Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 10

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 234-257).

NOTE X.

SUR LA DÉCOMPOSITION DES POLYNÔMES D’UN DEGRÉ QUELCONQUE
EN FACTEURS RÉELS.

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1. Je me propose de montrer dans cette Note comment tout polynôme d’un degré quelconque peut toujours se résoudre en polynômes réels du premier ou du second degré. En regardant un polynôme comme composé d’autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant de la plus haute puissance de l’indéterminée, on voit clairement qu’il ne peut avoir pour diviseurs que des polynômes composés de quelques-uns de ses facteurs ; d’où il suit d’abord que, si $m$ est le degré du polynôme donné, il pourra avoir autant de diviseurs différents du degré $n$ qu’il y a de manières de prendre n choses sur $m$ choses, c’est-à-dire, par la théorie des combinaisons, qu’il y a d’unités dans le nombre

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2.3\ldots n}},$

que nous désignerons par $\mu$ dans la suite.

Cette seule considération nous met en état de déterminer a priori les coefficients du polynôme diviseur sans passer par les opérations longues et pénibles de la méthode ordinaire, fondée sur la division ou sur la comparaison du produit de deux polynômes indéterminés avec le polynôme diviseur, et sur l’élimination successive des inconnues.

2. Soit, en effet, le polynôme du degré $m$

$x^{m}-ax^{m-1}+bx^{m-2}-cx^{m-3}+\ldots \pm h,$

que nous supposerons composé des $m$ facteurs simples

$x-\alpha ,\quad x-\beta ,\quad x-\gamma ,\quad x-\delta ,\quad \ldots .$

En développant le produit de ces facteurs et le comparant terme à terme avec le polynôme donné, on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}a=&\alpha \quad \,+\beta \quad +\gamma \quad +\delta \ \ \ +\ldots ,\\b=&\alpha \beta \ \ +\alpha \gamma \ \ +\beta \gamma \ \ +\alpha \delta +\ldots ,\\c=&\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\beta \gamma \delta +\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h=&\alpha \beta \gamma \delta \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on représente de même par

$x^{n}-px^{n-1}+qx^{n-2}-rx^{n-3}+\ldots \pm u$

un diviseur du même polynôme, ce polynôme diviseur ne pourra être composé que d’un nombre $n$ des mêmes facteurs simples ainsi l’on aura, en ne prenant que $n$ quantités parmi les $m$ quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$

${\begin{aligned}p=&\alpha \quad +\beta \quad \,+\gamma \ \ +\ldots ,\\q=&\alpha \beta \ \ +\alpha \gamma \ \ +\beta \gamma +\ldots ,\\r=&\alpha \beta \gamma +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u=&\alpha \beta \gamma \ldots .\end{aligned}}$

Comme les coefficients donnés $a,b,c,\ldots ,h$ sont des fonctions des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ dans lesquelles ces quantités entrent toutes également, et qui demeurent ainsi invariables en faisant entre ces mêmes quantités tels échanges que l’on voudra, il s’ensuit que toute expression rationnelle de ces coefficients aura la même propriété ; et, comme les coefficients $p,q,r,\ldots ,u$ du diviseur sont de semblables fonctions, mais seulement d’un nombre $n$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est évident que ces coefficients ne peuvent pas être exprimés par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots \,;$ mais on pourra les faire dépendre chacun d’une équation dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de $a,b,c,\ldots$ en composant cette équation de manière qu’elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de $p,$ ou de $q,$ ou de $r,$ etc., dont le nombre est égal au nombre $\mu$ donné ci-dessus.

3. Considérons le dernier coefficient $u,$ qui est formé du produit de $n$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ on aura

$\alpha \beta \gamma \ldots ,\quad \beta \gamma \delta \ldots ,\quad \alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots$

pour les différentes valeurs de $u.$ Donc, si l’on forme un polynôme du produit de ces facteurs simples

$u-\alpha \beta \gamma \ldots ,\quad u-\beta \gamma \delta \ldots ,\quad u-\alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots ,$

ce polynôme aura la propriété d’être une fonction invariable de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ indépendamment de l’indéterminée $u\,;$ par conséquent, étant développé, tous ses coefficients auront encore la même propriété.

Car soit ce polynôme

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots \pm \mathrm {V} \,;$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\alpha \beta \gamma \ldots +\beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots +\ldots ,\\\mathrm {B} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots +\beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta +\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {V} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots \times \ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont en effet des fonctions invariables de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ Or, on sait que ces sortes de fonctions peuvent toujours être déterminées par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots ,h.$

4. En effet, on peut d’abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d’un même degré des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ comme nous l’avons vu dans la Note VI (n^o 1). Ensuite, si l’on multiplie $\Sigma \alpha ^{\lambda },$ somme des puissances $\alpha ^{\lambda },$ par $\Sigma \alpha ^{\mu },$ somme des puissances $\alpha ^{\mu },$ le produit $\Sigma \alpha ^{\lambda }\times \Sigma \alpha ^{\mu }$ sera égal à $\Sigma \alpha ^{\lambda +\mu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\,;$ ainsi l’on aura la somme des termes $\alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }$ au moyen de celle des puissances. On trouvera pareillement

$\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\times \Sigma \gamma ^{\nu }=\Sigma \alpha ^{\lambda +\nu }\beta ^{\mu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu +\nu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,;$

ainsi l’on aura aussi cette dernière somme en fonction des sommes des puissances, et ainsi de suite.

