraires, et qu’on multiplie le polynôme $\mathrm {Y}$ par celui-ci, on aura un polynôme du degré $2m-2.$ Or, l’équation $\mathrm {X} =0$ donne d’abord la valeur de $x^{m},$ et avec cette valeur on pourra former, en multipliant successivement par $x$ et substituant à mesure la valeur de $x^{m},$ toutes les puissances de $x$ supérieures à $x^{m-1}$ jusqu’à $x^{2m-2}.$ On substituera donc ces valeurs dans le polynôme $\mathrm {Y} \xi ,$ et il s’abaissera à la puissance $m-1\,;$ on fera alors disparaître tous les termes qui contiennent $x,$ en égalant à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera $m-1$ équations linéaires en $a,b,c,\ldots ,$, lesquelles serviront à déterminer ces inconnues dont le nombre est aussi $m-1\,;$ nommant $\mathrm {K}$ le terme ou les termes restants et tout connus, on aura $\mathrm {Y\xi =K} ,$ et par conséquent $\mathrm {Y={\frac {K}{\xi }}} .$

L’équation en $i$ deviendra, par cette substitution,

$i^{m-1}+\mathrm {\frac {Z\xi }{K}} i^{m-2}+\mathrm {\frac {V\xi }{K}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {\xi }{\mathrm {K} }}=0\,;$

et, comme les coefficients $\mathrm {\frac {Z\xi }{K}} ,\mathrm {\frac {V\xi }{K}} ,\ldots$ ne contiennent plus que des puissances de $x$ sans dénominateur, on pourra y appliquer la méthode proposée ci-dessus et trouver une limite $\mathrm {L}$ plus grande que la plus grande des valeurs de $i$.

On pourra réduire aussi les polynômes $\mathrm {Z} \xi ,\ \mathrm {V} \xi ,\ldots$ à ne contenir que des puissances de $x$ moindres que $x^{m-1}$ par les mêmes substitutions des valeurs de $x^{m}$ et des puissances supérieures $x^{m}.$ Cette réduction n’est pas absolument nécessaire, et l’on peut sans inconvénient employer les polynômes tels qu’ils résultent de la multiplication de $\mathrm {Z,V} ,\ldots$ par $\xi \,;$ mais elle est utile pour simplifier le calcul et avoir une limite $\mathrm {L}$ plus approchée.

4. Il est bon de remarquer encore que, comme les valeurs de $u$ qui représentent les différences entre les racines de l’équation proposée peuvent être également positives et négatives, les valeurs de $i$ pourront l’être aussi, puisque nous avons fait $u={\frac {1}{i}}\,;$ d’où il s’ensuit que la limite des valeurs positives de $i$ le sera aussi des valeurs négatives prises positivement, et réciproquement celle des plus grandes valeurs négatives prises positivement le deviendra des plus grandes positives.

On pourra donc, dans l’équation en $i,$ prendre également $i$ positif ou négatif, et par conséquent prendre le second, le quatrième, le sixième, etc. termes de l’équation en $i$ avec des signes contraires, si, de cette manière, il en résulte pour $\mathrm {L}$ une limite moindre.

5. Ayant ainsi trouvé la limite $\mathrm {L} ,$ on aura ${\frac {1}{\mathrm {L} }}$ pour la limite plus petite que la plus petite différence entre les racines de l’équation proposée, et l’on pourra faire $\Delta ={\frac {1}{\mathrm {L} }}$ (n^o 6) pour avoir la suite $\Delta ,2\Delta ,3\Delta ,\ldots$ des nombres dont la substitution successive fera connaître sûrement toutes les racines réelles de la inême équation et donnera leurs premières limites.

Si la quantité $\mathrm {K}$ était nulle, on aurait pour $\mathrm {L}$ une quantité infinie, et la limite ${\frac {1}{\mathrm {L} }}$ deviendrait zéro ce qui indiquerait l’égalité de deux ou plusieurs racines dans l’équation proposée. En effet, s’il y a deux racines égales, il est clair qu’il y aura une des valeurs de $u$ qui sera nulle ; donc le dernier terme $\mathrm {Y}$ de l’équation en $u$ deviendra nul en y substituant pour $x$ une des racines de l’équation $\mathrm {X} =0\,;$ donc cette équation aura lieu en même temps que l’équation $\mathrm {Y} =0,$ c’est-à-dire $\mathrm {X} '=0$ ou ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,$ ce qui revient à ce que l’on sait depuis longtemps. Donc l’équation résultante de celle-ci par l’élimination de $x$ aura lieu aussi. Or, il est facile de voir que cette équation n’est autre chose que l’équation $\mathrm {K} =0\,;$ car, puisque le produit $\mathrm {Y} \xi$ devient $=\mathrm {K}$ par le moyen de l’équation $\mathrm {X} =0,$ on aura $\mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {K} }{\xi }},$ et, par conséquent, l’équation $\mathrm {Y} =0$ donnera $\mathrm {K} =0.$

