Mécanique analytique/Fragment 3

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 376-377).

III.

Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation
d’un système quelconque.

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Les expressions que nous avons trouvées, page 215, sont très propres à représenter les valeurs des sommes

_S$\mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right),\quad$_S$\mathrm {m} (\zeta d\eta -\eta d\zeta ),\quad \ldots ,$

relatives à tous les corps $\mathrm {m}$ d’un système quelconque ; car il est clair que les signes sommatoires ne doivent affecter que les coordonnées $a,\,b,\,c,$ et nullement les quantités $\xi ',\,\eta ',\ldots .$ Ainsi l’on aura, après le développement,

_S$\mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)$

$=d\mathrm {P} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(b^{2}+c^{2}\right)+d\mathrm {Q} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+c^{2}\right)+d\mathrm {R} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)$

$-2d\mathrm {P} d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,ab-2d\mathrm {P} d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,ac-2d\mathrm {Q} d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,bc+2d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} (b\,dc-c\,db)$

$+2d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} (c\,da-a\,dc)+2d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} (a\,db-b\,da)+$_S$\mathrm {m} \left(da^{2}+db^{2}+dc^{2}\right),$

_S$\mathrm {m} (\xi d\eta -\eta d\xi )=\zeta 'd\Gamma +\zeta ''d\Delta +\zeta '''d\Lambda ,$

_S$\mathrm {m} (\zeta d\xi -\xi d\zeta )=\eta 'd\Gamma +\eta ''d\Delta +\eta '''d\Lambda ,$

_S$\mathrm {m} (\eta d\zeta -\zeta d\eta )=\xi 'd\Gamma +\xi ''d\Delta +\xi '''d\Lambda ,$

en faisant, pour abréger,

$d\Gamma \,=d\mathrm {P} \,$_S$\mathrm {m} \left(b^{2}+c^{2}\right)-d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,ab-d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,ac+$_S$\mathrm {m} (b\,dc-c\,db),$

$d\Delta =d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+c^{2}\right)-d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} \,ab-d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,bc+$_S$\mathrm {m} (c\,da-a\,dc),$

$d\Lambda \ =d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)-d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} \,ac-d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,bc+$_S$\mathrm {m} (a\,db-b\,da)\,;$

et il est bon de remarquer que les valeurs des quantités $d\Gamma ,\,d\Delta ,\,d\Lambda$ sont les différences partielles de la valeur de

${\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right),$

relatives aux variables $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} .$

Si l’on différentie les trois dernières équations, on aura les valeurs des formules

_S$\mathrm {m} \left(\xi d^{2}\eta -\eta d^{2}\xi \right),\quad$_S$\mathrm {m} \left(\zeta d^{2}\xi -\xi d^{2}\zeta \right),\quad$_S$\mathrm {m} \left(\eta d^{2}\zeta -\zeta d^{2}\eta \right),$

qui entrent dans les équations générales pour le mouvement d’un système quelconque de corps autour de son centre de gravité ou d’un centre fixe, que nous avons données dans l’article 7 de la Section III.

Ces équations deviendront ainsi, en substituant, pour les différentielles de $\xi ',\,\xi '',\ldots ,$ les valeurs de l’article 13,

$\xi '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\xi ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)$

$+\xi '''\left(d^{2}\Lambda -d\Gamma d\mathrm {Q} +d\Delta d\mathrm {P} \right)+$_S$\mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.$

$\eta '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\eta ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)$

$+\eta '''\left(d^{2}\Lambda -d\Gamma d\mathrm {Q} +d\Delta d\mathrm {P} \right)+$_S$\mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.$

$\zeta '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\zeta ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)$

$+\zeta '''\left(d^{2}\Lambda -d\Gamma d\mathrm {Q} +d\Delta d\mathrm {P} \right)+$_S$\mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.$

Si l’on ajoute celles-ci ensemble, après les avoir multipliées respectivement par $\zeta ',\,\eta ',\,\xi ',$ par $\zeta '',\,\eta '',\,\xi ''$ et par $\zeta ''',\,\eta ''',\,\xi ''',$ et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} '&=&\xi '\mathrm {X} &+&\eta '\mathrm {Y} &+&\zeta '\mathrm {Z} ,\\&\mathrm {Y} '&=&\xi ''\mathrm {X} &+&\eta ''\mathrm {Y} &+&\zeta ''\mathrm {Z} ,\\&\mathrm {Z} '&=&\xi '''\mathrm {X} &+&\eta '''\mathrm {Y} &+&\zeta '''\mathrm {Z} ,\end{alignedat}}$

on aura, en vertu des formules des articles 2 et 5, les trois équations suivantes :

$d^{2}\Gamma \ -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} =$_S$\mathrm {m} (c\mathrm {Y} '-b\mathrm {Z} '),$

$d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} \ +d\Gamma d\mathrm {R} \ =$_S$\mathrm {m} (a\mathrm {Z} '-c\mathrm {X} '),$

$d^{2}\Lambda \ -d\Gamma d\mathrm {Q} +d\Delta d\mathrm {P} \,=$_S$\mathrm {m} (b\mathrm {X} '-a\mathrm {Y} '),$

qui ont toute la généralité et la simplicité dont la question est susceptible.