Maintenant il est facile de voir que toute fonction rationnelle et invariable des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ne peut être formée que d’une ou plusieurs sommes des formes précédentes ; elle pourra donc toujours être déterminée en fonction des coefficients $a,b,c,\ldots .$

C’est là un des principes les plus féconds de la théorie des équations. Newton, et longtemps avant lui Albert Girard, avaient donné la manière de déterminer la somme des puissances des racines d’une équation par des fonctions de ses coefficients. (Voyez, dans l’Ouvrage d’Albert Girard, intitulé Invention nouvelle en Algèbre et imprimé à Amsterdam en 1629, l’exemple second du théorème second.) Euler, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1748, et Cramer, à la fin de son Introduction à l’analyse des lignes courbes, ont fait voir que l’on pouvait toujours déterminer par les coefficients d’une équation les sommes des produits de ses racines, prises deux à deux, trois à trois, etc., et élevées à différentes puissances, et Waring a donné ensuite des formules générales pour trouver ces sortes de fonctions des racines ; mais, dans les cas particuliers, il est peut-être plus simple d’employer la méthode indiquée ci-dessus.

5. À l’égard des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots \,;$ du polynôme, on pourra les calculer de la manière suivante.

On commencera par déterminer les sommes des puissances par ces formules

${\begin{aligned}\Sigma \alpha \ \,=&a,\\\Sigma \alpha ^{2}=&a\Sigma \alpha \ \,-2b,\\\Sigma \alpha ^{3}=&a\Sigma \alpha ^{2}-b\Sigma \alpha +3c,\\.\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ensuite on cherchera les termes $n$^ièmes des séries

$\Sigma \alpha =a,\quad \Sigma \alpha \beta =b,\quad \Sigma \alpha \beta \gamma =c,\quad \ldots ,$

${\begin{array}{llll}\Sigma \alpha ^{2},&\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}={\frac {\Sigma \alpha ^{2}\times \Sigma \alpha ^{2}-\Sigma \alpha ^{4}}{2}},&\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}={\frac {\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\times \Sigma \alpha ^{2}-\Sigma \alpha ^{2}\times \Sigma \alpha ^{4}+\Sigma \alpha ^{6}}{3}},&\ldots ,\\\Sigma \alpha ^{3},&\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}={\frac {\Sigma \alpha ^{3}\times \Sigma \alpha ^{3}-\Sigma \alpha ^{6}}{2}},&\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}={\frac {\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\times \Sigma \alpha ^{3}-\Sigma \alpha ^{3}\times \Sigma \alpha ^{6}+\Sigma \alpha ^{9}}{3}},&\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

Ces termes seront les valeurs des sommes

$\Sigma \alpha \beta \gamma \ldots ,\quad \Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots ,\quad \Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}\ldots ,\quad \ldots .$

Enfin on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\Sigma \alpha \beta \gamma \ldots ,\\\mathrm {B} =&{\frac {\mathrm {A} \Sigma \alpha \beta \gamma \ldots -\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots }{2}},\\\mathrm {C} =&{\frac {\mathrm {B} \Sigma \alpha \beta \gamma \ldots -\mathrm {A} \Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots +\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}\ldots }{3}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Au reste il est visible qu’on aura d’abord sans calcul les valeurs du premier coefficient $\mathrm {A}$ et du dernier $\mathrm {V} \,;$ car le coefficient $\mathrm {A}$ est évidemment égal au coefficient de la puissance $x^{m-n}$ dans le polynôme donné

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots .$

Quant au coefficient $\mathrm {V} \,;$ il est visible qu’il doit être de la forme

$\alpha ^{\nu }\beta ^{\nu }\gamma ^{\nu }\delta ^{\nu }\ldots =h^{\nu },$

et, pour déterminer l’exposant $\nu ,$ il suffira de considérer que ce coefficient doit être le produit de $\mu$ quantités, dont chacune est le produit de $n$ quantités prises parmi les $m$ quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ de sorte que ce coefficient sera de la dimension $n\mu \,;$ donc il faudra que $m\nu =n\mu ,$ et par conséquent $\nu ={\frac {\mu n}{m}}.$

Donc, puisque

$\mu ={\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}},$

on aura

$\nu ={\frac {(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots (n-1)}},$

et la valeur de $\mathrm {V}$ sera $h^{\nu }.$

Ayant ainsi la valeur du dernier coefficient $\mathrm {V}$ du polynôme en $u,$ on pourra se contenter de calculer directement la première moitié des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de ce polynôme. Car soient $\mathrm {T,S,R} ,\ldots$ les termes qui précèdent le dernier $\mathrm {V} \,;$ il est facile de voir qu’on aura

$\mathrm {\frac {T}{V}} ={\frac {1}{\alpha \beta \gamma \ldots }}+{\frac {1}{\beta \gamma \delta \ldots }}+{\frac {1}{\alpha \gamma \delta \ldots }}+\ldots .$

Or, si l’on désigne par $(n)$ le coefficient de la puissance $x^{n}$ dans le polynôme donné on aura aussi

${\frac {(n)}{h}}={\frac {1}{\alpha \beta \gamma \ldots }}+{\frac {1}{\beta \gamma \delta \ldots }}+{\frac {1}{\alpha \gamma \delta \ldots }}+\ldots .$

Donc $\mathrm {\frac {T}{V}} ={\frac {(n)}{h}},$ et par conséquent $\mathrm {T} ={\frac {(n)\mathrm {V} }{h}}.$

Ensuite, si l’on désigne par $g,f,e,\ldots$ les coefficients du polynôme donné qui précèdent le dernier $h,$ lorsqu’on aura trouvé l’expression de $\mathrm {B}$ en $a,b,c,\ldots ,$ il n’y aura qu’à y changer $a$ en ${\frac {g}{h}},$ $b$ en ${\frac {f}{h}},$ $c$ en ${\frac {e}{h}}$ etc., pour avoir la valeur de $\mathrm {\frac {S}{V}} \,;$ et, faisant les mêmes changements dans l’expression de $\mathrm {C} ,$ on aura la valeur de $\mathrm {\frac {R}{V}} ,$ et ainsi de suite.

