Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 06

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 48-61).

LEÇON SIXIÈME.

Fonctions dérivées des quantités de différentes fonctions d’une même variable, ou dépendantes de ces fonctions par des équations données.

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Les fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières Leçons sont comme les éléments dont se composent toutes les fonctions qu’on peut former par des opérations algébriques ; c’est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples ; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d’une manière quelconque.

Nous supposerons en général que $p,q,r,\ldots$ soient des fonctions quelconques d’une même variable, dont les fonctions dérivées $p',q',r',\ldots$ soient connues, et que $y$ soit une fonction composée de $p,q,r,\ldots ,$ dont on demande la fonction dérivée $y'.$

On considérera que, $x$ devenant $x+i,$ $y$ deviendra en général

$y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots \,;$

or $p,q,r,\ldots$ deviennent en même temps

$p+ip'+\ldots ,\quad q+iq'+\ldots ,\quad r+ir'+\ldots \,;$

il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de $y,$ développer les termes suivant les puissances de $i,$ et le coefficient de $i$ sera la valeur cherchée de $y'.$

Ainsi, si

$y=\mathrm {A} p+\mathrm {B} q+\mathrm {C} r+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients quelconques, on aura sur-le-champ

$y'=\mathrm {A} p'+\mathrm {B} q'+\mathrm {C} r'+\ldots .$

Si $y=\mathrm {A} pq,$ la quantité $pq$ deviendra

$(p+ip'+\ldots )(q+iq'+\ldots )=pq+i(qp'+pq')+\ldots \,;$

donc

$y'=\mathrm {A} (qp'+pq').$

Si $y=\mathrm {A} pqr,$ on trouvera de la même manière

$y'=\mathrm {A} (qrp'+prq'+pqr').$

Si $y=\mathrm {A} {\frac {p}{q}},$ la quantité ${\frac {p}{q}}$ deviendra

${\frac {p+ip'+\ldots }{q+iq'+\ldots }}.$

Développant le dénominateur en série, suivant les règles connues, on aura

$(p+ip'+\ldots )\left({\frac {1}{q}}-{\frac {iq'}{q^{2}}}+\ldots \right)={\frac {p}{q}}+i\left({\frac {p'}{q}}-{\frac {pq'}{q^{2}}}\right)+\ldots \,;$

donc

$y'=\mathrm {A} \left({\frac {p'}{q}}-{\frac {pq'}{q^{2}}}\right)=\mathrm {A} \left({\frac {p'q-pq'}{q^{2}}}\right).$

Soit $y=\mathrm {A} p^{m}q^{n},$ la quantité $p^{m}q^{n}$ deviendra

${\begin{aligned}(p+ip'+\ldots )^{m}\left(q+iq'+\ldots \right)^{n}=&\left(p^{m}+mip^{m-1}p'+\ldots \right)\left(q^{n}+niq^{n-1}q'+\ldots \right)\\=&p^{m}q^{n}+i(mp^{m-1}q^{n}p'+nq^{n-1}p^{m}q'+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc

$y'=\mathrm {A} \left(mq^{n}p^{m-1}p'+np^{m}q^{n-1}q'\right).$

On trouvera de la même manière que, si $y=\mathrm {A} p^{m}q^{n}r^{l},$ on aura

$y'=\mathrm {A} \left(mq^{n}r^{l}p^{m-1}p'+np^{m}r^{l}q^{n-1}q'+lp^{m}q^{n}r^{l-1}r'\right),$

et ainsi de suite.

Soit en général $y=f(p)\,;$ en regardant $f(p)$ comme une fonction de $p,$ ses fonctions dérivées seront $f'(p),f''(p),\ldots \,;$ en sorte que, $p$ devenant $p+\omega ,$ $f(p)$ deviendra

$f(p)+\omega f'(p)+{\frac {\omega ^{2}}{2}}f''(p)+\ldots .$

Or, $p$ étant une fonction de $x,$ lorsque $x$ devient $x+i,$ $p$ devient

$p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots .$

Donc, faisant $\omega =ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,$ la fonction $f(p)$ deviendra, par la substitution de $x+i$ à la place de $x,$

$f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots .$

Ainsi l’on aura d’abord $y'=p'f'(p),$ d’où résulte ce principe : que la fonction dérivée d’une fonction, qui est elle-même une fonction de $x,$ est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.

Ce principe sert à généraliser les résultats précédents, relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.

Ainsi :

${\begin{alignedat}{2}{\text{si }}y=&p^{m},\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots \ldots &y'=&mp^{m-1}p'\,;\\{\text{si }}y=&a^{p},\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots \ldots .&y'=&a^{p}p'la\,;\\{\text{si }}y=&\log p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&{\frac {p'}{p}}\,;\\{\text{si }}y=&\sin p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&p'\cos p\,;\\{\text{si }}y=&\cos p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&-p'\sin p\,;\\{\text{si }}y=&\operatorname {angle\,sin} p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots &y'=&{\frac {p'}{\sqrt {1-p^{2}}}}\,;\\{\text{si }}y=&\operatorname {angle\,cos} p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ \ &y'=&-{\frac {p'}{\sqrt {1-p^{2}}}}.\end{alignedat}}$

Supposons ensuite que $y$ soit une fonction de $p$ et $q,$ que nous désignerons par $f(p,q)\,;$ il s’agira de substituer $x+i$ à la place de $x$ dans les deux fonctions $p$ et $q,$ et de trouver ensuite le coefficient de $i$ dans le développement de la fonction composée $f(p,q).$ Or il est visible qu’on aura le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois, soit qu’on les fasse l’une après l’autre, puisque les quantités $p$ et $q$ sont regardées dans ces substitutions comme indépendantes.

En substituant d’abord $x+i$ à la place de $x$ dans la fonction $p,$ la fonction $f(p,q),$ regardée seulement comme fonction de $p,$ deviendra, par ce que nous venons de trouver,

$f(p,q)+ip'f'(p)+\ldots .$

J’écris simplement $f'(p)$ pour désigner la fonction dérivée de $f(p,q)$ relativement à $p$ seul, $q$ étant regardée comme constante.

Substituons ensuite $x+i$ au lieu de $x$ dans la fonction $q,$ la fonction $f(p,q)$ deviendra pareillement

$f(p,q)+iq'f'(q)+\ldots ,$

où $f'(q)$ représente la fonction prime de $f(p,q)$ prise relativement à $q$ seul, $p$ étant regardée comme constante.

Quant au terme $ip'f'(p),$ il est visible qu’étant déjà multiplié par $i$ il se trouverait par cette nouvelle substitution augmenté de termes multipliés par $i^{2},i^{3},\ldots .$

Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de $f(p,q),$ après la substitution de $x+i$ pour $x$ dans $p$ et $q,$ seront simplement

$f(p,q)+ip'f'(p)+iq'f'(q)\,;$

de sorte qu’on aura

$y'=p'f'(p)+q'f'(q)=f'(p,q).$

Si $y$ était une fonction de $p,q,r,$ représentée par $f(p,q,r),$ on trouverait de la même manière

$y'=p'f'(p)+q'f'(q)+r'f'(r)=f'(p,q,r),$

et ainsi de suite.

D’où l’on peut tirer cette conclusion générale, que la fonction dérivée d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions dérivées relatives chacune de ces mêmes fonctions considérées séparément et indépendamment de l’autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffit pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions, ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi la fonction dérivée de $pq$ étant $qp'$ relativement à $p,$ et $pq'$ relativement à $q,$ la fonction dérivée totale sera $qp'+pq',$ comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

De même, en regardant maintenant $p'$ et $q'$ comme de nouvelles fonctions, dont $p''$ et $q''$ sont les fonctions dérivées, la fonction dérivée de $qp'$ sera $q'p'+qp'',$ et la fonction dérivée de $pq'$ sera $p'q'+pq''\,;$ de sorte que la seconde fonction dérivée de $pq$ sera $qp''+2p'q'+pq''\,;$ et ainsi de suite.

Par les mêmes principes, on a

$mq^{n}p^{m-1}p'+np^{m}q^{n-1}q'$

pour la fonction dérivée de $p^{m}q^{n},$ le premier terme étant la fonction dérivée relative à $p,$ et le second étant la fonction dérivée relative à $q\,;$ et ainsi du reste.

Si $p=\sin x$ et $q=\cos x,$ on a $p'=\cos x$ et $q'=-\sin x\,;$ donc, lorsque

$y=\sin ^{m}x\cos ^{n}x,$

on aura

$y'=m\sin ^{m-1}x\cos ^{n+1}x-n\cos ^{n-1}x\sin ^{m+1}x.$

Ainsi, comme la tangente d’un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par le mot $\operatorname {tang}$ placé avant l’angle comme caractéristique, et faisant

$y=\operatorname {tang} x={\frac {\sin x}{\cos x}},$

on aura

$y'=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.$

Et en général, si $y=\operatorname {tang} p,$ on trouvera

$y'={\frac {p'}{\cos ^{2}p}}.$

Mais la fonction $y$ pourrait n’être donnée que par une équation entre $x$ et $y.$ Représentons en général cette équation par

