Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Mémoire sur les sphéroïdes elliptiques

Joseph-Louis Lagrange

Mémoire sur les sphéroïdes elliptiques

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome V (p. 645-660).

MÉMOIRE
SUR
LES SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES.

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, années 1792 et 1793.)

J’entends par sphéroïdes elliptiques ceux dont toutes les sections sont des ellipses, et dont l’équation générale, réduite à la forme la plus simple, est

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

J’ai donné dans le volume de l’année 1773 un Mémoire sur l’attraction de ces sortes de sphéroïdes^[1]. Je me propose dans celui-ci de présenter aux Géomètres quelques formules générales, qui pourront être utiles pour la solution de différentes questions relatives à ces mêmes sphéroïdes.

1. Supposons

$z=r\cos \psi ,\quad y=r\sin \psi \sin \varphi ,\quad x=r\sin \psi \cos \varphi \,;$

$r$ sera le rayon partant du centre qui est l’origine des trois coordonnées

$x,y,z\,;$ $\psi$ sera l’angle fait par ce rayon avec l’une des ordonnées $z,$ et $\varphi$ sera l’angle que la projection du même rayon sur le plan des coordonnées $x$ et $y$ fait avec l’une des ordonnées $x.$ En substituant ces valeurs dans l’équation du sphéroïde, on en tirera

${\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi }{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\psi }{c^{2}}}\,;$

et de là on aura les valeurs de $x,y,z$ en $\psi$ et $\varphi .$

2. Désignons par $\mathrm {M}$ la masse totale ou plutôt le volume du sphéroïde ; on aura, comme l’on sait,

$d\mathrm {M} =r^{2}dr.\sin \psi d\psi d\varphi \,;$

et pour avoir la valeur de $\mathrm {M}$ il faudra intégrer d’abord depuis $r=0$ jusqu’à $r$ égal au rayon du sphéroïde, c’est-à-dire en donnant à $r$ la valeur trouvée ci-dessus ; on intégrera ensuite depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =180^{\circ },$ et enfin depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =360^{\circ }.$

Intégrant d’abord suivant la variable $r,$ on aura

$d\mathrm {M} ={\frac {r^{3}\sin \psi d\psi d\varphi }{3}},$

où il faudra substituer pour $r$ sa valeur en $\varphi$ et $\psi .$

Soit pour plus de simplicité

$a={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {\beta }}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\gamma }}}\,;$

on aura

$r=\left(\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi \right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Supposons de plus

$\mathrm {R} =\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi ,$

en sorte que

$r={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {R} }}},$

on aura

$d\mathrm {M} ={\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}}.$

3. Considérons maintenant les formules

$x^{2}d\mathrm {M} ,\quad y^{2}d\mathrm {M} ,\quad z^{2}d\mathrm {M} ,\quad x^{4}d\mathrm {M} ,\ldots \quad x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ,\ldots \,;$

en substituant pour $x,y,z$ leurs valeurs $r\sin \psi \cos \varphi ,\ r\sin \psi \sin \varphi ,\ r\cos \psi ,$ et pour $d\mathrm {M}$ l’élément $r^{2}dr.\sin \psi d\psi d\varphi ,$ intégrant ensuite suivant $r,$ et faisant $r={\frac {1}{\sqrt {R}}},$ on aura après cette première intégration

${\begin{aligned}&x^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&z^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\cos ^{2}\psi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&x^{4}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{4}\psi \cos ^{4}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{7\mathrm {R} ^{\frac {7}{2}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{4}\psi \cos ^{2}\varphi \sin ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{7\mathrm {R} ^{\frac {7}{2}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si maintenant on compare ces différentes expressions à celle de $d\mathrm {M}$ trouvée ci-dessus, il est facile de voir qu’elles peuvent toutes se déduire de celle-ci par la simple variation des constantes $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Ainsi, dénotant par $\delta$ les différentielles relatives à ces quantités, on aura

${\begin{aligned}&d\mathrm {M} ={\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}},\\&x^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \alpha }},\\&y^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \beta }},\\&z^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \gamma }},\\&x^{4}d\mathrm {M} ={\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}{\frac {\delta ^{2}d\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}{\frac {\delta ^{2}d\mathrm {M} }{\delta \alpha \delta \beta }},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} =\pm {\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}.{\frac {2}{9}}\ldots (m+n+l){\frac {\delta ^{m+n+l}d\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}\,;$

la quantité $(m+n+l)$ indique le nombre des facteurs ${\frac {2}{5}},{\frac {2}{7}},\ldots$ qu’il faut prendre, et le signe supérieur doit avoir lieu lorsque ce nombre sera pair, l’inférieur lorsqu’il sera impair.