Ayant ainsi formé le polynôme en $u,$ si on le fait égal à zéro, on aura une équation dont les racines seront $\alpha \beta \gamma ,\ldots \ \beta \gamma \delta ,\ldots \ \alpha \gamma \delta ,\ldots \ \ldots$ et qui servira, par conséquent, à déterminer la valeur de $u$. Il ne restera donc plus qu’à trouver les valeùrs de tous les autres coefficients $p,q,r,\ldots$ du polynôme diviseur.

6. La manière la plus simple de trouver ces coefficients est de faire la division actuelle du polynôme

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots$

par le polynôme

$x^{n}-px^{n-1}+\ldots \pm u,$

jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste dans lequel la plus haute puissance de $x$ soit moindre que $x^{n}\,;$ alors, en égalant à zéro chacun des termes de ce reste, pour qu’il devienne nul indépendamment de l’inconnue $x,$ on aura $n$ équations entre les $n$ coefficients $p,q,\ldots ,u,$ et l’on pourra, généralement parlant, par ces équations, déterminer les valeurs de $p,q,\ldots$ en fonctions rationnelles de $u.$ On aurait ensuite l’équation même en $u$ par la substitution de ces valeurs dans l’équation restante ; mais, comme on ne voit pas de cette manière de quel degré devrait être cette équation finale en $u,$ qu’on pourrait même parvenir à une équation en $u$ d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être, ce qui est l’inconvénient ordinaire des méthodes d’élimination, nous avons cru devoir montrer comment on peut trouver cette équation a priori et s’assurer du degré précis auquel elle doit monter.

Par la même raison, nous croyons qu’il est nécessaire d’avoir une méthode directe pour trouver les expressions des coefficients $p,q,\ldots$ en $u$ et pour être assuré que ces expressions peuvent toujours être rationnelles, excepté les cas particuliers où elles doivent dépendre d’équations du second ou du troisième degré, comme nous l’avons déjà observé dans la Note précédente. Voici donc comment, en supposant l’équation en $u,$ on peut avoir la valeur des coefficients $p,q,\ldots$ en fonction de $u$.

7. Je considère que, la quantité $x$ étant indéterminée, on peut mettre $x-i$ à la place de $x,$ tant dans le polynôme donné

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots$

que dans le polynôme diviseur

$x^{n}-px^{n-1}+\ldots .$

Par cette substitution, le premier de ces polynômes deviendra

$x^{m}-a_{1}x^{m-1}+b_{1}x^{m-2}-\ldots \pm h_{1},$

où l’on aura

${\begin{aligned}a_{1}=&a+mi,\\b_{1}=&b+(m-1)ai+{\frac {m(m-1)}{2}}i^{2},\\c_{1}=&c+(m-2)bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h_{1}=&h+gi+fi^{2}+ei^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et le second polynôme deviendra pareillement

$x^{n}-p_{1}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}-\ldots \pm u_{1},$

en faisant

${\begin{aligned}p_{1}=&p+ni,\\q_{1}=&q+(n-1)pi+{\frac {n(n-1)}{2}}i^{2},\\r_{1}=&r+(n-2)qi+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}pi^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{1}=&u+ti+si^{2}+ri^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

D’où l’on peut conclure que, si dans l’équation en $u$

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\ldots \pm \mathrm {V} =0,$

dans laquelle les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont des fonctions de $a,b,c,\ldots ,h,$ on substitue respectivement $a_{1},b_{1},c_{1},\ldots ,h_{1}$ au lieu de ces quantités, la valeur de $u$ deviendra celle de $u_{1},$ quelle que soit la valeur de $i,$ de sorte que, en développant les termes suivant les puissances de $i,$ il faudra que la somme de tous les termes multipliés par une même puissance soit nulle, ce qui donnera plusieurs équations, dont chacune servira à déterminer un des coefficients $t,s,r,\ldots$ par les précédents.

8. On pourra même trouver directement ces équations par l’algorithme des fonctions dérivées. En effet, si l’on met partout ${\frac {i}{m}}$ à la place de $i,$ il s’ensuivra des formules précédentes que, $a$ devenant $a+i,$ $b$ deviendra

$b+{\frac {m-1}{m}}ai+{\frac {m(m-1)}{2m^{2}}}i^{2},$

c deviendra

$c+{\frac {m-2}{m}}bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2m^{2}}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3m^{3}}}i^{3},$

etc., et enfin $u$ deviendra

$u+{\frac {t}{m}}i+{\frac {s}{m^{2}}}i^{2}+{\frac {r}{m^{3}}}i^{3}+\ldots .$

Donc, si l’on regarde, ce qui est permis, les coefficients $b,c,\ldots ,h$ et $u$ comme des fonctions de $a,$ et qu’on se rappelle que, $a$ devenant $a+i,$ toute fonction de $a,$ comme $u,$ devient

$u+iu'+{\frac {i^{2}}{2}}u''+{\frac {i^{3}}{2.3}}u'''+\ldots ,$

on pourra supposer

${\begin{alignedat}{3}b'=&{\frac {m-1}{m}}a,&b''=&{\frac {m(m-1)}{m^{2}}},&b'''=&0,\\c'=&{\frac {m-2}{m}}b,\quad &c''=&{\frac {(m-1)(m-2)}{m^{2}}}a,\quad &c'''=&{\frac {m(m-1)(m-2)}{m^{3}}},\quad c^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\d'=&{\frac {m-3}{m}}c,&d''=&{\frac {(m-2)(m-3)}{m^{2}}}b,&d'''=&{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{m^{3}}}a,\\\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}&d^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{m^{4}}},\quad d^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&u'={\frac {t}{m}},\quad u''={\frac {2s}{m^{2}}},\quad u'''={\frac {2.3r}{m^{3}}},\quad \ldots ,\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à prendre les fonctions dérivées successives de l’équation en $u$ et $y$ faire les substitutions précédentes.