$\operatorname {F} (y,x)=0\,;$

il est clair que, si l’on regarde $y$ comme une fonction de $x$ déterminée par cette équation, et qu’on imagine cette fonction substituée au lieu de $y$ dans $\operatorname {F} (y,x),$ il en résultera une fonction de $x$ qui sera identiquement nulle, quelle que soit la valeur de $x,$ et par conséquent aussi en mettant $x+i$ à la place de $x,$ quelle que soit la valeur de $i.$

Dénotons cette fonction par $z,$ et comme $x,$ devenant $x+i,$ $z$ devient $z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+\ldots ,$ on aura, quelle que soit la valeur de $i,$ l’équation

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+\ldots =0\,;$

d’où l’on tire les équations

$z=0,\quad z'=0,\quad z''=0,\quad \ldots .$

Maintenant, $z$ étant $=\operatorname {F} (y,x),$ on aura, par les formules ci-dessus,

$z'=y'\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(x),$

en dénotant par $\operatorname {F} '(y)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (y,x)$ prise relativement à $y$ seul, et par $\operatorname {F} '(x)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (y,x)$ prise relativement à $x,$ et faisant $x'=1,$ puisque $x$ devient simplement $x+i.$

Ainsi l’équation dérivée $z'=0$ sera

$y'\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(x)=0,$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.$

On aura de cette manière la valeur de $y'$ en fonction de $x$ et $y\,;$ de là, en regardant toujours $y$ comme fonction de $x,$ on pourra déduire la valeur de $y''$ en fonction de $x$ et $y.$ Car, en supposant pour abréger $y'=f(y,x),$ la fonction dérivée de $f(y,x)$ sera de la forme $y'f'(y)+f'(x)\,;$ donc, substituant pour $y'$ sa valeur, on aura

$y''=f(y,x)f'(y)+f'(x),$

et ainsi de suite.

On trouverait les mêmes valeurs de $y'',y''',\ldots ,$ par les équations $z''=0,\ z'''=0,\ \ldots .$

Si l’on avait plus généralement l’équation

$\operatorname {F} (y,p,q,\ldots )=0,$

on trouverait de la même manière l’équation dérivée

$y'\operatorname {F} '(y)+p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots =0\,;$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots }{\operatorname {F} '(y)}}.$

Et, regardant de nouveau la valeur de $y'$ comme une fonction de $y,p,q,\ldots ,$ $p',q',\ldots ,$ sa fonction dérivée sera la valeur de $y''\,;$ et ainsi de suite.

Enfin, si l’on avait deux fonctions $y$ et $u$ données par les équations

$\operatorname {F} (y,u,p,q,\ldots )=0,\quad f(y,u,p,q,\ldots )=0,$

on pourrait par les mêmes opérations trouver immédiatement les valeurs de $y'$ et $u'$ en fonctions de $y,u,p,q,\ldots .$

Car on aurait d’abord les équations dérivées

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(y)+u'\operatorname {F} '(u)+p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots =&0,\\y'\,f'\,(y)+u'\,f'(u)+p'\,f'\,(p)+q'\,f'(q)+\ldots =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirerait $y'$ et $u'\,;$ et ainsi du reste.

Les règles que nous venons d’établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d’un ordre quelconque de toute fonction d’une variable, de quelque manière qu’elle soit donnée, soit explicitement par des expressions déterminées, soit implicitement par des équations quelconques.

À l’égard de la notation que nous avons employée pour représenter séparément chaque partie d’une fonction dérivée, relative à chacune des fonctions particulières qui entrent dans la fonction primitive, on voit qu’elle est très simple et très commode, et nous nous en servirons ainsi dans la suite.

On peut même, par cette notation, ne séparer du reste de la fonction dérivée que la partie relative à une variable donnée. Ainsi les fonctions primes de $p$ et $q,$ ou de $p,q$ et $r$ ou …, peuvent se développer de cette manière,

$f'(p,q)=p'f'(p)+q'f'(q),$

$f'(p,q,r)=p'f'(p)+f'(q,r)=p'f'(p)+q'f'(q)+r'f'(r),$

et ainsi des autres.

Il faut toujours observer de ne renfermer, entre les parenthèses qui suivent la caractéristique $f'$ des fonctions dérivées, que les variables par rapport auxquelles on veut prendre la fonction dérivée.