Pour avoir les valeurs totales de ces différentes formules, il ne vaudra plus que les intégrer relativement à $\psi$ et $\varphi \,;$ et, comme les variations de $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont indépendantes des variations de $\psi$ et $\varphi \,;$ il est clair que les intégrations dont il s’agit le seront aussi. Dénotant donc ces intégrations totales par le signe $\int ,$ on aura d’abord

$\mathrm {M} =\int {\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}},$

et ensuite

$\int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} =\pm {\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}.{\frac {2}{9}}\ldots (m+n+l){\frac {\delta ^{m+n+l}\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}.$

Ainsi, lorsqu’on aura trouvé la valeur de la masse $\mathrm {M}$ en fonction de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on pourra, par de simples différentiations relatives à ces constantes, trouver les valeurs des intégrales de $x^{2}d\mathrm {M} ,y^{2}d\mathrm {M} ,\ldots ,$ et généralement de $x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M}$ pour toute la masse du sphéroïde.

À l’égard des quantités où $d\mathrm {M}$ serait multiplié par des puissances impaires de $x,y,z,$ il est facile de voir que leur intégrale totale serait toujours nulle, les mêmes éléments se trouvant avec des signes contraires et se détruisant par conséquent réciproquement.

4. Cherchons donc la valeur de $\mathrm {M}$. Soit $\cos \psi =u\,;$ on aura

$d\mathrm {M} =-{\frac {1}{3}}{\frac {dud\varphi }{\left[\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi +\left(\gamma -\alpha \cos ^{2}\varphi -\beta \sin ^{2}\varphi \right)u^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

dont l’intégrale relative à $u$ est (en prenant une constante $k$)

$kd\varphi -{\frac {1}{3}}{\frac {ud\varphi }{\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\left[\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi +\left(\gamma -\alpha \cos ^{2}\varphi -\beta \sin ^{2}\varphi \right)u^{2}\right]}}}}.$

Comme cette intégrale doit commencer à $\psi =0$ et finir à $\psi =180^{\circ },$ il faudra qu’elle soit nulle lorsque $u=1,$ et complète lorsque $u=-1.$ Donc on aura d’abord

$k={\frac {d\varphi }{3\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\gamma }}}},$

et l’intégrale complète sera

${\frac {2}{3}}{\frac {d\varphi }{\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\gamma }}}},$

laquelle devra encore être intégrée depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =360^{\circ }.$ Divisant le haut et le bas de la fraction par $\alpha \cos ^{2}\varphi ,$ et observant que ${\frac {d\varphi }{\cos ^{2}\varphi }}=d\operatorname {tang} \varphi ,$ cette différentielle deviendra ${\Biggl (}{\Biggr .}$en faisant $\left.t={\frac {{\sqrt {\beta }}\operatorname {tang} \varphi }{\sqrt {\alpha }}}\right),$

${\frac {2}{3}}{\frac {dt}{{\sqrt {\alpha ,\beta ,\gamma }}\left(1+t^{2}\right)}},$

dont l’intégrale est

${\frac {2}{3}}{\frac {\operatorname {arc\,tang} }{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$

Lorsque $\varphi =0$ on a $t=0,$ et lorsque $\varphi =360^{\circ }$ on a de nouveau $t=0\,;$ donc $\operatorname {arc\,tang} t$ est dans le premier cas $=0$ et dans le second $=360^{\circ }.$ Donc la valeur complète de cette dernière intégrale sera ${\frac {2}{3}}{\frac {360^{\circ }}{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$ Donc enfin on aura

$\mathrm {M} ={\frac {2}{3}}{\frac {360^{\circ }}{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$

5. Cette quantité différentiée successivement donnera

${\begin{aligned}&{\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \alpha }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\beta }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \gamma }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\gamma }},\\&{\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha \ \delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha \beta }}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite. De sorte qu’on aura, en général,

${\frac {\delta ^{m+n+l}}{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}=\pm \left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (m)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (n)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (l)\right]{\frac {\mathrm {M} }{\alpha ^{m}\beta ^{n}\gamma ^{l}}}\,;$

le signe supérieur a lieu lorsque $m+n+l$ est pair, l’inférieur lorsque ce nombre est impair, et les quantités $(m),(n),(l)$ dénotent le nombre des facteurs ${\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots$ qu’il faut multiplier ensemble.

