On ne peut baser aucun raisonnement sur une série divergente, c’est-à-dire sur une suite régulière de termes dont la somme croît au-delà de toute limite. Les géomètres du XVIIIe siècle n’ont guère tenu compte de la convergence des séries et c’est Cauchy qui a éclairé le premier la question. On raconte qu’après une communication de ce dernier à l’Académie, Laplace quitta brusquement ses confrères, et se renferma chez lui pendant près d’un mois, pour vérifier la convergence de toutes les séries sur lesquelles est fondée sa mécanique céleste. Heureusement, aucune n’était divergente !
Abel a dit que : « Avec une série divergente, on prouve tout ce qu’on veut, l’impossible aussi bien que le possible. »
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En mathématiques, il n’y a de vraiment impossible que le contradictoire. On peut lever l’impossibilité provisoire provenant d’une vue trop étroite de la question : Pourquoi exiger le résultat sous une certaine forme ou entre certaines limites ? D’autre part, si vous ne trouvez pas la solution rigoureuse d’un problème, vous pouvez chercher des valeurs de plus en plus approchées et raisonner l’approximation.