9. Supposons

$\mathrm {Z} =u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots \pm \mathrm {V} ,$

en sorte que $\mathrm {Z} =0$ soit l’équation qui détermine la valeur de $u\,;$ cette quantité $\mathrm {Z} ,$ étant regardée comme une fonction de $a,$ donnera les équations dérivées

$\mathrm {Z} '=0,\quad \mathrm {Z} ''=0,\quad \mathrm {Z} '''=0,\quad \ldots .$

Mais, pour pouvoir distinguer dans ces fonctions ce qui est dû en particulier aux variations des quantités $a,b,c,\ldots ,h$ et $u,$ nous représenterons en général, à l’imitation de ce qu’on pratique dans le calcul qu’on appelle aux différences partielles, par $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right),\ldots$ les coefficients des fonctions dérivées $a',b',c',\ldots$ dans l’expression de $\mathrm {Z} ',$ par $\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right),$$\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right),\ldots$ les coefficients des quantités $a'^{2},\ a'b',\ b'^{2},\ldots$ dans l’expression générale de $\mathrm {Z} '',$ et ainsi de suite, et nous appellerons de même ces fonctions fonctions dérivées partielles. Lorsque $a$ est la variable principale dont les autres sont ou peuvent être censées fonctions, on aura $a'=1\,;$ mais nous retiendrons la lettre $a'$ sous les lettres $\mathrm {Z',Z''} ,\ldots$ pour représenter en général les coefficients des termes de $\mathrm {Z',Z''} ,\ldots$ qui contiendraient cette même lettre, si $a$ était une fonction quelconque d’une autre variable principale, et pour dénoter par conséquent ce qui est dû en particulier à la variation de $a.$

Cette notation est plus nette et plus expressive que celle que j’ai employée dans la Théorie des fonctions, en plaçant les accents différemment, suivant les différentes variables auxquelles ils se rapportent. En la substituant à celle-ci, l’algorithme des fonctions dérivées conservera tous les avantages du Calcul différentiel, et aura de plus celui de débarrasser les formules de cette multitude de $d$ qui les allongent et les défigurent même en quelque façon, et qui rappellent continuellement à l’esprit l’idée fausse des infiniment petits.

10. On aura ainsi, en regardant toutes les quantités $a,b,c,\ldots ,$, $h$ et $u$ comme les fonctions quelconques d’une variable primitive,

$\mathrm {Z} '=\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)b'+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right)c'+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)u',$

et, prenant de nouveau les fonctions dérivées,

${\begin{aligned}\mathrm {Z} ''=&\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)a''+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)b''+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right)c''+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)u''\\&+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right)a'^{2}+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right)a'b'+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right)b'^{2}+\ldots \\&+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'u'}}\right)a'u'+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'u'}}\right)b'u'+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{c'u'}}\right)c'u'+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right)u'^{2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, faisant

$a'=0,\ \ a''=0,\ \ \ldots ,$

$b'={\frac {m-1}{m}}a,\ \ b''={\frac {m(m-1)}{m^{2}}},\ \ b'''=0,\ \ c'={\frac {m-2}{m}}b,\ \ \ldots ,$

comme nous l’avons trouvé ci-dessus, on aura les équations $\mathrm {Z} '=0,\ \mathrm {Z} ''=0,\ldots ,$ savoir

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right){\frac {m-1}{m}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right){\frac {m-2}{m}}b+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right){\frac {t}{m}}=0,$

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)&{\frac {m(m-1)}{m^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right){\frac {(m-1)(m-2)}{m^{2}}}a+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right){\frac {2s}{m^{2}}}\\+&\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right)+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right){\frac {m-1}{m}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right)\left({\frac {m-1}{m}}a\right)^{2}+\ldots \\+&2\left[\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'u'}}\right){\frac {1}{m}}+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'u'}}\right){\frac {m-1}{m^{2}}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{c'uu'}}\right){\frac {m-2}{m^{2}}}b+\ldots \right]t\\+&\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right){\frac {t^{2}}{m^{2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}=0,$

et ainsi de suite, dans lesquelles les fonctions dérivées partielles

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right),\quad \left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right),\quad \ldots ,\quad \left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right),\quad \ldots$

seront des fonctions connues de $a,b,c,\ldots ,u.$

La première équation donnera donc la valeur de $t,$ la seconde donnera celle de $s,$ etc., en fonctions rationnelles de $a,b,c,\ldots ,u,$ à moins que la fonction partielle $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ ne devienne nulle, auquel cas la première équation ne contiendra plus $t,$ ni la seconde $s,$ etc. Dans ce cas donc, il faudra tirer la valeur de $t$ de la seconde équation, dans laquelle $t$ monte au second degré, et les équations suivantes donneront alors les valeurs de $s,r,\ldots$ par des fonctions rationnelles. Si la fonction dérivée $\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right)$ était aussi nulle, l’équation en $t$ ne serait plus que du premier degré, et, si la somme des fonctions qui multiplient $t$ était nulle en même temps, la quantité $t$ disparaîtrait de la seconde équation et ne pourrait être donnée que par la troisième, où elle monterait au troisième degré, et ainsi de suite.

Or, la fonction partielle $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ est égale à

$\mu u^{\mu -1}-(\mu -1)\mathrm {A} u^{\mu -2}+(\mu -2)\mathrm {B} u^{\mu -3}-\ldots ,$

et l’on voit que l’équation

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)=0$

renferme les conditions de l’égalité des racines de l’équation

$\mathrm {Z} =0.$

D’où il s’ensuit que, si cette équation a des racines égales, et qu’on emploie pour la valeur de $u$ une des racines égales, en sorte que la fonction $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ devienne nulle en même temps que $\mathrm {Z} ,$ le coefficient $t$ dépendra alors d’une équation particulière du second degré, et, par conséquent, tous les autres coefficients du polynôme diviseur dépendront à la fois de la résolution des deux équations en $u$ et en $t.$ Nous en avons donné ci-dessus (Note précédente, n^o 13) la raison métaphysique tirée de l’égalité des racines ; mais on en a ici une démonstration analytique rigoureuse.

11. Une conséquence essentielle qui résulte des formules précédentes, c’est que, tant que la fonction $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ ne sera pas nulle, tous les coefficients $t,s,r,\ldots$ seront donnés en fonctions rationnelles du coefficient $u,$ et que, par conséquent, cela aura lieu nécessairement lorsque l’équation en $u$ n’aura point de racines égales, ou du moins lorsqu’on n’emploiera pour la valeur de $u$ que des racines inégales.

Or, j’observe qu’on peut toujours faire en sorte que l’équation en $u$ n’ait point de racines égales, à moins que le polynôme donné n’ait lui-même des facteurs égaux ; mais, comme on peut éliminer ces facteurs d’avance, on pourra toujours supposer que tous les facteurs de ces polynômes soient inégaux. Cela supposé, si l’on substitue dans ce polynôme $x-\lambda$ à la place de $x,$ ce qui changera les coefficients $a,b,c,\ldots$ en

${\begin{aligned}&a+m\lambda ,\\&b+(m-1)a\lambda +{\frac {m(m-1)}{2}}\lambda ^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les facteurs du nouveau polynôme seront

$x-\alpha -\lambda ,\quad x-\beta -\lambda ,\quad x-\gamma -\lambda ,\quad \ldots ,$

c’est-à-dire que les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ deviendront

$\alpha +\lambda ,\quad \beta +\lambda ,\quad \gamma +\lambda ,\quad \ldots .$

Donc les racines de l’équation en $u$ seront tous les produits possibles de $n$ quantités prises parmi les $m$ quantités $\alpha +\lambda ,\ \beta +\lambda ,\ \gamma +\lambda ,\ \ldots ,$ et il est clair que deux de ces racines ne sauraient devenir égales, à moins qu’il n’y ait deux produits égaux de deux ou de plusieurs dimensions, formés de ces différentes quantités. Or il est visible que, tant que les quantités, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seront inégales, on pourra toujours prendre $\lambda$ de manière qu’aucune de ces égalités n’ait lieu ; car, en considérant, par exemple, les deux produits

$(\alpha +\lambda )(\beta +\lambda )\quad {\text{et}}\quad (\gamma +\lambda )(\delta +\lambda ),$

qui se réduisent à

$\lambda ^{2}+(\alpha +\beta )\lambda +\alpha \beta \quad {\text{et}}\quad \lambda ^{2}+(\gamma +\delta )\lambda +\gamma \delta ,$

on voit qu’il n’y a qu’une valeur de $\lambda$ui puisse les rendre égaux, et que par conséquent il y en aura une infinité qui les rendront inégaux, à moins que l’on n’ait

$\alpha +\beta =\gamma +\delta \quad {\text{et}}\quad \alpha \beta =\gamma \delta ,$

ce qui emporterait l’égalité de $\alpha$ et $\beta$ avec $\gamma$ et $\delta .$

Il en sera de même des produits d’un plus grand nombre de facteurs, d’où l’on conclura, en général, qu’on peut toujours transformer ainsi le polynôme primitif, en augmentant l’indéterminée $x$ d’une quantité quelconque, de manière que l’équation résultante en $u$ n’ait point de racines égales.

12. Nous venons de donner non-seulement la manière, mais les formules mêmes par lesquelles on pourra toujours trouver un diviseur d’un degré $n$ d’un polynôme quelconque du degré $m,$ et nous venons de démontrer par ces formules que ce diviseur ne dépendra que de la racine d’une seule équation du degré $\mu ,$ savoir

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

Il suffira donc que cette équation ait une racine réelle pour que tout le diviseur soit réel ; mais, comme il n’y $a,$ en général, que les équations d’un degré impair, ou celles des degrés pairs dont le dernier terme est négatif, où l’on soit assuré de l’existence d’une racine réelle, il reste à voir quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquelles ces conditions auront nécessairement lieu.

Quel que soit le nombre $m,$ il est toujours réductible à la forme $2^{\rho }i$ $i$ étant un nombre impair. Supposons $n=2^{\rho }\,;$ on aura

$\mu ={\frac {2^{\rho }i\left(2^{\rho }i-1\right)\left(2^{\rho }i-2\right)\ldots \left(2^{\rho }i-2^{\rho }+1\right)}{1.2.3\ldots 2^{\rho }}},$

ou bien, ce qui est la même chose,

$\mu ={\frac {2^{\rho }i\left(2^{\rho }i-1\right)\left(2^{\rho }i-2\right)\ldots \left(2^{\rho }i-2^{\rho }+1\right)}{2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho }+1\right)}},$

et, divisant le haut et le bas de cette fraction par $2^{\rho },$ ensuite par $2,$ par $4,$ etc., on aura

$\mu ={\frac {i\left(2^{\rho }i-1\right)\left(2^{\rho -1}i-1\right)\ldots \left(2^{\rho }i-2^{\rho }+1\right)}{\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho -1}-1\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho }+1\right)}}.$

Comme le numérateur et le dénominateur ne contiennent plus que des facteurs impairs, et que le nombre $\mu$ est par sa nature un nombre entier, il s’ensuit qu’il sera nécessairement impair.

Il s’ensuit de là que tout polynôme du degré $2^{\rho }i$ peut toujours avoir un diviseur réel du degré $2^{\rho }\,;$ le polynôme restant après la division sera donc aussi réel et du degré $2^{\rho }i-2^{\rho },$ savoir $2^{\rho }(i-1)\,;$ or, $i$ étant un nombre impair, $i-1$ sera un nombre pair, qu’on pourra représenter par $2^{\sigma }k,$ $k$ étant un nombre impair ; le polynôme restant sera alors du degré $2^{\rho +\sigma }k$ et aura un diviseur réel du degré $2^{\rho +\sigma },$ et ainsi de suite. Comme de cette manière tout nombre entier peut être décomposé en un certain nombre de puissances croissantes de $2,$ comme $2^{\rho }+2^{\rho +\sigma }+\ldots ,$ il s’ensuit que tout polynôme d’un degré quelconque pourra être décomposé immédiatement en un pareil nombre de polynômes dont les degrés seront ces mêmes puissances de $2.$

13. Il reste donc à considérer les polynômes dont le degré est une simple puissance de $2.$ Faisons dans la formule générale de $\mu$

$m=2^{\rho }\quad {\text{et}}\quad n={\frac {m}{2}}=2^{\rho -1}\,;$

on aura

${\begin{aligned}\mu =&{\frac {2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{123\ldots 2^{\rho -1}}}\\=&{\frac {2^{\rho }\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho }-2\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{2^{\rho -1}\left(2^{\rho -1}-1\right)\left(2^{\rho -1}-2\right)\ldots \left(2^{\rho -1}-2^{\rho -1}+1\right)}}\,;\end{aligned}}$

divisant le haut et le bas de cette fraction par $2^{\rho -1}$ et ensuite par $2,$

par $4,$ etc., on aura

$\mu ={\frac {2\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho -1}-1\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{\left(2^{\rho -1}-1\right)\left(2^{\rho -2}-1\right)\ldots \left(2^{\rho -1}-2^{\rho -1}+1\right)}}.$

Comme tous les facteurs du numérateur, à l’exception du premier $2,$ ainsi que tous les facteurs du dénominateur, sont impairs, il s’ensuit que le nombre $\mu ,$ qui est d’ailleurs entier par sa nature, sera nécessairement de la forme $2i,$ $i$ étant un nombre impair.

Considérons dans ce cas l’équation en $u\,;$ puisque le degré du diviseur est la moitié de celui du polynôme, les racines de cette équation seront tous les produits qu’on pourra faire en prenant la moitié des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ dont le nombre est supposé pair. Donc, puisque le produit de toutes ces quantités est $h,$ il s’ensuit que, si $u$ est un de ces produits partiels, ${\frac {h}{u}}$ en sera un autre ; par conséquent, si $u$ est une racine de l’équation dont il s’agit, ${\frac {h}{u}}$ en sera une aussi. Cette équation devra donc demeurer la même, en y substituant ${\frac {h}{u}}$ pour $u$.

Par cette substitution, l’équation

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots -\mathrm {R} u^{3}+\mathrm {S} u^{2}-\mathrm {T} u+\mathrm {V} =0$

deviendra, après avoir été multipliée par $u^{w}m$ et divisée par $\mathrm {V} ,$

$u^{\mu }-{\frac {h\mathrm {T} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -1}+{\frac {h^{2}\mathrm {S} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -2}-{\frac {h^{3}\mathrm {R} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -3}+\ldots$

$-{\frac {h^{\mu -3}\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}u^{3}+{\frac {h^{\mu -2}\mathrm {B} }{\mathrm {V} }}u^{2}-{\frac {h^{\mu -1}\mathrm {A} }{\mathrm {V} }}u+{\frac {h^{\mu }}{\mathrm {V} }}=0,$

et, comme ces deux équations doivent être identiques, on aura

$\mathrm {A} ={\frac {h\mathrm {T} }{\mathrm {V} }},\quad \mathrm {B} ={\frac {h^{2}\mathrm {S} }{\mathrm {V} }},\quad \mathrm {C} ={\frac {h^{3}\mathrm {R} }{\mathrm {V} }},\quad \ldots \,;$

mais on a trouvé ci-dessus $\mathrm {V} =h^{\nu },$ $\nu$ étant $={\frac {\mu n}{m}}={\frac {\mu }{2}}$ (à cause de $m=2n,$ dans le cas présent), et par conséquent impair ; on aura donc

$\mathrm {T=A} h^{\nu -1},\quad \mathrm {S=B} h^{\nu -2},\quad \mathrm {R=C} h^{\nu -3},\quad \ldots \,;$

ainsi, en substituant $2\nu$ à la place de $\mu$ et réunissant les termes également éloignés du milieu, l’équation en $u$ deviendra

$u^{2\nu }+h^{\nu }-\mathrm {A} \left(u^{2\nu -1}+h^{\nu -1}u\right)+\mathrm {B} \left(u^{2\nu -2}+h^{\nu -2}u^{2}\right)$

$-\mathrm {C} \left(u^{2\nu -3}+h^{\nu -3}u^{3}\right)+\ldots =0.$

14. C’est la forme générale des équations qu’on appelle réciproques, et qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié.

En effet, en divisant l’équation précédente par $u^{\nu },$ elle devient

$u^{\nu }+{\frac {h^{\nu }}{u^{\nu }}}-\mathrm {A} \left(u^{\nu -1}+{\frac {h^{\nu -1}}{u^{\nu -1}}}\right)+\mathrm {B} \left(u^{\nu -2}+{\frac {h^{\nu -2}}{u^{\nu -2}}}\right)$

$-\mathrm {C} \left(u^{\nu -3}+{\frac {h^{\nu -3}}{u^{\nu -3}}}\right)+\ldots =0.$

Or, si l’on fait

$y=u+{\frac {h}{u}},$

on aura

${\begin{aligned}y^{2}=&u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}+2h,\\y^{3}=&u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}+3h\left(u+{\frac {h}{u}}\right),\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l‚on tire

${\begin{aligned}u\ \,+{\frac {h}{u}}\ \,=&y,\\u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}=&y^{2}-2h,\\u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}=&y^{3}-3hy,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$u^{\lambda }+{\frac {h^{\lambda }}{u^{\lambda }}}=y^{\lambda }-\lambda hy^{\lambda -2}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}h^{2}y^{\lambda -4}-{\frac {\lambda (\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}h^{3}y^{\lambda -6}+\ldots .$

Par le moyen de ces substitutions, l’équation en $u$ du degré $2\nu$ sera transformée en une équation en $y$ du degré $\nu ,$ laquelle sera de la forme

