Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur les courbes tautochrones

Joseph-Louis Lagrange

Sur les courbes tautochrones

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 317-332).

SUR LES
COURBES TAUTOCHRONES^[1].

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(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXI, 1765.)

On appelle en général courbe tautochrone une courbe telle, que si un corps se meut le long de sa concavité, soit en montant, soit en descendant, il emploie toujours le même temps à parcourir un arc quelconque pris du point le plus bas.

M. Huygens ayant démontré, dans son fameux ouvrage intitulé : Horologium oscillatorium, que la cycloïde était la tautochrone des corps pesants dans le vide, cette découverte excita la curiosité des Géomètres, et les engagea à chercher une méthode directe et analytique pour résoudre le Problème du tautochronisme dans une hypothèse quelconque, Problème qui est peut-être un des plus curieux et en même temps des plus difficiles de la Mécanique.

MM. Jean Bernoulli et Euler se sont particulièrement appliqués à cette recherche, et ont donné presque en même temps, l’un dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1730, et l’autre dans le tome IV des Commentaires de l’Académie de Pétersbourg, et ensuite dans le second volume de sa Mécanique, des méthodes très-ingénieuses pour déterminer les tautochrones dans un milieu résistant, comme le carré de la vitesse, et dans quelque hypothèse de pesanteur que ce soit. Ces méthodes, qui sont les mêmes quant au fond, consistent à faire en sorte que l’expression générale du temps $\int {\frac {dx}{u}}$ devienne égale à une fonction de dimension nulle de deux quantités quelconques, l’une constante $\mathrm {A}$ et l’autre variable $\mathrm {X} ,$ telles qu’en faisant $\mathrm {X=A}$ on ait le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à sa fin. Car alors la quantité $\mathrm {A} ,$ qui dépend de l’arc total que le corps doit parcourir, s’évanouit nécessairement de la formule $\int {\frac {dx}{u}},$ lorsque $\mathrm {X=A} ,$ et par conséquent l’expression du temps se trouve entièrement indépendante de la longueur de cet arc. Or, pour cela il suffit que la quantité différentielle ${\frac {dx}{u}}$ soit elle-même une fonction de dimension nulle de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {A} ,$ comme par exemple ${\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {\sqrt {A^{2}-P^{2}}} }}$ et d’autres semblables ; condition à laquelle il n’est pas difficile de satisfaire lorsqu’on peut avoir l’expression de la vitesse $u,$ ce qui arrive quand la résistance est nulle et quand elle est proportionnelle au carré de la vitesse ; mais il n’en est pas tout à fait de même dans les autres cas où l’équation en $u$ n’est point intégrable. Aussi les deux grands Géomètres dont nous venons de parler n’ont-ils considéré d’autres hypothèses de résistance que celle du carré de la vitesse, et M. Fontaine est le seul qui ait fait jusqu’ici quelques pas de plus dans cette recherche. Sa méthode est fondée sur un calcul particulier qu’il appelle fluxio-différentiel et qui consiste à faire varier les mêmes quantités de deux manières différentes ; et l’on peut regarder l’ouvrage qu’il a donné sur cette matière comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, et surtout comme celui qui a le plus contribué à la célébrité de cet illustre Mathématicien.

Mais, quelque profonde et quelque ingénieuse que soit cette nouvelle théorie des tautochrones, il faut avouer qu’elle laisse encore beaucoup à désirer. Lorsqu’il n’y a point de résistance, et que par conséquent la force accélératrice du corps est entièrement indépendante de la vitesse, on sait depuis longtemps que le tautochronisisme exige que cette force soit proportionnelle à l’espace qui reste à parcourir. Mais quelle est en général la force nécessaire pour produire le tautochronisisme, en la regardant comme une fonction quelconque de l’espace et de la vitesse ? Voilà le Problème qu’il faut résoudre pour avoir une théorie générale et complète des tautochrones. M’étant occupé de ce Problème, voici la solution que j’en ai trouvée, et qui est, si je ne me trompe, générale et nouvelle.

Solution du Problème des tautochrones.

