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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Pour un observateur qui posséderait quatre dimensions d’espace, l’Univers d’Einstein apparaîtrait comme sphérique dans un hyperespace quadridimensionnel euclidien^[1] [l’expression (28-17) de $dl^{2}$ est euclidienne dans un hyperespace Fig. 20.
quadridimensionnel]. Mais l’homme, qui ne possède que trois dimensions, n’a pas la perception directe de la courbure suivant une quatrième dimension d’espace ; tout rayon lumineux lui arrivant dans l’espace tangent, c’est dans cet espace que toutes choses lui apparaissent : mieux encore, il fait réellement la projection conique qui vient d’être indiquée^[2].

En effet, l’observateur en $\mathrm {O}$ déterminera la distance du point $\mathrm {C}$ par une mesure de parallaxe, en s’imaginant que l’espace est euclidien. Il se déplacera de $\mathrm {O}$ en un point $\mathrm {O} ',$ perpendiculairement à $\mathrm {OC} ,,$ d’une longueur extrêmement petite $\mathrm {OO'} =a=\mathrm {U} \alpha ,$ $\alpha$ étant l’angle ${\widehat {\mathrm {OAO'} }}\,;$ il mesurera l’angle $\beta ={\widehat {\mathrm {OO'C} }}$ et croira que le parallaxe $\varpi$ de $\mathrm {C}$ est $\varpi ={\frac {\pi }{2}}-\beta ,$ c’est-à-dire $\cos \beta ,$ puisque $\beta$ est extrêmement petit. Or, dans le triangle sphérique $\mathrm {OO'C} ,$ on a $\cos \beta =\operatorname {tang} \alpha \cot \chi ,$ ou $\varpi ={\frac {\alpha }{\operatorname {tang} \chi }}\,;$ la distance $\mathbf {r}$ que l’observateur déduira de $\varpi$ est donc

$\mathbf {r} ={\frac {a}{\varpi }}={\frac {\mathrm {U} \operatorname {tang} \alpha }{\alpha }}\operatorname {tang} \chi =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi .$

Ainsi, la projection sur l’espace euclidien tangent repré-

1. Nous continuons à négliger les perturbations locales dues aux champs de gravitation et à n’envisager que l’aspect d’ensemble.
2. Démonstration due à M. Mineur.