$y^{\nu }-(\mathrm {A} )y^{\nu -1}+(\mathrm {B} )y^{\nu -2}-(\mathrm {C} )y^{\nu -3}+\ldots =0,$

en supposant

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&\mathrm {A} ,\\(\mathrm {B} )=&\mathrm {B} -\nu h,\\(\mathrm {C} )=&\mathrm {C} -(\nu -1)h\mathrm {A} ,\\(\mathrm {D} )=&\mathrm {D} -(\nu -2)h\mathrm {B} +{\frac {\nu (\nu -3)}{2}}h^{2},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ensuite on aura $u$ en $y$ par l’équation

$u^{2}-uy+h=o,$

laquelle donne

$u={\frac {y+{\sqrt {y^{2}-4h}}}{2}}.$

15. Maintenant on voit qu’il suffit de calculer directement la moitié des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation en $u,$ ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l’exposant $\mu$ est dans le cas présent un nombre de la forme $2i,$ $i$ étant impair, le nombre $\nu$ sera impair, et par conséquent l’équation en $y$ aura nécessairement une racine réelle.

Mais, pour que $u$ ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la valeur de $y$ soit réelle, il faut encore que $y^{2}-4h$ soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque $h$ a une valeur négative ; ainsi, dans ce cas, le polynôme du degré $2^{\rho }$ est résoluble par deux polynômes réels du degré $2^{\rho -1}.$ Mais, si $h$ a une valeur positive, il faut voir de plus si l’on peut toujours trouver une valeur réelle de $y,$ telle que $y^{2}>4h.$

16. Soit donc

$y^{2}-4h=z\,;$

qu’on substitue, dans l’équation précédente en $y,$ ${\sqrt {z+4h}}$ au lieu de $y,$ on aura, après avoir fait disparaître le radical par l’élévation au carré et ordonné les termes suivant les puissances de $z,$ une équation en $z$ du même degré $\nu ,$ laquelle aura nécessairement une racine réelle

positive si son dernier terme est négatif. Or, puisque $\nu$ est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris négativement ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de $z$ est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de $h$ soit positive.

Puisque

$z=y^{2}-4h\quad {\text{et}}\quad y=u+{\frac {h}{u}},$

on aura

$z=u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}-2h=\left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}.$

Or $u$ a pour valeurs tous les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble une moitié des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et nous avons déjà vu que les valeurs de ${\frac {h}{u}}$ sont les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble l’autre moitié des mêmes quantités ; donc les valeurs de $u-{\frac {h}{u}}$ seront deux à deux égales et de signe contraire ; par conséquent, on aura toutes les valeurs différentes de $z$ en ne donnant à $u$ que la moitié de ses différentes valeurs, et il est évident que le produit de toutes les valeurs de $z$ sera positif si le produit des valeurs de $u-{\frac {h}{u}}$ peut être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients $a,b,c,\ldots ,$ car alors son carré sera nécessairement une quantité positive.

S’il n’y a, par exemple, que quatre quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ toutes les valeurs de $u$ seront

$\alpha \beta ,\ \ \alpha \gamma ,\ \ \alpha \delta ,\ \ \beta \gamma ,\ \ \beta \delta ,\ \ \gamma \delta ,$

et les valeurs différentes de $u-{\frac {h}{u}}$ seront, en ne prenant pour $u$ que les trois premiers produits,

$\alpha \beta -\gamma \delta ,\ \ \alpha \gamma -\beta \delta ,\ \ \alpha \delta -\beta \gamma \,;$

le produit de ces trois quantités, étant développé, donne

$\alpha ^{3}\beta \gamma \delta +\alpha \beta ^{3}\gamma \delta +\alpha \beta \gamma ^{3}\delta +\alpha \beta \gamma \delta ^{3}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\delta ^{2}-\alpha ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2},$

où l’on voit que la partie positive et la partie négative sont chacune une fonction invariable et symétrique des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ et peuvent par conséquent être déterminées en $a,b,c,d$ par les formules données plus haut.

17. Généralisons maintenant ce résultat et désignons, pour plus de simplicité, par $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les différents produits qu’on peut faire avec la moitié des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ en y conservant une même quantité $\alpha ,$ et par $p,q,r,\ldots$ les produits formés par l’autre moitié des mêmes quantités, et que j’appellerai réciproques. Je vais d’abord prouver que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ et leurs réciproques $p,q,r,\ldots$ renferment toutes les valeurs de $u.$ On a vu que ces valeurs sont au nombre de $\mu ,$ et, à cause de $m=2n,$ on a

$\mu ={\frac {2n(2n-1)(2n-2)\ldots (n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

D’un autre côté, comme on a supposé que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ contiennent toutes une même quantité $\alpha ,$ il est clair que le nombre de ces quantités sera celui de tous les produits qu’on peut faire en ne prenant que $n-1$ quantités sur $2n-1$ quantités ; donc ce nombre sera

${\frac {(2n-1)(2n-2)\ldots (n+1)}{1.2\ldots (n-1)}}={\frac {\mu }{2}}=\nu .$

Donc, puisque les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ forment la moitié de toutes les valeurs de $u,$ il suffira de prendre ces quantités pour les différentes valeurs de $u,$ et $p,q,r,\ldots$ seront les valeurs correspondantes de ${\frac {h}{u}}.$ Ainsi il s’agira de voir si le produit

$(\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots$

est nécessairement, une fonction invariable des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ auquel cas on sera assuré qu’il peut être déterminé rationnellement par les coefficients $a,b,c,\ldots .$ D’abord il est évident que toutes les permutations qu’on peut faire des quantités $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ entre elles ne peuvent que faire échanger les produits $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ entre eux, et leurs

réciproques en même temps entre eux, de sorte qu’il ne peut résulte de ces permutations aucun changement dans le produit

