Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur la percussion des fluides

Joseph-Louis Lagrange

Sur la percussion des fluides

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 237-249).

SUR LA
PERCUSSION DES FLUIDES.

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(Miscellanea Taurinensia, t. I, 1784-1785.)

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Parmi un grand nombre de questions que la science des fluides offre à résoudre, celle de la mesure de la force de percussion, qu’une veine d’eau sortant d’un vase ou d’un réservoir quelconque exerce contre un plan, est une des plus importantes, soit par sa difficulté, soit par ses différentes applications. On a eu recours pour la résoudre à la théorie et à l’expérience. La première a donné des résultats divers selon la différence des hypothèses sur lesquelles on l’a appuyée ; car la théorie rigoureuse du mouvement des fluides n’est encore et ne sera de longtemps qu’un objet de pure spéculation, et ce n’est qu’en limitant sa grande généralité par des suppositions plus ou moins conformes à la nature qu’on peut la rendre susceptible de fournir des résultats précis et applicables à la pratique.

M. Daniel Bernoulli paraît être le premier qui ait entrepris de résoudre de cette manière la question dont il s’agit. Sa solution se trouve dans le tome VIII des anciens Commentaires de Pétersbourg, et elle donne, pour le choc perpendiculaire d’une veine d’eau, une force égale au poids d’une colonne d’eau qui aurait pour base la largeur de la veine, et pour hauteur le double de celle dont il faudrait qu’un corps tombât pour acquérir la vitesse de l’eau, c’est-à-dire deux fois la hauteur due à cette vitesse. L’Auteur y confirme ce résultat par quelques expériences ; mais, par d’autres faites par M. Krafft et rapportées dans le même volume, on voit que la force du choc est toujours moindre que la théorie de M. Bernoulli ne la donne.

Depuis, M. d’Alembert a attaqué cette théorie dans ses principes, et a fait voir comment, en envisageant la question sous un point de vue plus exact, on devait parvenir à une formule différente de celle de M. Bernoulli et moins éloignée des expériences de M. Krafft (Théorie de la Résistance des fluides, Chap. VIII).

Enfin M. l’abbé Bossut, à qui nous devons un des meilleurs Traités d’Hydrodynamique théorique et pratique, a cherché de nouveau à décider la question dont il s’agit par des expériences faites avec beaucoup de soin et de scrupule. Elles lui ont donné à peu près, pour la hauteur de la colonne, qui mesure la force du choc direct d’une veine d’eau, le double de la hauteur due à la vitesse, ce qui s’accorde avec le résultat de la solution de M. Bernoulli, quoiqu’on ne puisse disconvenir de l’insuffisance de cette solution, par la manière vague dont l’Auteur considère et calcule l’effet de la percussion d’une veine de fluide contre un plan.

Voici maintenant une nouvelle manière de déterminer cet effet, aussi directe et conforme à la nature des fluides que peut Je permettre le peu de connaissance que l’on a encore des lois de leur mouvement. Cette méthode a de plus l’avantage de s’appliquer également à la percussion directe et à la percussion oblique, et pourra servir non-seulement à fixer sur ce point d’Hydrodynamique l’accord de la théorie avec l’expérience, mais encore à expliquer les anomalies de celle-ci et à rendre ses résultats plus décisifs.

1. Soit $\mathrm {AB}$ (fig. 1) l’orifice du vase ou réservoir quelconque d’où le fluide (l’eau par exemple) s’écoule avec une vitesse uniforme donnée, pour venir frapper perpendiculairement le plan $\mathrm {PQ,}$ en sorte que l’axe de la veine $\mathrm {MN}$ soit perpendiculaire à la droite $\mathrm {PQ}$ et la coupe en deux également au point $\mathrm {N} .$ Comme tout est égal de part et d’autre de cet axe, il est visible que les particules du fluide auront la même disposition et le même mouvement des deux côtés ; de sorte que les deux courbes $\mathrm {AC,BD} ,$ formées par les filets extérieurs de la veine, seront égales et semblablement placées autour de l’axe $\mathrm {MN} .$ Lorsque le fluide est parvenu a un état permanent, ces courbes demeurent invariables et peuvent, par consé-