Donc enfin, faisant cette substitution dans la formule intégrale du n^o 3 et remettant pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ leurs valeurs ${\frac {1}{a^{2}}},{\frac {1}{b^{2}}},{\frac {1}{c^{2}}},$ on aura, en général, cette formule très-remarquable

$\int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} ={\frac {\left[1.3.5.\ldots (m)\right]\left[1.3.5.\ldots (n)\right]\left[1.3.5.\ldots (l)\right]}{5.7.9\ldots (m+n+l)}}\mathrm {M} a^{2m}b^{2n}c^{2l},$

où $\mathrm {M} ={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc.$

6. De ce que (3)

$\int xyd\mathrm {M} =0,\quad \int xzd\mathrm {M} =0,\quad \int yzd\mathrm {M} =0,$

il s’ensuit que les axes des coordonnées $x,y,z$ sont les trois axes principaux du sphéroïde. Les moments d’inertie autour de ces axes, dont la détermination est nécessaire pour le calcul de la rotation, seront donc exprimés par les formules

$\int \left(y^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+y^{2}\right)d\mathrm {M} ,$

dont les valeurs sont par la formule générale

${\frac {\mathrm {M} \left(b^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+b^{2}\right)}{5}}.$

Dans la Théorie de la libration de la Lune [Mémoires de 1780^[2]], on a fait

${\frac {a}{c}}=1+e,\quad {\frac {b}{c}}=1+i,$

et regardant $e$ et $i$ comme des quantités très-petites vis-à-vis de l’unité, ce qui suffisait alors pour mon objet, on a trouvé pour les moments dont il s’agit les quantités

${\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+i),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e+i),$

$\mathrm {M}$ étant $={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times c^{3}(1+e+i).$ En comparant ces valeurs avec les précédentes, il est aisé d’en conclure qu’on peut rendre les formules de la Théorie citée rigoureuses, en prenant d’abord pour $\mathrm {M}$ sa vraie valeur ${\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc,$ et faisant ensuite

$e={\frac {a^{2}-c^{2}}{2c^{2}}},\quad i={\frac {b^{2}-c^{2}}{2c^{2}}}.$

Au reste les quantités que nous désignons ici par $a,b,c,\mathrm {M}$ le sont dans l’endroit cité par $f,g,h,m.$

7. On sait que l’attraction du sphéroïde sur un point quelconque dont la position dans l’espace serait déterminée par les coordonnées $f,g,h$ rapportées aux mêmes axes que les coordonnées $x,y,z$ dépend de la formule

$\int {\frac {d\mathrm {M} }{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}$

que j’appelle $\mathrm {V} ,$ l’intégration étant rapportée à toute la masse du sphéroïde. Car, si dans la quantité $\mathrm {V}$ regardée comme fonction de $f,g,h$ on fait varier séparément ces dernières quantités, on aura ${\frac {d\mathrm {V} }{df}},{\frac {d\mathrm {V} }{dg}},{\frac {d\mathrm {V} }{dh}}$ pour les attractions totales parallèlement aux axes des coordonnées $f,g,h$. Et si l’on change ces coordonnées en un rayon vecteur $\rho$ avec deux angles $\lambda$ et $\mu ,$ tels que

$h=\rho \cos \lambda ,\quad g=\rho \sin \lambda \sin \mu ,\quad f=\rho \sin \lambda \cos \mu ,$

on aura ${\frac {d\mathrm {V} }{d\rho }}$ pour l’attraction suivant le rayon ${\frac {1}{\rho }}{\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda }},\ {\frac {1}{\rho \sin \lambda }}{\frac {d\mathrm {V} }{d\mu }}$ pour les deux attractions perpendiculaires au rayon, l’une dans le plan qui passe par l’axe des ordonnées $h,$ et l’autre perpendiculaire à ce plan.