Soient $u$ la vitesse du corps en un point quelconque de la ligne qu’il décrit, $p$ sa force accélératrice dans ce point, $x$ l’espace qu’il a encore à parcourir, et $a$ l’espace total depuis le point d’où le corps est parti jusqu’à celui où il doit arriver ; on aura, comme on sait (à cause que, $x$ croissant, $u$ diminue), l’équation

$udu+pdx=0.$

Et le temps que le corps doit employer à parcourir l’espace $x$ sera exprimé par $\int {\frac {dx}{u}}\,;$ de sorte qu’en faisant, après l’intégration, $x=a,$ on aura le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à la fin. Or, ce temps doit être indépendant de l’espace parcouru $a,$ par la nature du Problème ; donc il faut que la valeur de $\int {\frac {dx}{u}}$ soit telle, qu’en faisant $x=a,$ $a$ s’évanouisse entièrement.

Soient $\mathrm {X}$ une fonction quelconque de $x,$ et $\mathrm {A}$ une pareille fonction de $a\,;$ il est clair que la condition dont il s’agit aura lieu si, en faisant $\mathrm {X} =z\mathrm {A} ,$ et substituant la valeur de $x$ tirée de cette équation dans la formule $\int {\frac {dx}{u}},$ cette substitution y fait disparaître la quantité $a$ et la réduit à n’être qu’une fonction de $z\,;$ car alors la supposition de $x=a$ donnera $\mathrm {X=A}$ et par conséquent $z=1\,;$ de sorte que la formule $\int {\frac {dx}{u}}$ aura dans ce cas une valeur déterminée et indépendante de $a.$ Donc, si l’on différentie cette formule en faisant varier $x$ et $a,$ qu’ensuite on suppose $dx=\mathrm {X} 'd\mathrm {X} ,\ da=\mathrm {A} 'd\mathrm {A} ,$ ( $\mathrm {X} '$ étant une fonction de $\mathrm {X}$ ou $x,$ et $\mathrm {A} '$ une pareille fonction de $\mathrm {A}$ ou $a$), et qu’on mette à la place de $d\mathrm {X}$ sa valeur $\mathrm {A} dz+zd\mathrm {A} ,$ il faudra que le coefficient de $d\mathrm {A}$ soit égal à zéro. Cela posé, comme la vitesse $u$ doit dépendre des deux quantités $x$ et $a,$ supposons qu’en les faisant varier toutes deux en même temps on ait la différentielle

$du=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} da,$

il est clair qu’on aura d’abord, en vertu de l’équation $udu+pdx=0,$

$\mathrm {P} =-{\frac {p}{u}}\,;$

ensuite la différentielle de $\int {\frac {dx}{u}}$ sera, dans la même supposition,

${\frac {dx}{u}}-da\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\,;$

laquelle, en faisant les substitutions convenables, c’est-à-dire en mettant $\mathrm {X} '(\mathrm {A} dz+zd\mathrm {A} )$ au lieu de $dx,$ et $\mathrm {A} 'd\mathrm {A}$ au lieu de $da,$ deviendra

${\frac {\mathrm {A} \mathrm {X} 'dz}{u}}+\left({\frac {\mathrm {X} 'z}{u}}-\mathrm {A} '\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\right)d\mathrm {A} .$

Donc il faudra que l’on ait

${\frac {\mathrm {X} 'z}{u}}-\mathrm {A} '\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=0\,;$

c’est-à-dire, en remettant pour $z$ sa valeur $\mathrm {\frac {X}{A}} ,$ et faisant, pour plus de simplicité, $\mathrm {XX} '=\xi$ et $\mathrm {AA'} =\alpha ,$

${\frac {\xi }{u}}-\alpha \int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=0.$

D’où, en faisant varier $x$ seul, on tire

$\mathrm {Q} ={\frac {ud\xi -\xi du}{\alpha dx}},$

et mettant pour ${\frac {du}{dx}}$ sa valeur $\mathrm {P} ,$ ou bien $-{\frac {p}{u}},$