Fig. 1

quent, être regardées comme des canaux dans lesquels le fluide se meut. Il se forme de semblables canaux dans l’intérieur de la veine, et l’effet de la percussion du fluide contre le plan consiste dans la pression qu’il exerce contre ce plan en vertu de la courbure des canaux et du changement de direction des particules du fluide, lesquelles, sortant du vase dans une direction perpendiculaire au plan, sont forcées par sa rencontre d’en prendre une parallèle ou presque parallèle a ce même plan. Pour pouvoir calculer rigoureusement cette pression, il faudrait donc connaître la figure de tous ces canaux et la loi du mouvement des particules qui les parcourent. Mais, dans la nécessité où l’on est de simplifier cette recherche par quelque supposition ou abstraction, on peut se contenter de considérer les deux canaux extérieurs $\mathrm {AMPC,BMQD} ,$ et de supposer tout le fluide intérieur $\mathrm {MPQ}$ comme étant en repos et stagnant. Si cette supposition n’est pas exactement conforme à la nature, elle en approche du moins beaucoup ; car puisque la veine est forcée par la rencontre du plan de se partager en deux branches égales et qui suivent des directions opposées, il est clair qu’il doit nécessairement y avoir dans l’endroit où les deux branches se séparent une portion de fluide qui n’aura aucun mouvement ; or, plus cette portion sera grande, plus notre

hypothèse approchera de la vérité, et dans tous les cas elle pourra toujours être regardée comme la limite et l’asymptote de ce qui a réellement lieu dans la nature.

2. D’après cette hypothèse, voici comment je détermine le mouvement du fluide et sa pression contre le plan. Puisque rien n’accélère ni ne retarde le mouvement des particules dans les canaux $\mathrm {AC,BD} ,$ leur vitesse sera donc constante et égale à celle que le fluide a en sortant du vase.

Je nommerai a la hauteur due à cette vitesse, c’est-à-dire celle d’où un corps pesant devrait tomber pour acquérir une pareille vitesse.

Comme, à cause de l’incompressibilité du fluide, il doit passer dans chaque section $fg$ du canal $\mathrm {PA}$ une égale quantité de fluide à chaque instant, la largeur $fg$ du canal doit être partout en raison inverse de la vitesse du fluide ; cette largeur sera donc constante dans tout le canal et égale à $\mathrm {AM} ,$ moitié de celle de l’orifice que nous nommerons $b.$ Or, la tranche infiniment petite et rectangulaire $fgih,$ par la force centrifuge due à sa vitesse, exerce contre la partie $gi$ de la paroi concave une prèssion égale au poids de cette particule multipliée par ${\frac {2a}{r}},$ en nommant $r$ le rayon osculateur de la courbe en $g\,;$ c’est ce qui est connu par la théorie des forces centrifuges. Donc, puisque le poids est ici proportionnel au volume $fhgi=fg\times gi,$ on aura $fg\times gi\times {\frac {2a}{r}}$ pour la pression sur $gi,$ et par conséquent, en divisant par $gi$ et mettant ${\frac {b}{2}}$ pour $fg,$ on aura ${\frac {ab}{r}}$ pour la pression sur chaque point $g.$

Cette pression s’exerçant sur la portion du fluide $\mathrm {PMQ}$ que nous supposons stagnante, elle doit être égale partout, suivant les lois connues de l’équilibre des fluides ; ainsi, la quantité ${\frac {ab}{r}}$ est constante dans toute la courbe $\mathrm {PM} \,;$ par conséquent, le rayon osculateur $r$ est aussi constant, et la courbe est nécessairement un cercle dont $r$ est le ravon. Il en est de même de la courbe $\mathrm {MQ}$ de l’autre canal semblable.