La recherche de l’attraction du sphéroïde dépend donc simplement de la détermination de la quantité $\mathrm {V}$ en fonction de $a,b,c,f,g,h.$ Dans le Mémoire déjà cité sur l’attraction des sphéroïdes, j’ai résolu la question pour le cas où le point attiré est dans l’intérieur ou à la surface ; et dans une Addition à ce Mémoire, imprimée dans le volume de l’année 1775, je l’ai résolue aussi pour le cas où le point attiré est sur le prolongement d’un des trois axes. Les autres cas ont été résolus d’abord par Legendre pour les seuls sphéroïdes de révolution, ensuite par Laplace et Legendre pour des sphéroïdes quelconques. On ne peut regarder leurs solutions que comme des chefs-d’œuvre d’analyse, mais on peut désirer encore une solution plus directe et plus simple ; et les progrès naturels de l’Analyse donnent lieu de l’espérer. En attendant, voici l’usage qu’on pourrait faire des formules précédentes dans cette recherche.

8. Si l’on réduit le radical

${\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}$

en série ascendante relativement aux quantités $x,y,z,$ la quantité $\mathrm {V}$ se trouvera composée de termes de la forme $k\int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} ,$ dont on aura la valeur par la formule du n^o 5, le coefficient $k$ ne dépendant que des quantités $f,g,h.$

Si le point attiré est assez éloigné relativement aux dimensions du sphéroïde, ce qui est le cas des corps célestes, cette réduction en série sera toujours assez exacte, et il suffira de ne tenir compte que des premiers termes, comme dans les Problèmes de la précession des équinoxes, de la libration de la Lune ou des autres Planètes.

En substituant $\rho \cos \lambda ,\ \rho \sin \lambda \sin \mu ,\ \rho \sin \lambda \cos \mu$ à la place de $h,g,f$ (7), on pourra réduire le radical dont il s’agit en une série de la forme

${\frac {1}{\rho }}+{\frac {(1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {(2)}{\rho ^{3}}}+{\frac {(3)}{\rho ^{4}}}+\ldots ,$

les quantités $(1),(2),(3),\ldots$ étant des fonctions homogènes de $x,y,z$ des dimensions $1,2,3,\ldots$ Ainsi, en multipliant par $d\mathrm {M}$ et intégrant, on aura

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {\int (1)d\mathrm {M} }{\rho ^{2}}}+{\frac {\int (2)d\mathrm {M} }{\rho ^{3}}}+{\frac {\int (3)d\mathrm {M} }{\rho ^{4}}}+\ldots .$

Mais, par ce que nous avons observe plus haut (3), il est clair que les valeurs de

$\int (1)d\mathrm {M} ,\quad \int (3)d\mathrm {M} ,\ldots$

seront nulles ; que, de plus, dans les valeurs de

$\int (2)d\mathrm {M} ,\quad \int (4)d\mathrm {M} ,\ldots ,$

les quantités provenant des termes de $(2),(4),\ldots$ qui contiendraient des puissances impaires de $x,y,z$ seront nulles aussi. D’où il s’ensuit que l’on aura simplement

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {\int (2)d\mathrm {M} }{\rho ^{3}}}+{\frac {\int (4)d\mathrm {M} }{\rho ^{5}}}+{\frac {\int (6)d\mathrm {M} }{\rho ^{7}}}+\ldots ,$

les quantités $(2),(4),\ldots$ étant de la forme

${\begin{aligned}(2)=&\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} z^{2},\\(4)=&\mathrm {A} 'x^{4}+\mathrm {B} 'y^{4}+\mathrm {C} 'z^{4}+\mathrm {D} 'x^{2}y^{2}+\mathrm {E} 'x^{2}z^{2}+\mathrm {F} 'y^{2}z^{2},\\(6)=&\mathrm {A} ''x^{6}+\mathrm {B} ''y^{6}+\mathrm {C} ''z^{6}+\mathrm {D} ''x^{4}y^{2}+\mathrm {E} ''x^{4}z^{2},\\&+\mathrm {F} ''x^{2}y^{4}+\mathrm {G} ''x^{2}z^{4}+\mathrm {H} ''y^{4}z^{2}+\mathrm {I} ''y^{2}z^{4}+\mathrm {K} ''x^{2}y^{2}z^{2}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite

Les coefficients $\mathrm {A,B,C,A',B'} ,\ldots$ seront des fonctions des angles $\lambda$ et $\mu$ qu’on déterminera facilement par différents moyens.