$\mathrm {Q} ={\frac {{\cfrac {ud\xi }{dx}}+{\cfrac {p\xi }{u}}}{\alpha }}.$

De sorte que la valeur complète de $du$ sera en général

$du=-{\frac {pdx}{u}}+\left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right){\frac {da}{\alpha }},$

$\xi$ étant une fonction quelconque de $x,$ et $\alpha$ une pareille fonction de $a.$

Maintenant, soit $\mathrm {R}$ le facteur composé de $x$ et de $u,$ qui, multipliant l’équation

$du+{\frac {pdx}{u}}=0,$

dans laquelle $a$ est supposé constant, la rendrait intégrable, il est évident que ce même facteur étant regardé comme une fonction de $u,x$ et $a$ doit aussi rendre intégrable l’équation

$du+{\frac {pdx}{u}}-\left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right){\frac {da}{\alpha }}=0\,;$

donc il faut que l’équation

$\mathrm {R} \left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right)\left({\frac {udu+pdx}{{\cfrac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi }}+{\frac {da}{\alpha }}\right)=0$

soit intégrable ; et comme le terme ${\frac {da}{\alpha }}$ est une fonction de $a$ seul, et que les termes ${\frac {udu+pdx}{{\cfrac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi }}$ ne contiennent point $a,$ mais seulement $x$ et $u,$ il s’ensuit : 1^o que le multiplicateur commun $\mathrm {R} \left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right)$ doit être une quantité constante, c’est-à-dire que $\mathrm {R}$ doit être réciproquement proportionnel à ${\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\,;$ 2^o que par conséquent la quantité ${\frac {udu+pdx}{{\cfrac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi }}$ doit être une différentielle complète de $x$ et $u.$

Soit

${\frac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi =r,$

ce qui donne

$p={\frac {r}{\xi }}-{\frac {u^{2}d\xi }{\xi dx}},$

et l’on aura la transformée

${\frac {\zeta udu-u^{2}d\xi }{\xi r}}+{\frac {dx}{\xi }},$

laquelle, en faisant ${\frac {u}{\xi }}=y,$ se changera en celle-ci

${\frac {u^{2}dy}{ry}}+{\frac {dx}{\xi }}.$

Or, comme $\xi$ est une fonction de $x,$ il est visible que cette quantité ne saurait être une différentielle complète, à moins que ${\frac {u^{2}}{r}}$ ne soit une fonction de $y$ seule.

Donc, si l’on dénote par $\varphi (y)$ une fonction quelconque de $y$, il faudra que l’on ait $r=u^{2}\varphi (y),$ c’est-à-dire, à cause de $y={\frac {u}{\xi }},\ r=u^{2}\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right).$ Donc, en substituant cette valeur de $r$ dans l’équation $p={\frac {r}{\xi }}-{\frac {u^{2}d\xi }{\xi dx}},$ on aura

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right].$

Telle est l’expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme, où $\xi$ peut être une fonction quelconque de $x,$ et $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)$ une fonction quelconque de ${\frac {u}{\xi }}.$

Remarque. — La solution précédente est fondée sur cette considération qu’en faisant $\mathrm {X} =z\mathrm {A}$ l’expression du temps $\int {\frac {dx}{u}}$ doit devenir une fonction de la seule variable $z.$ Soit donc $\Pi (z)$ cette fonction ; on aura en général

$\int {\frac {dx}{u}}=\Pi (z)+c,$

la constante $c$ devant être telle que $\int {\frac {dx}{u}}$ soit nul lorsque $x=0.$ Or, puisque $\mathrm {X}$ est une fonction quelconque de $x,$ supposons qu’elle devienne

égale à $f$ quand $x=0\,;$ et l’on aura dans ce cas $z={\frac {f}{\mathrm {A} }}\,;$ donc il faudra que

$\Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right)+c=0,$

et par conséquent que

$c=-\Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right),$

de sorte qu’on aura

$\int {\frac {dx}{u}}=\Pi (z)-\Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right)\,;$

d’où l’on voit que la valeur de $\int {\frac {dx}{u}}$ contiendra nécessairement la quantité $\mathrm {A} ,$ à moins que $f$ ne soit égal à zéro. Donc il faut, pour l’exactitude de la solution, que la fonction $\mathrm {X}$ soit telle qu’elle s’évanouisse lorsque $x=0\,;$ et comme $\xi =\mathrm {XX} ',$ il faudra aussi que la quantité $\xi$ devienne nulle dans le même cas.