Lorsqu’il n’y a qu’une seule variable entre les parenthèses, comme $f'(p),$ cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable, comme si elle était seule et unique ; c’est-à-dire que $f'(p)$ sera le coefficient de $i$ dans le développement de la fonction donnée, en y substituant simplement $p+i$ au lieu de $p,$ quelque fonction d’ailleurs que $p$ puisse être de $x.$

Quoiqu’il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des différents ordres les unes des autres, parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées, et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions que consistent l’essence et l’algorithme fondamental du Calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d’une même fonction d’une manière plus directe et plus générale ; c’est ce qui a lieu lorsque le développementde la fonction en série peut s’exécuter facilement par les formules connues.

En effet, si l’on a en général

$y=f(p,q,\ldots ),$

$p,q,\ldots$ étant des fonctions de $x,$ et qu’on substitue $x+i$ à la place de $x,$ cette équation deviendra

$y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots =f\left(p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,\ q+iq'+{\frac {i^{2}}{2}}q''+\ldots \right).$

Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée $i\,;$ de sorte que, si l’on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

$f(p,q,\ldots )+i\mathrm {P} +i^{2}\mathrm {Q} +i^{3}\mathrm {R} +\ldots ,$

on aura sur-le-champ

$y'=\mathrm {P} ,\quad {\frac {y''}{2}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {y'''}{2.3}}=\mathrm {R} ,\quad \ldots .$

Soit, par exemple, $y=pq\,;$ on aura à réduire en série l’expression

$\left(p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots \right)\left(q+iq'+{\frac {i^{2}}{2}}q''+\ldots \right),$

et il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}y'=&pq'+p'q,\\{\frac {y''}{2}}=&{\frac {pq''}{2}}+p'q'+{\frac {p''q}{2}},\\{\frac {y'''}{2.3}}=&{\frac {pq'''}{2.3}}+{\frac {p'q''}{2}}+{\frac {p''q'}{2}}+{\frac {p'''q}{2.3}},\end{aligned}}$

et, en général,

${\frac {y^{(m)}}{2.3\ldots m}}={\frac {pq^{(m)}}{2.3\ldots m}}+{\frac {p'q^{(m-1)}}{2.3\ldots (m-1)}}+{\frac {p''q^{(m-2)}}{2.2.3\ldots (m-2)}}$

$+{\frac {p'''q^{(m-3)}}{2.3.2.3\ldots (m-3)}}+\ldots \,;$

l’exposant placé entre deux parenthèses désignant l’ordre de la fonction dérivée ; de sorte qu’en multipliant par $2.3\ldots m,$ on aura la formule générale

$y^{(m)}=pq^{(m)}+mp'q^{(m-1)}+{\frac {m(m-1)}{2}}p''q^{(m-2)}+\ldots$

En général, si l’on fait $y=pqr,\ldots ,$ on trouvera de la même manière que la valeur de ${\frac {y^{(m)}}{1.2.3\ldots m}}$ sera composée d’autant de termes de la forme

${\frac {p^{(\lambda )}q^{(\mu )}r^{(\nu )}\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }}$

qu’on pourra donner de valeurs différentes aux nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ de manière que l’on ait

$\lambda +\mu +\nu +\ldots =m.$

Supposons

$p=e^{ax},\quad q=e^{bx},\quad r=e^{cx},\quad \ldots ,$

la quantité $e$ étant toujours telle que $le=1\,;$ on aura

$y=e^{(a+b+c+\ldots )x},$

et la fonction dérivée de l’ordre $m$ sera

$y^{(m)}=(a+b+c+\ldots )^{m}y\,;$

on aura de même

$p^{(\lambda )}=a^{\lambda }p,\quad q^{(\mu )}=b^{\mu }q,\quad r^{(\nu )}=c^{\nu }r,\quad \ldots .$

Donc, puisque $y=pqr,\ldots ,$ il s’ensuit que la quantité

${\frac {(a+b+c+\ldots )^{m}}{1.2.3\ldots m}}$

pourra se développer en autant de termes de la forme

${\frac {a^{\lambda }b^{\mu }c^{\nu }\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }}$

qu’il y aura de manières différentes de satisfaire à l’équation

$\lambda +\mu +\nu +\ldots =m,$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé d’une autre manière à la fin de la Leçon IV.