Maintenant il est clair, par les principes de l’Hydrostatique, que le fluide $\mathrm {PMQ}$ étant pressé dans tous les points de la surface curviligne $\mathrm {PMQ}$ par une force égale à ${\frac {ab}{r}},$ il en doit résulter une pression égale sur chaque point du plan $\mathrm {PQ}$ sur lequel le fluide est appuyé ; de sorte que la pression totale que souffrira ce plan sera exprimée par ${\frac {abp}{r}},$ en nommant $p$ la largeur $\mathrm {PQ}$ du plan. C’est dans cette pression que consiste l’action du fluide contre le plan, ou la force de sa percussion, force qui est donc mesurée par ${\frac {abp}{r}}.$

3. Dans cette formule, les trois quantités $a,b,p$ sont données, puisque $a$ est la hauteur due à la vitesse du fluide, $b$ la largeur de l’orifice ou de la veine, et $p$ la largeur du plan. Il n’y a d’inconnue que $r,$ c’est-à-dire le rayon du cercle qui forme la courbure des canaux. Or si l’on suppose, ce qui est le cas le plus naturel, que les particules de fluide ne puissent quitter le plan contre lequel elles frappent que dans une direction parallèle à ce plan, alors la ligne $\mathrm {PQ}$ sera tangente en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ des arcs de cercle $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {QM} \,;$ et comme la perpendiculaire $\mathrm {MN}$ est déjà, par l’hypothèse, tangente des mêmes arcs en $\mathrm {M} ,$ puisque la direction du fluide en $\mathrm {M}$ est supposée suivant cette perpendiculaire, on voit que $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {MQ}$ seront deux quarts de cercle, et qu’ainsi on aura $r=\mathrm {PN={\frac {PQ}{2}}} ={\frac {p}{2}}.$ Donc la force de la percussion de la veine contre le plan aura pour mesure un poids égal à $2ab,$ c’est-à-dire à une colonne de fluide dont la base serait $b$ largeur de la veine, et la hauteur serait $2a,$ double de celle due à la vitesse du fluide. C’est ce qui s’accorde avec les expériences de M. Bernoulli et de M. l’abbé Bossut.

4. Mais il peut arriver, surtout lorsque le plan n’est pas beaucoup plus grand que la largeur de la veine, qu’une partie des particules s’échappe du plan dans une direction oblique à celui-ci. Dans ce cas donc, il faudra supposer que la tangente du cercle en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ fasse un angle donné avec la droite $\mathrm {PQ} .$ Soit $\varphi$ cet angle, il est facile de voir que $\mathrm {PN}$ sera le sinus verse de son complément dans le cercle $\mathrm {PM} \,;$ ainsi l’on aura

${\frac {p}{2}}=r\sin \operatorname {verse} (90^{\circ }-\varphi ),\quad {\text{ou}}\quad p=2r(1-\sin \varphi ),$

et l’expression générale ${\frac {abp}{r}}$ de la force de la percussion deviendra

$2ab(1-\sin \varphi ),$

laquelle est moindre que la précédente dans le rapport de $1-\sin \varphi$ à $1.$

Cette formule peut expliquer pourquoi, dans les expériences de M. Krafft, la hauteur de la colonne dont le poids exprime la force de percussion s’est toujours trouvée moindre que le double de la hauteur due à la vitesse. En général, elle fait voir que cette dernière mesure est le maximum de la force de percussion, parce que l’angle $\varphi$ ne saurait devenir négatif, et que pour atteindre ce maximum, ou du moins en approcher le plus qu’il est possible, il faut diminuer autant que l’on peut l’angle $\varphi ,$ et faire en sorte que la dernière direction des particules ou des filets du fluide soit parallèle ou presque parallèle au plan, ce qu’on obtiendra en augmentant la largeur du plan jusqu’à ce que toutes les particules soient contraintes de couler le long de ce plan avant de s’en échapper.

5. Considérons maintenant la percussion oblique, et supposons de nouveau que la veine dont la largeur est $\mathrm {AB}$ et la direction $\mathrm {MN}$ se partage, par la rencontre du plan $\mathrm {PQ}$ incliné à $\mathrm {MN} ,$ en deux branches $\mathrm {AMPC}$ et $\mathrm {BMQD} ,$ en sorte que l’espace intermédiaire $\mathrm {PMQ}$ soit rempli d’un fluide stagnant et en équilibre (fig. 2).