Appliquant donc à ces quantités la formule générale du n^o 5 ci-dessus, on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}\int (2)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5}}\left(\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} b^{2}+\mathrm {C} c^{2}\right),\\\int (4)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5.7}}\left(3\mathrm {A} 'a^{4}+3\mathrm {B} 'b^{4}+3\mathrm {C} 'c^{4}+\mathrm {D} 'a^{2}b^{2}+\mathrm {E} 'a^{2}c^{2}+\mathrm {F} 'b^{2}c^{2}\right),\\\int (6)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5.7.9}}\left(3.5\mathrm {A} ''a^{6}+3.5\mathrm {B} ''b^{6}+3.5\mathrm {C} ''c^{6}+3\mathrm {D} ''a^{4}b^{2}+3\mathrm {E} ''a^{4}c^{2}\right.\\&\ \ \quad \qquad \left.+3\mathrm {F} ''a^{2}b^{4}+3\mathrm {G} ''a^{2}c^{4}+3\mathrm {H} ''b^{4}c^{2}+3\mathrm {I} ''b^{2}c^{4}+\mathrm {K} ''a^{2}b^{2}c^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

9. J’observe maintenant qu’il y a nécessairement entre les différents coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ des relations indépendantes des angles $\lambda$ et $\mu$ dont ils sont fonctions, et qui viennent de ce que la série

${\frac {1}{\rho }}+{\frac {(1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {(2)}{\rho ^{3}}}+\ldots$

résulte du développement de la fraction irrationnelle

${\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}},$

dans laquelle $f,g,h$ sont données en $\rho ,\lambda ,\mu$ (numéro précédent). On sait qu’en nommant cette fraction $u,$ elle satisfait à l’équation

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}=0,$

quelles que soient les valeurs de $f,g,h,$ comme on peut s’en assurer par la différentiation. Donc, substituant à la place de $u$ la série dont il s’agit, il faudra qu’on ait autant d’équations semblables pour chacune des quantités $(1),(2),(3),\ldots$ c’est-à-dire

${\frac {d^{2}(1)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dz^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0,\ldots \,;$

et, comme ces équations doivent être indépendantes d’aucune relation entre $x,y,z,$ il faudra égaler à zéro les termes qui après la différentiation resteront affectés des mêmes produits de ces variables.

Ainsi l’équation

${\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0$

donnera l’équation

$\mathrm {A+B+C} =0.$

L’équation

${\frac {d^{2}(4)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dz^{2}}}=0$

donnera ces trois équations

${\begin{aligned}&4.3\mathrm {A'+2D'+2E'} =0,\\&4.3\mathrm {B'+2D'+2F'} =0,\\&4.3\mathrm {C'+2E'+2F'} =0.\end{aligned}}$

L’équation

${\frac {d^{2}(6)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dz^{2}}}=0$

donnera ces six équations

${\begin{alignedat}{2}6.5\mathrm {A''+2D''+2E''\,} =&0,\qquad &4.3\mathrm {D''+4.3F''\,+2K''} =&0,\\6.5\mathrm {B''+2F''\,+2H''} =&0,&4.3\mathrm {E''+4.3G''+2K''} =&0,\\6.5\mathrm {C''+2G''+2I''\,\ } =&0,&4.3\mathrm {H''+4.3I''\,\ +2K''} =&0\,;\end{alignedat}}$

et ainsi des autres.

Donc

1^o On aura $\mathrm {A=-B-C} \,;$ cette valeur, substituée dans l’expression de $\int (2)d\mathrm {M} ,$ donnera

$\int (2)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{5}}\left[\mathrm {B} \left(b^{2}-a^{2}\right)+\mathrm {C} \left(c^{2}-a^{2}\right)\right].$

2^o On aura

$\mathrm {2.3A'=-D'-E',\quad 2.3B'=-D'-F',\quad 2.3C'=-E'-F'} \,;$

ces valeurs, substituées dans l’expression de $\int (4)d\mathrm {M} ,$ la réduiront à cette forme

$\int (4)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{2.5.7}}\left[-\mathrm {D} '\left(b^{2}-a^{2}\right)^{2}-\mathrm {E} '\left(c^{2}-a^{2}\right)^{2}-\mathrm {F} '\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}\right].$

3^o On aura d’abord

$\mathrm {3.5A''=-D''-E'',\quad 3.5B''=-F''-H'',\quad 3.5C''=-G''-I''} \,;$

ensuite, tirant des trois dernières conditions les valeurs de $\mathrm {E'',G'',K''} ,$ on aura

$\mathrm {K''=-2.3H''-2.3I'',\quad G''=H''+I''-E'',\quad F''=H''+I''-D''} \,;$

et par conséquent

$\mathrm {3.5B''=-2H''-I''+D'',\quad 3.5C''=-H''-2I''+E''} .$

Les coefficients $\mathrm {A'',B'',C'',F'',G'',K''}$ sont donc donnés en $\mathrm {D'',E'',}$$\mathrm {H'',I''} ,$ et, ces substitutions étant faites dans l’expression de $\int (6)d\mathrm {M} ,$ elle se réduira à cette forme et ainsi de suite.