Exemple. — Supposons

$\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)=f+g{\frac {\xi }{u}}+h{\frac {\xi ^{2}}{u^{2}}},$

$f,g,h$ étant des constantes quelconques, nous aurons

$p=h\xi +gu+\left({\frac {f}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right)u^{2}.$

Soit ${\frac {f}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}=k,$ en sorte que

$p=h\xi +gu+ku^{2},$

et l’on trouvera par l’intégration

$\xi =\mathrm {C} e^{-kx}+{\frac {f}{k}},$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire qu’on déterminera par la condition que $\xi =0$ lorsque $x=0$ (Remarque précédente) ; de sorte qu’on aura

$\mathrm {C} =-{\frac {f}{k}},$

et par conséquent

$\xi =f{\frac {1-e^{-kx}}{k}}.$

On voit par là que pour que le tautochronisme ait lieu dans un milieu dont la résistance serait en général $-gu-ku^{2},$ il faut que le mobile soit sollicité par une force proportionnelle à $\xi ,$ c’est-à-dire à ${\frac {1-e^{-kx}}{k}},$ $x$ étant l’espace à parcourir.

Si $k=0,$ c’est-à-dire si la résistance du milieu était simplement proportionnelle à la vitesse, on aurait (en supposant $k$ infiniment petit) la force proportionnelle à $x\,;$ et il en serait de même si la résistance était tout à fait nulle. Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

Au reste, ces cas sont les seuls où l’on ait pu jusqu’ici déterminer les lois du tautochronisme ; notre méthode donne, comme on voit, le moyen d’étendre cette recherche aussi loin qu’il est possible.

Corollaire I. — C’est une chose digne de remarque que l’expression de la force sollicitatrice qu’on vient de trouver pour le cas de la résistance $gu-ku^{2}$ ne dépende en aucune manière du terme $gu\,;$ de sorte que la même courbe qui est tautochrone dans le vide, ou dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, doit l’être aussi dans un milieu dont la résistance serait proportionnelle à la vitesse, ou en partie aq carré de la vitesse. Pour en trouver la raison, il n’y a qu’à examiner l’expression générale de $p,$ et l’on verra que, comme la quantité $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)$ exprime une fonction quelconque de $p$ on peut écrire $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)+g{\frac {\xi }{u}}$ au lieu de $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)\,;$ ce qui donnera simplement dans la valeur de $p$ le nouveau terme $gu.$ D’où l’on peut conclure en général que toute courbe, qui est tautochrone dans une hypothèse quelconque de force et de résistance, l’est aussi en supposant la résistance augmentée d’une quantité proportionnelle à la vitesse.

Corollaire II. — L’équation

$pudu+pdx=0$

donne, en mettant pour $p$ sa valeur $u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right],$ et faisant, comme ci-dessus, ${\frac {u}{\xi }}=y,$

${\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,$

d’où l’on tirera la valeur de $y$ en $x,$ et par conséquent aussi celle de $u,$ à cause que $u=\xi y.$

Soit

$\int {\frac {dy}{y\varphi (y)}}=\Phi (y),$

l’intégrale étant prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $y=0,$ on aura, en substituant ${\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}$ au lieu de ${\frac {dx}{\xi }},$ et intégrant ensuite,

$\Phi (y)+\log \mathrm {X=C} ,$

$\mathrm {C}$ étant la valeur de $\mathrm {X}$ lorsque $y=0.$ Or, puisque $y={\frac {u}{\xi }}$ et que $u$ doit être égal à zéro au commencement du mouvement lorsque $x=a$ et par conséquent $\mathrm {X=A} ,$ on aura $\mathrm {C=\log A} \,;$ donc