Il est d’abord clair que lorsque le mouvement du fluide est parvenu à un état permanent, comme nous le supposons ici, il doit être uniforme dans l’un et dans l’autre canal, parce qu’il n’y a extérieurement aucune force qui puisse l’accélérer ou la retarder. Ainsi, comme par l’incompressibilité et la continuité de fluide il en doit passer toujours la même quantité dans chaque section du même canal, il faudra aussi que toutes ces sections soient égales, comme dans le cas précédent, mais la largeur des deux canaux pourra être ici différente.

Soit $a$ la hauteur due à la vitesse de la veine, laquelle se maintient la même dans les deux canaux. Soient de plus $\mathrm {AM} =m$ l’amplitude du canal

Fig. 2.

$\mathrm {AP} ,$ et $\mathrm {BM} =n$ l’amplitude du canal $\mathrm {BQ} ,$ en sorte que $m+n=b$ largeur donnée de la veine ou de l’orifice du vase d’où elle sort.

Enfin, soient $r$ le rayon osculateur de la courbe $\mathrm {MP}$ du premier canal, et $\rho$ celui de la courbe $\mathrm {MQ}$ du second. On prouvera aisément, par un raisonnement semblable à celui du n^o 2, que la force centrifuge du fluide produira sur chaque point de la courbe $\mathrm {PM}$ une pression égale à ${\frac {2an}{r}},$ et sur chaque point de l’autre courbe $\mathrm {QM}$ une pression égale à ${\frac {2an}{\rho }}.$ Ces pressions agissant sur le fluide stagnant $\mathrm {PMQ}$ doivent être partout égales. D’où il suit : 1^o que les rayons $r$ et $\rho$ sont constants, et que par conséquent les courbes $\mathrm {MP,NQ}$ des deux canaux sont circulaires ; 2^o que l’on aura ${\frac {m}{r}}={\frac {n}{\rho }},$ en sorte que la courbure des canaux sera en raison inverse de leur largeur. Donc, puisque $m+n=b$ et ${\frac {m}{r}}={\frac {n}{\rho }},$ on aura $m={\frac {rb}{r+\rho }},\ n={\frac {\rho b}{r+\rho }}\,;$ et la pression sur le fluide stagnant sera exprimée par ${\frac {2ab}{r+\rho }}.$ Or, ce fluide étant soutenu en même temps par le plan $\mathrm {PQ,}$ il doit exercer sur chaque point de ce plan une pression perpendiculaire et égale aussi à ${\frac {2ab}{r+\rho }}.$ Donc la pression totale sur le plan sera ${\frac {2abp}{r+\rho }},$ en nommant $p$ la largeur $\mathrm {PQ}$ de ce plan ; et cette quantité exprimera le volume d’une quantité du même fluide, dont le poids sera égal à la force de percussion contre le plan ; mais il reste encore à déterminer les rayons $r$ et $\rho .$

6. Supposons d’abord que par la rencontre du plan les particules de la veine de fluide soient détournées de leur direction primitive $\mathrm {MN} ,$ autant qu’elles peuvent l’être, en sorte qu’elles ne puissent quitter ce plan que dans une direction parallèle à la sienne. La droite $\mathrm {PQ}$ (fig. 3)

Fig. 3.