$\int (6)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{5.7.9}}\left[\mathrm {D} ''\left(b^{2}-a^{2}\right)^{3}+\mathrm {E} ''\left(c^{2}-a^{2}\right)^{3}-\mathrm {H} ''\left(c^{2}-b^{2}\right)^{3}\right.$

$\left.-3\mathrm {H} ''\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}+\mathrm {I} ''\left(c^{2}-b^{2}\right)^{3}-3\mathrm {I} ''\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}\right]\,;$

10. Comme

$c^{2}-b^{2}=c^{2}-a^{2}-\left(b^{2}-a^{2}\right),$

il est visible que les valeurs de $\int (2)d\mathrm {M} ,\int (4)d\mathrm {M} ,\ldots$ se trouvent exprimées par $\mathrm {M}$ multipliée par des fonctions de $b^{2}-a^{2}$ et $c^{2}-a^{2}.$ Si l’on pouvait tirer de l’induction précédente une conclusion générale, il s’ensuivrait que la quantité $\mathrm {V}$ du n^o 7 ci-dessus pourrait toujours s’exprimer par $\mathrm {M}$ multipliée par une fonction de $b^{2}-a^{2}$ et de $c^{2}-a^{2}\,;$ que par conséquent, à cause de $\mathrm {M} ={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc$ (5), on aurait, en général, relativement aux quantités $a,b,c$ qui entrent dans la valeur de $\mathrm {V} ,$

$\mathrm {V} =abc\operatorname {F} \left(b^{2}-a^{2},c^{2}-a^{2}\right)\,;$

la caractéristique $\operatorname {F}$ dénotant une fonction des deux quantités renfermées entre les crochets et séparées par une virgule.

Supposons qu’en mettant $a^{2}+e,\ b^{2}+e,\ c^{2}+e$ à la place de $a^{2},b^{2},$$c^{2}$ dans la quantité $\mathrm {V} ,$ elle devienne $\mathrm {V} ',$ $e$ étant une quantité arbitraire, on aura donc pareillement

$\mathrm {V} '={\sqrt {\left(a^{2}+e\right)\left(b^{2}+e\right)\left(c^{2}+e\right)}}\operatorname {F} \left(b^{2}-a^{2},c^{2}-a^{2}\right)\,;$

donc

$\mathrm {\frac {V'}{V}} ={\sqrt {\left(1+{\frac {e}{a^{2}}}\right)\left(1+{\frac {e}{b^{2}}}\right)\left(1+{\frac {e}{c^{2}}}\right)}}.$

Ainsi, si l’on peut trouver la valeur de $\mathrm {V} '$ pour une valeur quelconque de $e,$ on en tirera celle de $\mathrm {V} .$

11. Pour appliquer à cette recherche les formules données dans le Mémoire cité de 1773, et pour rendre les dénominations employées dans ces formules conformes à celles des formules précédentes, nous changerons dans celles-là $k$ en $c^{2},$ $m$ en ${\frac {c^{2}}{a^{2}}},$ et $n$ en ${\frac {c^{2}}{b^{2}}},$ pour que l’équation de l’ellipsoïde soit comme ci-dessus

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,;$

nous y changerons ensuite les quantités $a,b,c,$ qui représentaient les coordonnées du point attiré en $f,g,h\,;$ et nous conserverons l’emploi des quantités $r,p,q,$ dont la première représente la distance du point attiré à la molécule $d\mathrm {M} \,;$ les deux autres représentent les angles décrits par ce rayon.

D’après ces dénominations on aura, par la méthode du Problème III du même Mémoire,

$f-x=r\sin p\cos q,\quad g-y=r\sin p\sin q,\quad h-z=r\cos p,$

et

$d\mathrm {M} =r^{2}\sin pdpdqdr,$

et par conséquent

$d\mathrm {V} =\int {\frac {d\mathrm {M} }{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}=rdr\sin pdpdq$

.