$\Phi (y)=\log \mathrm {\frac {A}{X}} ,$

et faisant $\mathrm {X} =z\mathrm {A} ,$

$\Phi (y)=-\log z.$

Dénotons par $\Psi$ la fonction réciproque de $\Phi ,$ c’est-à-dire une fonction telle que $\Psi \left(\Phi (y)\right)=y,$ et l’on aura $y=\Psi (-\log z)\,;$ donc $u=\xi \Psi (-\log z)\,:$ donc

${\frac {dx}{u}}={\frac {dx}{\xi \Psi (-\log z)}}={\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} \Psi (-\log z)}}={\frac {dz}{z\Psi (-\log z)}},$

quantité qui doit être intégrée de manière qu’elle soit nulle lorsque $z=0.$ Or $z$ est donnée en $x$ par l’équation $z=\mathrm {\frac {X}{A}} \,;$ donc on connaîtra Cdx aussi la vitesse $u$ et le temps $\int {\frac {dx}{u}}$ en $x.$ Si l’on veut avoir le temps total

employé à décrire l’arc $a,$ il faudra faire $x=a$ ou bien $z=1\,;$ et comme l’expression du temps est une fonction de $z$ seul, il est clair que le temps total sera indépendant de la longueur de l’arc parcouru $a.$

Corollaire III. — Soit $t$ le temps employé à parcourir un arc quelconque $a-x,$ pris du point où le corps commence à se mouvoir, en sorte que l’on ait

$dt=-{\frac {dx}{u}},$

et comme $u=\xi y,$ on aura

$dt=-{\frac {dx}{\xi y}},$

et mettant au lieu de ${\frac {dx}{\xi }}$ valeur tirée de l’équation

${\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,$

il viendra

$dt={\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}}.$

Or, au commencement du mouvement, on a $x=a$ et $u=0,$ donc $y=0\,;$ et à la fin on a $x=0$ et par conséquent aussi $\xi =0$ (par la Remarque précédente), donc $y={\frac {u}{\xi }}=\infty .$ Ainsi, pour déterminer le mouvement du corps, il n’y a qu’à intégrer les équations

${\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,\quad {\text{et}}\quad dt={\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}},$

de manière que $y$ soit nulle lorsque $t=0$ et $x=a\,;$ et l’on aura $y$ en $x$ et $t$ en $y\,;$ ou bien, à cause de $y={\frac {u}{\xi }},$ on aura $u$ en $x,$ et $t$ en $x$ et $u.$ À l’égard du temps total, on le trouvera en faisant, dans l’expression de $t,$ $y=\infty .$

Corollaire IV. — Soit, comme dans l’exemple ci-dessus,

$\varphi (y)=f+{\frac {g}{y}}+{\frac {h}{y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \xi =f{\frac {1-e^{-kx}}{k}},$

en sorte que la résistance du milieu soit $gu+ku^{2},$ et la force sollicitatrice $hf{\frac {1-e^{-kx}}{k}},$ l’équation

${\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0$

deviendra

${\frac {dy}{fy+g+{\cfrac {h}{y}}}}+{\frac {kdx}{f\left(1-e^{-kx}\right)}}=0,$

ou bien

${\frac {ydy}{h+gy+fy^{2}}}+{\frac {ke^{kx}dx}{f\left(e^{kx}-1\right)}}=0,$

dont l’intégrale, prise de manière que $y=0$ lorsque $x=a,$ est

$\log {\frac {h+gy+fy^{2}}{h}}-{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}$

$\times \left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right)+{\frac {1}{f}}\log {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}=0$

c’est-à-dire

${\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}{\sqrt {1+{\frac {g}{h}}y+{\frac {f}{h}}y^{2}}}={\frac {e^{{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}}{e^{{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}}},$

d’où l’on tirera la valeur de $y$ en $x.$ Ensuite on aura

${\begin{aligned}u=&fy{\frac {1-e^{kx}}{k}},\\t=&\int {\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}}=\int {\frac {dy}{h+gy+fy^{2}}},\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en intégrant de manière que $t=0$ lorsque $y=0,$

$t={\frac {1}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right).$

Faisant $y=\infty ,$ on aura le temps total égal à

${\frac {1}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\left({\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right),$

$\pi$ étant l’angle de $180$ degrés.