sera donc tangente en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ aux cercles $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {QM} \,;$ par conséquent, les centres de ces cercles se trouveront sur les droites $\mathrm {PF,QG}$ menées perpendiculairement à $\mathrm {PQ} .$ D’un autre côté, la droite $\mathrm {MN} ,$ qui représente la direction primitive, de la veine, est aussi tangente en $\mathrm {M}$ aux mêmes cercles ; donc les centres de ces cercles se trouveront aussi sur la droite FG perpendiculaire à $\mathrm {MN} .$ Donc ces centres seront en $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G} ,$ où cette droite rencontre les deux droites $\mathrm {PF,QG} .$ On aura ainsi $\mathrm {PF=FM} =r,$ $\mathrm {QG=GM} =\rho ,$ et par conséquent $\mathrm {FG} =r+\rho .$ Or, puisque $\mathrm {FP}$ et $\mathrm {GQ}$ sont parallèles entre elles et perpendiculaires à $\mathrm {PQ} ,$ il est visible que $\mathrm {FG}$

sera à $\mathrm {PQ}$ dans la raison du sinus total au cosinus de l’inclinaison de $\mathrm {FG}$ à $\mathrm {PQ,}$ ou au sinus de l’inclinaison de $\mathrm {MN}$ à $\mathrm {PQ} .$ Cette inclinaison est celle de l’obliquité du choc du fluide contre le plan. Nommant donc $\omega$ l’angle de cette obliquité, ou l’angle d’incidence de la veine sur le plan, on aura

$\mathrm {FG} ={\frac {\mathrm {PQ} }{s\sin \omega }},\quad {\text{donc}}\quad r+\rho ={\frac {p}{\sin \omega }}\,;$

et l’expression de la force du choc trouvée ci-dessus deviendra

$2ab\sin \omega ,$

laquelle est, comme on voit, à celle du choc direct $2ab$ (3), dans la raison du sinus de l’angle d’incidence au sinus total.

7. Cette loi est celle qui est reçue communément, d’après la théorie ordinaire du choc des corps solides et isolés, quoique cette théorie ne soit point applicable aux fluides. La théorie précédente rétablit d’une manière directe, et l’expérience ne s’en éloigne pas sensiblement. Il est vrai que M. l’abbé Bossut a toujours trouvé dans les chocs obliques des résultats moindres que la loi des sinus d’incidence ne les donne ; mais on peut rendre raison de ce déchet, comme nous l’avons fait pour les expériences de M. Krafft sur le choc direct, en supposant que la dernière direction des canaux n’était pas tout à fait parallèle au plan ; ce qui est d’autant plus probable que, dans les expériences de M. l’abbé Bossut, le plan était le même pour le choc direct et pour le choc oblique, tandis que dans le cas de ce dernier il paraît que les branches dans lesquelles la veine se partage doivent diverger davantage pour pouvoir prendre la direction du plan. Dans cette supposition, il est clair que les droites $\mathrm {PF}$ et $\mathrm {QG}$ ne seront plus parallèles, mais deviendront divergentes, en sorte que la proportion de $\mathrm {FG}$ à $\mathrm {PQ,}$ c’est-à-dire de $r+\rho$ à $p,$ sera toujours plus grande que celle de $1$ à $\sin \omega \,;$ par conséquent, l’expression de la force du choc sera toujours aussi plus grande que $2ab\sin \omega .$ Mais, pour déterminer la proportion dont il s’agit, il ne suffirait pas de connaître les angles $\mathrm {FPQ}$ et $\mathrm {GQP} \,;$ il faudrait de plus connaître la distance $\mathrm {MN}$ du plan au point de la veine où elle commence à se diviser en deux Branches, distance qui peut varier selon les circonstances de l’expérience, et qui peut contribuer aussi à en faire varier les résultats. Au reste, comme cette détermination géométrique n’a point de difficulté, et qu’elle ne peut d’ailleurs jeter aucune lumière sur la question présente, nous ne nous y arrêterons pas.

8. Jusqu’ici nous n’avons considéré qu’une veine de fluide plane ou plutôt rectangulaire ; imaginons maintenant une veine cylindrique qui vienne frapper directement un plan circulaire dont le centre passe par l’axe de la veine. On peut dans ce cas regarder la fig. 1, page 239, comme une coupe faite par l’axe du cylindre, et comme les circonstances sont les mêmes pour chaque coupe, il s’ensuit qu’elles doivent être toutes égales et semblables, en sorte que la figure que prendra la veine par la rencontre du plan sera celle d’un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathrm {CA}$ autour de l’axe $\mathrm {MN} .$ La veine formera ainsi une espèce d’entonnoir conoïdal dont l’intérieur, formé par la révolution de la courbe $\mathrm {PM,}$ pourra être regardé comme stagnant, suivant l’hypothèse adoptée jusqu’ici, et il suffira de considérer le mouvement du fluide dans un canal $\mathrm {AMPC}$ compris entre deux plans infiniment proches passant par l’axe $\mathrm {AN} .$