Faisons maintenant

$p=x^{a},\quad q=x^{b},\quad r=x^{c},\quad \ldots .$

on aura

$y=x^{a+b+c+\ldots }=x^{\mathrm {A} },$

en faisant

$\mathrm {A} =a+b+c+\ldots .$

Donc, prenant les fonctions dérivées des ordres $m,\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}y^{(m)}=&\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1)x^{\mathrm {A} -m},\\p^{(\lambda )}=&a\,(a\ -1)(a\ -2)\ldots (a\ -\lambda \,+1)x^{a-\lambda },\\q^{(\mu )}=&b\,(b\,\ -1)(b\ \,-2)\ldots (b\ \,-\mu \,+1)x^{b-\mu },\\r^{(\nu )}=&c\,(c\,\ -1)(c\ \,-2)\ldots (c\ \,-\nu \,+1)x^{c-\nu },\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Donc, puisque

$\mathrm {A} -m=a-\lambda +b-\mu +c-\nu +\ldots ,$

la quantité

${\frac {\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1)}{1.2.3\ldots m}}$

se trouvera composée d’autant de quantités de la forme

${\begin{aligned}&{\frac {a(a-1)(a-2)\ldots (a-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}\\\times &{\frac {b(b-1)(b-2)\ldots (b-\mu +1)}{1.2.3\ldots \mu }}\\\times &{\frac {c(c-1)(c-2)\ldots (c-\nu +1)}{1.2.3\ldots \nu }}\\\times &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

qu’il y a de manières différentes de satisfaire à l’équation

$m=\lambda +\mu +\nu +\ldots ,$

ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d’un multinôme et celui du produit continue] du même degré.

En effet, ayant développé une puissance comme

$(a+b+c+\ldots )^{m}$

en ses différents termes, on aura tout de suite le développement du produit continuel

$\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1),$

où

$\mathrm {A} =a+b+c+\ldots ,$

en substituant dans chaque terme, à la place des puissances $a^{\lambda },b^{\mu },c^{\nu },\ldots ,$ les produits continuels

${\begin{aligned}&a(a-1)(a-2)\ldots (a-\lambda +1),\\&b\,(b\,-1)(b-2)\ldots (b\,-\mu +1),\\&c\,(c\,-1)(c-2)\ldots (c\,-\nu +1),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On trouve une démonstration directe de ce théorème, pour le binôme, dans l’ouvrage de Kramp, qui vient de paraître sous le titre d’Analyse des Réfractions.

Nous terminerons cette Leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées.

Il est facile de se convaincre, par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive, que ces fonctions sont absolument déterminées, de sorte qu’une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi et uniques pour chaque ordre.

Il n’en est pas de même des fonctions primitives à l’égard de leurs dérivées ; car, puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle, il s’ensuit que, si une fonction donnée est primitive à l’égard d’une autre fonction donnée, elle le sera encore, étant augmentée ou diminuée d’une constante quelconque. Ainsi une fonction donnée peut avoir une infinité de fonctions primitives à raison de la constante qu’on y peut ajouter. Mais il ne s’ensuit pas que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible ne puissent différer que par une constante c’est ce que nous allons démontrer.

Soit une fonction donnée $f(x),$ dont $\operatorname {F} (x)$ et $\varphi (x)$ soient également fonctions primitives ; on aura donc, par l’hypothèse,

$\operatorname {F} '(x)=f(x),\quad {\text{et}}\quad \varphi '(x)=f(x)\,;$

donc, prenant les fonctions dérivées successives, on aura aussi

${\begin{array}{lll}\operatorname {F} ''(x)=f'(x),&\operatorname {F} '''(x)=f''(x),&\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

et de même

${\begin{array}{lll}\varphi ''(x)=f'(x),&\varphi '''(x)=f''(x),&\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

Considérons maintenant les fonctions

$\operatorname {F} (x+i)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x+i)\,;$

on a, par le développement,

$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+\ldots \,;$

donc, substituant les valeurs de $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} ''(x),\ldots ,$ on aura

$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+if(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f'(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f''(x)+\ldots ,$

et de même

$\varphi (x+i)=\varphi (x)+if(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f'(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f''(x)+\ldots ,$

donc, retranchant l’une de l’autre ces deux équations, on aura

$\operatorname {F} (x+i)-\varphi (x+i)=\operatorname {F} (x)-\varphi (x).$

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient $x$ et $i,$ et que le premier membre est une fonction de $x+i,$ et le second une pareille fonction de $x,$ il est visible que cette fonction ne peut être qu’une constante indépendante de $x$ et $i.$ On aura donc nécessairement

$\operatorname {F} (x)-\varphi (x)=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante, et par conséquent

$\operatorname {F} (x)=\varphi (x)+K\,;$

d’où l’on-voit que, si $\varphi (x)$ est une fonction primitive de $f(x),$ toute

autre fonction primitive $\operatorname {F} (x)$ de la même fonction $f(x)$ ne pourra différer de $\varphi (x)$ que par une constante.

Il suit de là que, lorsqu’on aura trouvé d’une manière quelconque une fonction primitive d’une fonction donnée, en y ajoutant une constante arbitraire, on aura l’expression générale de la fonction primitive de la fonction donnée.