Soit $g=0,$ on aura

${\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}{\sqrt {1+{\frac {fy^{2}}{h}}}}=1,$

d’où

${\sqrt {1+{\frac {fy^{2}}{h}}}}={\frac {e^{ka}-1}{e^{kx}-1}}.$

On aura de plus

$t={\frac {1}{\sqrt {fh}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy}{\sqrt {fh}}}.$

Or

$\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy}{\sqrt {fh}}}=\operatorname {arc} \cos {\frac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {fy^{2}}{h}}}}},$

donc

$t={\frac {1}{fh}}\operatorname {arc} \cos {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}},$

et faisant $x=0,$ on aura pour le temps total

${\frac {\pi }{2{\sqrt {fh}}}}.$

Scolie. — Si l’on voulait que le temps employé à parcourir l’espace $a$ fût proportionnel à $\mathrm {A} ^{m},$ le Problème pourrait se résoudre de la même manière, en supposant $\int {\frac {dx}{u}}=\mathrm {ZA} ^{m}$ ($\mathrm {Z}$ étant une fonction quelconque de $z$), ce qui donnerait par la différentiation

${\frac {d\int {\cfrac {dx}{u}}}{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}+{\frac {md\mathrm {A} }{\mathrm {A} }},$

c’est-à-dire, en substituant à la place de la différence de $\int {\frac {dx}{u}}$ sa valeur trouvée dans le Problème précédent,

${\frac {{\cfrac {\mathrm {AX'} dz}{u}}+\left({\cfrac {\mathrm {X} 'z}{\mathrm {Z} }}-\mathrm {A} '\int {\cfrac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\right)d\mathrm {A} }{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}+{\frac {md\mathrm {A} }{\mathrm {A} }}.$

Donc, comparant ensemble les termes de $d\mathrm {A} ,$

${\frac {{\cfrac {\mathrm {X} 'z}{\mathrm {Z} }}-\mathrm {A} '\int {\cfrac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}}{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {m}{\mathrm {A} }},$

c’est-à-dire, en multipliant par $\mathrm {A} \int {\frac {dx}{u}},$ et substituant $\mathrm {\frac {X}{A}}$ à la place de $z,$ $\xi$ à la place de $\mathrm {XX} '$ et $\alpha$ à la place de $\mathrm {AA} ',$

${\frac {\xi }{u}}-\alpha \int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=m\int {\frac {dx}{u}},$

d’où, en différentiant, on aura

$\mathrm {Q} ={\frac {u(d\xi -mdx)-\xi du}{\alpha dx}},$

ou bien, à cause de ${\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},$

$\mathrm {Q} ={\frac {u\left({\cfrac {d\xi }{dx}}-m\right)+{\cfrac {p\xi }{u}}}{\alpha }}.$

Ainsi on trouvera que la quantité

${\frac {udu+pdx}{u^{2}\left({\cfrac {d\xi }{dx}}-m\right)+p\xi }}$

doit être une différentielle complète ; de sorte qu’en faisant

$u^{2}\left({\frac {d\xi }{dx}}-m\right)+p\xi =r,$

la question se réduira à rendre la quantité

${\frac {\xi udu-u^{2}(d\xi -mdx)}{\xi r}}$

une différentielle exacte.

Qu’on mette ${\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}$ à la place de ${\frac {dx}{\xi }},$ et qu’on divise le haut et le bas de la fraction par $u^{2},$ elle se changera en celle-ci

${\frac {{\cfrac {du}{u}}-{\cfrac {d\xi }{\xi }}+{\cfrac {md\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}}{\cfrac {r}{u^{2}}}},$

c’est-à-dire en

${\frac {d\log {\cfrac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}}{\cfrac {r}{u^{2}}}}\,;$

d’où l’on voit que ${\frac {r}{u^{2}}}$ doit être une fonction de $\log {\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }},$ c’est-à-dire de ${\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\,;$ de sorte qu’on aura

$r=u^{2}\varphi \left({\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right),$

et par conséquent

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}+{\frac {m}{\xi }}\right].$