D’abord il est visible que la vitesse du fluide doit être uniforme dans chacun de ces canaux, puisqu’il n’y a aucune cause d’accélération ni de retardation. Ensuite, si l’on nomme $d\alpha$ le petit angle formé par les deux plans du canal, $x$ et $y$ l’abscisse et l’ordonnée d’un point quelconque $g$ de la courbe du canal $\mathrm {PM}$ rapportée à l’axe $\mathrm {MN} ,$ et $z$ la largeur ou l’amplitude du canal dans cet endroit, il est clair qu’on aura $zyd\alpha$ pour l’aire de la section du canal, et par conséquent $zy\times 360^{\circ }$ sera l’aire entière de la section du conoïde. Cette aire doit être constante, puisque à cause de la continuité et de l’incompressibilité du fluide, ainsi que de l’uniformité de sa vitesse, il doit passer à chaque instant une quantité de fluide égale à celle qui sort en même temps par l’orifice du vase. De sorte qu’en nommant $\mathrm {B}$ l’aire de cet orifice ou de la section de la veine cylindrique, on aura

$zy\times 360^{\circ }=\mathrm {B} ,\quad {\text{et de là}}\quad z={\frac {\mathrm {B} }{y\times 360^{\circ }}}.$

Il est clair de plus que $zyd\alpha ds$ sera le volume de l’élément du fluide qui répond à la portion infiniment petite $ds$ de la courbe $\mathrm {M} g\mathrm {P} ,$ et cet élément exercera sur la paroi du canal sur laquelle il appuie, et dont l’aire est $yd\alpha ds,$ une pression représentée par ${\frac {2azyd\alpha ds}{r}},$ en nommant comme ci-dessus $a$ la hauteur due à la vitesse constante du fluide, et $r$ le rayon osculateur de la courbe du canal. Donc la pression sur chaque point de la surface du fluide intérieur qui est supposé stagnant sera ${\frac {2az}{r}},$ laquelle doit être partout la même par les lois connues de l’Hydrostatique.

Soit donc $\Pi$ cette pression constante, on aura

$\Pi ={\frac {2az}{r}}\,;$

mais

$z={\frac {\mathrm {B} }{360^{\circ }y}}\quad {\text{et}}\quad r=-{\frac {dy}{d{\cfrac {dx}{ds}}}}\,;$

donc on aura

$\Pi =-{\frac {2a\mathrm {B} }{360^{\circ }}}{\frac {d{\cfrac {dx}{ds}}}{ydy}}\,;$

multipliant par $ydy$ et intégrant, il viendra

${\frac {\Pi y^{2}}{2}}={\frac {2a\mathrm {B} }{360^{\circ }}}\left(\mathrm {const} .-{\frac {dx}{ds}}\right).$

Au point $\mathrm {M} ,$ où la veine commence à diverger, sa direction est suivant l’axe $\mathrm {MN} \,;$ on a donc $y=0$ et ${\frac {dx}{ds}}=1\,;$ donc la constante arbitraire sera aussi égale à $1\,;$ par conséquent, l’équation complète sera

${\frac {\Pi y^{2}}{2}}={\frac {2a\mathrm {B} }{360^{\circ }}}\left(1-{\frac {dx}{ds}}\right).$

Au point $\mathrm {P}$ où le canal touche le plan, on a $y=\mathrm {NP}$ et ${\frac {dx}{ds}}$ égal au sinus de l’angle que la direction du canal dans ce point fait avec le même plan. Si donc on nomme $\varphi$ cet angle, qui est évidemment celui que les particules du fluide font avec le plan en le quittant, on aura