Lorsqu’on sera assuré par là que l’équation en $x$ a des racines égales, on les trouvera en cherchant le commun diviseur des équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0$ (n^o 15) ; ensuite l’équation en $i$ donnée ci-dessus, étant multipliée par $\mathrm {K}$ et divisée par $\mathrm {Z} \xi ,$ deviendra, à cause de $\mathrm {K} =0,$

$i^{m-2}+\mathrm {\frac {V}{Z}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {Z} }}=0,$

à laquelle on pourra appliquer la même méthode pour trouver une limite plus grande que les valeurs de $i\,;$ et ainsi de suite.

Au reste, comme, avant d’entreprendre la résolution d’une équation par quelque méthode que ce soit, il est toujours nécessaire de s’assurer si elle a des racinés égales, parce que ces racines peuvent se déterminer à part d’une manière rigoureuse, on voit que le calcul de la quantité $\mathrm {K}$ est indispensable lorsqu’on ne calcule pas l’équation des différences, car l’équation $\mathrm {K} =0$ est proprement celle que l’on trouve par les méthodes ordinaires lorsqu’on cherche les conditions de l’égalité des racines. Ainsi, à cet égard, la méthode que nous proposons n’allonge point le calcul nécessaire pour la résolution des équations.

6. La quantité $\mathrm {K}$ étant connue, tout se réduit à chercher une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative des quantités $\mathrm {\frac {Z\xi }{K}} ,\ \mathrm {\frac {V\xi }{K}} ,$$\ldots ,\mathrm {\frac {\xi }{K}} ,$ coefficients de l’équation en $i\,;$ pour cela, on substituera à la place de $x$ une quantité plus petite que la plus petite des racines positives de l’équation $\mathrm {X} =0$ dans les termes positifs de ces coefficients, et une quantité plus grande que la plus grande de ces racines dans les termes négatifs ; ensuite, ayant changé dans ces mêmes coefficients $x$ en $-x,$ on substituera de même dans les termes positifs une quantité plus petite que la plus petite des racines négatives, et dans les termes négatifs une quantité plus grande que la plus grande des racines négatives de la même équation, en prenant ces racines positivement. Le plus grand résultat négatif qu’on aura de cette manière, étant pris positivement et augmenté de l’unité, donnera la valeur de la limite $\mathrm {L}$ que l’on cherche.

Pour avoir ces quantités plus grandes et plus petites que les racines de l’équation $\mathrm {X} =0,$ on pourrait prendre tout de suite le plus grand coefficient des termes négatifs de cette équation, augmenté de l’unité, pour la quantité plus grande que ses racines positives ; ensuite, après avoir échangé dans la même équation $x$ en ${\frac {1}{x}}$ et fait disparaître par la multiplication les puissances négatives de $x,$ on prendrait de même le plus grand coefficients des termes qui seraient de signe différent du premier, et l’unité divisée par ce coefficient augmenté de l’unité serait la quantité plus petite que les mêmes racines. À l’égard des racines négatives, on changerait dans l’équation $x$ en $-x$ pour les rendre positives, et l’on trouverait de la même manière les quantités plus grandes et plus petites que ces racines.

Mais, quoique les limites qu’on trouvera par cette méthode soient toujours exactes, elles peuvent néanmoins être trop éloignées entre elles, ce qui aurait l’inconvénient de donner pour la limite $\mathrm {L}$ une quantité trop grande, et par conséquent pour la différence $\Delta$ des termes de la suite une quantité trop petite d’où résulterait un trop grand nombre de substitutions successives à faire dans l’équation proposée pour en découvrir toutes les racines (n^o 6).

7. Il est donc utile d’avoir des limites plus resserrées, et l’on pourra les trouver par la méthode exposée dans le n^o 12. Suivant l’esprit de cette méthode, il ne s’agira que de chercher d’abord une valeur de $x$ qui rende positives les valeurs des fonctions $\mathrm {X,X',X''} ,\ldots ,$ ce qui n’est pas difficile en commençant par la dernière, où $x$ n’est qu’à la première dimension, et remontant successivement à celles qui précèdent. Cette valeur sera la limite plus grande que toutes les racines positives de l’équation $\mathrm {X} =0.$ Pour avoir ensuite une limite plus petite que ces racines, on transformera la fonction $\mathrm {X}$ en y substituant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x,$ et la multipliant par $x^{m}$ pour faire disparaître les puissances négatives, et, si le terme où est $x^{m}$ se trouve négatif, on changera tous les signes pour le rendre positif. On prendra cette nouvelle fonction pour $\mathrm {X} ,$ et, en ayant déduit les fonctions $\mathrm {X',X''} ,\ldots ,$ on cherchera de nouveau la valeur de $x$ qui rendra toutes ces fonctions positives. L’unité divisée par cette valeur donnera une limite plus petite que toutes les racines positives de la même équation $\mathrm {X} =0.$ Enfin on changera dans ces deux séries les fonctions $x$ en $-x,$ en changeant en même temps tous les signes, si la plus haute puissance de $x$ se trouve affectée du signe $-\,;$ et les valeurs de $x$ qui les rendront toutes positives seront les limites plus grandes et plus petites que les racines négatives de la même équation prises positivement.

8. Pour donner un exemple de la méthode que nous venons d’exposer, nous l’appliquerons à l’équation

$x^{3}-7x+7=0,$

que nous avons résolue dans le n^o 27.

On aura donc ici

$\mathrm {X} =x^{3}-7x+7,$

et les fonctions dérivées seront

$\mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {X} ''=6x,\quad \mathrm {X} '''=6,\quad \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;$

donc

$\mathrm {Y} =\mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {X} ''}{2}}=3x,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {X} '''}{2.3}}=1,$

et l’équation en $u$ sera du second degré.

On prendra pour $\xi$ le polynôme indéterminé du second degré

$x^{2}+ax+b,$

et, en le multipliant par le polynôme $\mathrm {Y} ,$ on aura

$\mathrm {Y} \xi =3x^{4}+3ax^{3}+(3b-7)x^{2}-7ax-7b.$

Mais l’équation $\mathrm {X} =0$ donne

$x^{3}=7x-7\,;$

donc

$x^{4}=7x^{2}-7x.$

Faisant ces substitutions, on aura

$\mathrm {Y} \xi =(3b+14)x^{2}+(14a-21)x-21a-7b.$

On fera donc

$3b+14=0,\quad 14a-21=0,\quad -21a-7b=\mathrm {K} ,$

d’où l’on tire

$a={\frac {3}{2}},\quad b=-{\frac {14}{3}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {K} ={\frac {7}{6}}.$

Ainsi, puisque la quantité $\mathrm {K}$ n’est pas nulle, on en conclura d’abord que l’équation n’a pas de racines égales.

Maintenant on aura

$\xi =x^{2}+{\frac {3x}{2}}-{\frac {14}{3}},$

et de là, en multipliant par $\mathrm {Z} =3x$ et substituant pour $x^{3}$ sa valeur,

$\mathrm {Z} \xi ={\frac {9x^{2}}{2}}+7x-21\,;$

de sorte que les deux coefficients de l’équation en $i$ seront

${\frac {27x^{2}+42x-126}{7}},\quad {\frac {6x^{2}+9x-28}{7}}\,;$

et il ne s’agira plus que de trouver une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative que ces coefficients puissent avoir sans connaître les valeurs de $x\,;$ or c’est à quoi on peut parvenir par le moyen des limites de ces valeurs.

9. Pour cela, on commencera par chercher des limites plus grandes et plus petites que les valeurs de $x,$ tant positives que négatives. Je remarque d’abord que, le plus grand coefficient des termes négatifs dans l’équation en $x$ étant $7,$ on pourrait prendre $8$ pour la limite plus grande que les racines positives ; mais on peut trouver une limite moindre par la considération des fonctions $\mathrm {X,X',X''} ,$ savoir,

$x^{3}-7x+7,\quad 3x^{2}-7,\quad 6x,$

en cherchant une valeur de $x$ qui les rende toutes positives on trouve que $x=2$ satisfait à ces conditions, de sorte que $2$ sera une limite plus grande que les racines positives.