Intégrant d’abord relativement à $r$ suivant les procédés du Problème IV pour les points extérieurs, on aura

${\frac {\left(r'^{2}-r''^{2}\right)\sin pdpdq}{2}},$

$r'$ et $r''$ étant les deux racines de l’équation en $r,$ résultante de la substitution de

$f-r\sin p\cos q,\quad g-r\sin p\sin q,\quad h-r\cos p$

à la place de $x,y,z$ dans l’équation du sphéroïde. On intégrera ensuite relativement à $p$ et $q,$ et l’on prendra les intégrales entre les limites données par l’égalité des racines $r'$ et $r''\,;$ mais lorsque l’équation n’aura qu’une racine, alors on intégrera depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ }$ et depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ },$ suivant les règles prescrites dans le n^o 5 du Mémoire cité.

L’équation en $r$ devient

$\mathrm {M} r^{2}-2\mathrm {N} r+\mathrm {P} =0,$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}p}{c^{2}}},\\\mathrm {N} =&{\frac {f\sin p\cos q}{a^{2}}}+{\frac {g\sin p\sin q}{b^{2}}}+{\frac {h\cos p}{c^{2}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {f^{2}}{a^{2}}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}}}-1.\end{aligned}}$

Les deux racines $r'$ et $r''$ sont donc

$\mathrm {\frac {N\pm {\sqrt {N^{2}-MP}}}{M}} \,;$

de sorte qu’on aura

$r'^{2}-r''^{2}=\mathrm {\frac {4N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \,;$

par conséquent la valeur de $d\mathrm {V}$ sera

$d\mathrm {V} =\mathrm {\frac {2N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \sin pdpdq.$

Ce qui rend les intégrations qui restent à faire très-difficiles, c’est le radical mais ce radical disparaîtrait si $\mathrm {P} =0.$ Or on peut prendre $\mathrm {P} =0$ dans la valeur de $d\mathrm {V} '$ en déterminant convenablement l’arbitraire $e$.

12. Supposons donc que dans les expressions de $\mathrm {M,N,P}$ on mette partout $a^{2}+e,\ b^{2}+e,\ c^{2}+e$ à la place de $a^{2},b^{2},c^{2},$ et que ces expressions deviennent alors $\mathrm {M',N',P'} \,;$ on aura de même (10)

$d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'{\sqrt {N'^{2}-M'P'}}}{M'^{2}}} \sin pdpdq.$

Donc, si l’on prend $e,$ en sorte que $\mathrm {P} '=0,$ c’est-à-dire que l’on ait

${\frac {f^{2}}{a^{2}+e}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}+e}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}+e}}-1=0,$

alors la valeur de $d\mathrm {V} '$ se simplifiera et deviendra

$d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'^{2}}{M'^{2}}} \sin pdpdq,$

De plus, dans ce cas l’équation en $r$ deviendra

$\mathrm {M} 'r-2\mathrm {N} '=0$

et n’aura plus qu’une seule racine ; de sorte que les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes et devront se faire depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ et depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }.$ Ainsi l’on aura la valeur complète de $\mathrm {V} '$ par cette double intégration de la formule suivante

${\frac {2\left({\cfrac {f\sin p\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin p\sin q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {h\cos p}{c^{2}+e}}\right)^{2}\sin pdpdq}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}},$

qu’on peut réduire à celle-ci plus simple

$2{\frac {\left({\cfrac {f\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin q}{b^{2}+e}}\right)^{2}\sin ^{2}p+\left({\frac {h}{c^{2}+e}}\right)^{2}\cos ^{2}p}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}}\sin pdpdq,$

par la raison que toute formule telle que $\mathrm {Q} \cos pdp,$ où $\mathrm {Q}$ serait une fonction rationnelle de $\sin ^{2}p$ et $\cos ^{2}q,$ étant intégrée depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ donne un résultat nul.

L’intégrale relative à $p$ n’a aucune difficulté ; il n’y a qu’à faire $\cos p=u,$ et l’on aura une différentielle rationnelle en $u,$ mais dont l’intégrale renfermera un arc de cercle ; l’intégrale relative à $q$ se trouvera de la même manière en faisant $\operatorname {tang} q=t,$ et sa valeur complète sera algébrique ; ainsi il y a de l’avantage à commencer par cette dernière mais l’intégration suivante relative à $q$ dépendra alors de la rectification des sections coniques.

Au reste, comme la propriété que nous avons trouvée par induction dans le n^o 10 a été démontrée rigoureusement par Laplace et Legendre, les résultats précédents doivent aussi être regardés comme rigoureux.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 619.
2. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 1.