$\Pi {\frac {\mathrm {{\overline {PN}}^{2}} }{2}}={\frac {2a\mathrm {B} }{360^{\circ }}}(1-\sin \varphi ).$

Or la pression $\Pi$ agissant sur tous les points du plan circulaire, dont $\mathrm {PN}$ est le rayon, il en résultera une pression totale égale à $\Pi {\frac {\mathrm {{\overline {PN}}^{2}} 360^{\circ }}{2}},$ puisque ${\frac {\mathrm {{\overline {PN}}^{2}} 360^{\circ }}{2}}$ est l’aire de ce plan ; donc cette pression totale sera exprimée par

$2a\mathrm {B} (1-\sin \varphi ).$

C’est la valeur de la force de percussion que le fluide exerce contre le plan, laquelle sera donc la plus grande lorsque $\varphi =0,$ c’est-à-dire lorsque la dernière direction du fluide est parallèle au plan ; et elle sera dans ce cas $2a\mathrm {B} ,$ égale par conséquent au poids d’une colonne du même fluide dont la base serait $\mathrm {B}$ largeur de la veine, et dont la hauteur serait $2a$ double de la hauteur due à la vitesse du fluide ; ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n^o 3, en considérant une veine plane.

Dans les autres cas où $\varphi$ n’est pas nul, et où par conséquent le fluide quitte le plan dans une direction oblique, la valeur de la force de percussion contre le plan sera moindre dans le rapport de $1-\sin \varphi$ à $1,$ ce qui s’accorde encore avec la formule du n^o 4 relative à ces derniers cas.

9. Le Problème que nous venons de résoudre sur l’action d’une veine cylindrique contre un plan perpendiculaire à sa direction deviendrait beaucoup plus difficile si l’on supposait le plan exposé obliquement à cette direction. Car alors l’entonnoir conoidal formé par la veine ne serait plus de révolution, et il faudrait, pour en déterminer la figure, avoir égard non-seulement à la pression de chaque filet de fluide sur le fluide intérieur stagnant, mais encore à la pression mutuelle et latérale des filets contigus, ce qui engagerait dans des formules assez compliquées et n’offrirait qu’un exercice d’Analyse inutile à l’objet de ce Mémoire.

Il nous suffira donc pour le présent d’avoir confirmé à priori, par une théorie aussi simple que satisfaisante, ce que quelques Auteurs avaient trouvé à posteriori sur la mesure de la force de percussion d’une veine de fluide contre un plan, et d’avoir par cette confirmation fixé d’une manière incontestable un point si essentiel de l’Hydraulique.

On peut donc prendre désormais pour règle générale et constante que dans le choc direct, et lorsque son effet est le plus grand, ce qui a lieu quand le plan est assez large pour que toutes les particules du fluide soient contraintes d’en suivre la direction en le quittant, l’action contre le plan est égale au poids d’une colonne du fluide de la même grosseur que la veine et d’une longueur double de celle d’où un corps pesant devrait tomber pour acquérir la vitesse du fluide. Il n’en est pas de même lorsque le plan est exposé à l’impulsion d’un courant dans lequel il est entièrement plongé. Dans ce cas on n’a pu encore déterminer à priori la valeur de cette impulsion, et tous les efforts qu’on a faits jusqu’ici pour y parvenir n’ont servi qu’à produire des recherches analytiques plus ou moins profondes, mais toujours insuffisantes pour donner des résultats simples et applicables à la pratique. Cependant les expériences réitérées qu’on a faites surtout dans ces derniers temps tendent toutes à prouver qu’ici l’impulsion est simplement égale au poids d’une colonne du fluide, laquelle aurait pour base le plan choqué, et pour hauteur celle qui serait due à la vitesse du fluide. Ainsi, tant qu’on n’aura pas démontré cette règle à priori, on ne pourra pas la regarder comme aussi sûre que celle qui concerne l’impulsion d’une veine contre un plan ; mais on pourra toujours l’employer dans la pratique comme une règle d’approximation fournie par l’expérience.