À l’égard de la valeur de $\mathrm {X} ,$ on la déterminera par le moyen de l’équation ${\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}={\frac {dx}{\xi }},$ laquelle donne $\mathrm {X} =e^{\int {\frac {dx}{\xi }}}.$ Au reste, on prouvera encore ici, comme on a fait dans la Remarque précédente, que la valeur de $\xi$ doit être nulle lorsque $x=0.$

Soit

$\varphi \left({\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right)=f+{\frac {h\xi ^{2}}{u^{2}\mathrm {X} ^{2m}}},$

on aura

$p={\frac {h\xi }{\mathrm {X} ^{2m}}}+u^{2}\left({\frac {f+m}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right),$

et faisant

${\frac {f+m}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}=k,$

on aura

$\xi ={\frac {f+m}{k}}\left(1-e^{-kx}\right)\,;$

donc

${\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}={\frac {dx}{\xi }}={\frac {ke^{kx}dx}{(f+m)\left(e^{kx}-1\right)}},$

d’où l’on tire

$\log \mathrm {X} ={\frac {1}{f+m}}\log {\frac {e^{kx}-1}{k}},$

et ensuite

$\mathrm {X} =\left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{\frac {1}{f+m}}.$

Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\frac {m}{f+m}}=n\quad {\text{et}}\quad h(f+m)=g,$

on aura

$p=ge^{-kx}\left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{1-2n}+ku^{2},$

et le temps total employé à parcourir l’espace $a$ sera proportionnel à $\left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{n}.$

Si $k=0,$ alors $p=gx^{1-2n},$ et le temps total devient proportionnel à $a^{n}.$

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APPENDICE^[2].

En examinant la solution que nous venons de donner du Problème des tautochrones, il est aisé de voir qu’elle se réduit à faire en sorte que l’élément du temps $dt$ soit de cette forme $\mathrm {Y} dy,$ $\mathrm {Y}$ dénotant une fonction quelconque de $y$, et $y$ étant égal à ${\frac {u}{\xi }}.$ En effet, puisque au commencement du mouvement on a $u=0,$ et à la fin $x=0,$ et par conséquent aussi $\xi =0$ (hypothèse), il est clair que le temps total sera égal à l’intégrale de $\mathrm {Y} dy$ prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $y=0$ et qu’elle finisse lorsque $y=\infty ,$ et qu’ainsi il sera tout à fait indépendant de l’arc parcouru, comme la nature du Problème exige.

De là il s’ensuit que l’on peut rendre notre solution beaucoup plus générale en prenant pour y une fonction quelconque de $u$ et de $x,$ pourvu qu’elle soit nulle lorsque $u=0,$ et qu’elle soit infinie lorsque $x=0,$ conditions qui peuvent avoir lieu d’une infinité de manières.

Soit donc $y$ une fonction quelconque de $u$ et de $x$ telle, que $y=0$ quand $u=0,$ et $y=\infty$ quand $x=0,$ et soit $dy=\mathrm {M} du+\mathrm {N} dx\,;$ qu’on dénote par $\mathrm {Y}$ une fonction quelconque de $y$, et l’on aura en général, dans le cas du tautochronisme,

$dt=\mathrm {Y} dy,$

c’est-à-dire, en mettant pour $dt$ sa valeur ${\frac {dx}{u}},$ et pour $dy,$ $\mathrm {M} du+\mathrm {N} dx,$

$\left({\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} \right)dx-\mathrm {YM} du=0.$

Or l’équation $udu+pdxs=0$ donne $du=-{\frac {pdx}{u}}\,;$ donc, faisant cette substitution, et divisant toute l’équation par $dx,$ on aura

${\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} +{\frac {\mathrm {YM} p}{u}}=0,$

d’où l’on tire

$p={\frac {\mathrm {N} u}{\mathrm {M} }}-\mathrm {\frac {1}{MY}} .$

C’est là, ce me semble, la solution la plus simple et en même temps la plus générale qu’on puisse donner du Problème dont il s’agit.

1. Lu dans l’Assemblée du 4 mars 1767.
2. Lu à l’Académie le 30 avril 1767.