Si l’on change dans ces mêmes fonctions $x$ en $-x,$ en changeant en même temps les signes, s’il est nécessaire, pour que le premier terme soit toujours positif, on a celles-ci

$x^{3}-7x-7,\quad 3x^{2}-7,\quad 6x\,;$

et l’on voit que, pour les rendre toutes positives, il faut faire en nombres entiers $x=4\,;$ mais, en nombres fractionnaires, il suffit de $x=3+{\frac {1}{10}}\,:$ ainsi ${\frac {31}{10}}$ sera une limite plus grande que les racines négatives prises positivement.

On transformera maintenant la fonction $x$ par la substitution de ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x,$ et, l’ayant multipliée par $x^{3}$ pour faire disparaître les puissances négatives, on aura, après avoir divisé par $7,$ coefficient du premier terme, cette fonction transformée

$x^{3}-x^{2}+{\frac {1}{7}},$

dont les deux fonctions dérivées seront

$3x^{2}-2x,\quad 6x-2,$

qu’il faudra rendre positives pour une valeur supposée de $x.$ Or on trouve que $1$ satisfait à ces conditions ; mais on peut y satisfaire par un nombre moindre, comme ${\frac {3}{4}}.$ Ainsi ${\frac {4}{3}}$ sera une limite plus petite que les racines positives.

Enfin, en changeant dans ces mêmes fonctions $x$ en $-x$ et changeant en même temps tous les signes de la première et de la troisième pour rendre les premiers termes positifs, on a celles-ci

$x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{7}},\quad 3x^{2}+2x,\quad 6x+2,$

et l’on trouvera aisément qu’elles deviennent toutes positives en faisant $x={\frac {1}{3}}\,;$ d’où il s’ensuit que $3$ sera une limite moindre que les racines négatives prises positivement.

On a donc, pour les limites des racines positives, les nombres ${\frac {4}{3}}$ et $2,$ et, pour celles des racines négatives prises positivement, les nombres $3$ et ${\frac {31}{10}}.$

On substituera donc d’abord, à la place de $x,$ ${\frac {4}{3}}$ dans les termes positifs et $2$ dans les termes négatifs des deux quantités

${\frac {27x^{2}+42x-126}{7}},\quad {\frac {6x^{2}+9x-28}{7}},$

et l’on trouvera les résultats $-{\frac {22}{7}}$ et ${\frac {-16}{21}}\,;$ comme le premierde ces deux résultats est le plus grand, il est bon de voir si, en changeant tous les signes de la première quantité, ce qui la réduit à

${\frac {-27x^{2}-42x+126}{7}},$

et substituant de même ${\frac {4}{3}}$ dans les termes positifs et $2$ dans les termes négatifs, au lieu de $x,$ on aurait un résultat moindre ; mais on trouve celui-ci ${\frac {-174}{7}},$ qui est au contraire plus grand, et par conséquent inutile.

On changera maintenant dans ces mêmes quantités $x$ en $-x,$ ce qui les changera en celles-ci

${\frac {-27x^{2}-42x+126}{7}},\quad {\frac {6x^{2}-9x-28}{7}},$

et l’on y substituera $3,$ à la place de $x,$ dans les termes positifs, et ${\frac {31}{10}}$ dans les termes négatifs ; il viendra ces résultats $-{\frac {66}{35}}$ et $-{\frac {19}{70}}\,;$ et, comme le résultat de la première quantité est moindre que l’un de ceux que nous avons déjà trouvés, il est inutile d’en chercher un autre en changeant les signes de cette quantité.

Puisque $-{\frac {22}{7}}$ est le plus grand résultat négatif, on aura

$\mathrm {L} ={\frac {22}{7}}+1,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \Delta ={\frac {1}{\mathrm {L} }}={\frac {7}{29}}$

pour la limite cherchée, moindre que la plus petite différence entre les racines de l’équation proposée.

Nous avons trouvé par l’équation même des différences $\Delta ={\frac {1}{3}}$ (n^o 27) ; d’où l’on voit que la méthode précédente donne à la vérité une limite un peu plus petite, mais que la différence est peu considérable. Au reste, quoique pour une équation du troisième degré il n’y ait guère rien à gagner par cette méthode sur la longueur du calcul, il n’en sera pas de même pour les équations des degrés supérieurs, car le nombre des opérations que cette méthode exige n’augmente que comme le degré de l’équation, au lieu que celui des opérations nécessaires pour calculer l’équation des différences et en déduire la limite cherchée augmente comme les carrés de ce même degré.