$(\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots .$

Considérons ensuite les échanges de $\alpha$ contre chacune des autres quantités $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \,;$ il est clair que, en échangeant $\alpha$ en $\beta ,$ celles des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui contiennent à la fois $\alpha$ et $\beta$ ne souffriront aucun changement ; il n’y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point $\beta .$ Or, si $\mathrm {P}$ par exemple ne contient point $\beta ,$ comme les deux produits $\mathrm {P}$ et $p$ contiennent toutes les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il s’ensuit que $\beta$ sera contenu dans $p,$ et ainsi des autres ; donc, par l’échange de $\alpha$ en $\beta ,$ toute quantité $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {Q} ,$ etc., qui ne contiendra point $\beta$ ne pourra que devenir une des réciproques $p,q,r,\ldots ,$ qui sont supposées ne point contenir $\alpha \,;$ ainsi $\mathrm {P}$ deviendra par exemple $q,$ et alors $\mathrm {Q}$ deviendra nécessairement $p\,;$ donc $\mathrm {P} -p$ deviendra $q-\mathrm {Q} ,$ et en même temps $\mathrm {Q} -q$ deviendra $p-\mathrm {P} .$ D’où l’on peut conclure en général que, par les échanges de $\alpha$ en $\beta ,\gamma ,\ldots ,$ les différents facteurs $\mathrm {P} -p,\ \mathrm {Q} -q,\ \mathrm {R} -r,\ \ldots$ ne pourront que rester les mêmes, ou s’échanger entre eux, en changeant en même temps de signe.

18. Maintenant, si l’on cherche le nombre des produits $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui ne changeront pas par l’échange de $\alpha$ en $\beta ,$ ce nombre sera celui de ces produits où $\alpha$ et $\beta$ se trouveront ensemble ; donc, le nombre total des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant $2n$ et le nombre de ces quantités dans chaque produit étant $n,$ le nombre des produits qui contiendront à la fois $\alpha$ et $\beta$ sera celui des combinaisons qu’on peut faire en prenant $n-2$ choses sur $2n-2$ choses ; par conséquent, il sera exprimé par

${\frac {(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2\ldots (n-2)}}\,;$

comparant ce nombre au nombre $\nu$ donné ci-dessus, il pourra s’exprimer par

${\frac {\nu (n-1)}{2n-1}}.$

Or, le nombre total des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ étant $\nu ,$ si l’on en retranche le nombre ${\frac {\nu (n-1)}{2n-1}},$ on aura

${\frac {n\nu }{2n-1}}$

pour le nombre des produits $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui, par l’échange de $\alpha$ en $\beta$ se changeront dans les réciproques $p,q,r,\ldots \,;$ par conséquent, ce nombre sera aussi celui des facteurs $\mathrm {P} -p,\ \mathrm {Q} -q,\ \mathrm {R} -r,\ldots ,$ qui changeront de signe par ce même échange ; donc, tant que $n$ sera un nombre pair, et par conséquent tant que l’exposant $m=2n$ sera une puissance de $2$ plus grande que $2,$ le nombre dont il s’agit sera nécessairement pair, d’où il s’ensuit que le produit total

$(\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots$

ne changera pas par l’échange de $\alpha$ en $\beta \,;$ il en sera de même des autres échanges de $\alpha$ en $\gamma ,\delta ,\ldots .$

Donc enfin ce produit sera une fonction invariable des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et pourra, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots ,$ du polynôme donné. Donc l’équation en $z$ du degré impair $\nu$ aura son dernier terme négatif ; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (n^o 3).

En prenant cette valeur positive pour $z,$ on aura

$\left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}=z,$

et de là

$u-{\frac {h}{u}}={\sqrt {z}}\,;$

donc

$u^{2}-u{\sqrt {z}}-h=0,$

et de là

$u={\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\pm {\sqrt {{\frac {z}{4}}+h}},$

quantité nécessairement réelle, puisque nous avons supposé la quantité $h$ positive (n^o 16).

Donc tout polynôme du degré $2^{\rho },$ tant que $\rho$ serâ plus grand que l’unité, soit-que son dernier terme la soit positif ou négatif, pourra se décomposer, par les formules que nous venons de donner, en deux polynômes réels du degré $2^{\rho -1},$ et l’on aura ces deux polynômes à la fois en employant la double valeur de $u$. Donc, en combinant cette conclusion avec celle qu’on a trouvée plus haut pour tout polynôme du degré $2^{\rho }i,$ on en conclura généralement qu’on peut toujours résoudre un polynôme quelconque en facteurs réels du premier ou du second degré.

19. En appliquant aux équations la théorie que nous venons de donner sur la décomposition des polynômes, on voit qu’on peut toujours résoudre une équation quelconque en deux autres équations, dont les coefficients seront réels et ne dépendront que de la racine réelle d’une équation de degré impair. Or nous avons vu dans le Chapitre I qu’on peut tout de suite avoir les limites de cette racine par la simple substitution des nombres naturels $1,2,3,\ldots ,$ et que, ayant les premières limites, il est facile de les resserrer à volonté par des substitutions successives.

Ainsi, lorsque l’équation donnée est numérique, on pourra la résoudre en deux autres équations numériques dont les coefficients seront aussi exacts qu’on voudra, et, résolvant de même chacune de celles-ci en deux autres, on parviendra enfin à des équations du premier ou du second degré, lesquelles donneront par conséquent immédiatement toutes les racines réelles et les racines imaginaires. De là naît une méthode de résoudre les équations numériques qui est indépendante de la recherche des limites entre racines et qui, à cet égard, paraît avoir quelque avantage sur la méthode des deux premiers Chapitres. Mais, d’un autre côté, il faut avouer que, à l’exception de quelques cas particuliers où la décomposition de l’équation est facile, cette méthode sera impraticable par la multiplicité et la longueur des opérations qu’elle peut demander. Aussi l’objet principal de cette Note est de prouver a priori la possibilité de la décomposition des polynômes et des équations en facteurs réels du premier ou du second degré, objet qui n’avait pas encore été rempli d’une manière directe et complète.