D et de l’intervalle DE, coupe AD, et passe au-delà de DZ. Soit donc décrit l’arc HET, et prolongez DZ en T ; puisque le secteur DET (j) est plus grand que le triangle DEZ, et que le triangle DEA est plus grand que le secteur DEH, il s’ensuit que le triangle DEZ est en moindre raison, relativement au triangle DEA, que le secteur DET, relativement au secteur DEH. Mais comme le triangle DEZ est au triangle DEA, ainsi la droite EZ est à la droite EA (k) ; et comme le secteur DET est au secteur DEH, ainsi l’angle ZDE est à l’angle EDA : donc la droite ZE est à la droite EA, en moindre raison que l’angle ZDE à l’angle EDA. Et, par conséquent, par addition (componendo), la droite ZA est à la droite EA, en moindre raison que l’angle ZDA à l’angle ADE ; doublant les premiers termes de ces raisons, la droite GA est à la droite AE, en moindre raison que l’angle CDA à l’angle EDA ; et, par soustraction (dividendo), la droite GE est à la droite EA, en moindre raison que l’angle GDE à l’an gle EDA. Mais comme GE est EA, ainsi GB est à BA ; et comme l’angle GBD est à l’angle BDA, ainsi l’arc GB est à l’arc BA : concluons, que la droite GB est à la droite BA, en moindre raison que l’arc GB à l’arc BA.
Cela posé, soit le cercle ABG ; menez-y deux droites AB et AG, en supposant AB
ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ ΕΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος, τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεσεῖται δὲ τὴν ΔΖ. Γεγράφθω δὴ ὁ ΗΕΤ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΤ· καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ὁ ΔΕΤ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ. Ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ· ὡς δὲ ὁ ΔΕΤ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. Καὶ συνθέντι ἄρα, ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς [45] τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι, ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. Ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ, ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ· ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν.
Τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου, ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ
