Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 09

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 109-117).

CHAPITRE IX.

Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières.

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58. La méthode que nous venons d’exposer pour trouver l’équation primitive par le moyen des séries est fondée sur la supposition que toute fonction $\operatorname {F} (x,y)$ de deux variables $x,y$ puisse toujours, par la substitution de $p+qi+ri^{2}+\ldots$ à la place de $y,$ se développer en une série ascendante suivant les puissances entières de $i\,;$ mais, comme cette série résulte du développement d’une fonction de $y+o,$ en faisant $o=qi+ri^{2}+\ldots$ et donnant à $y$ une valeur particulière $p,$ il s’ensuit de la théorie que nous avons donnée dans le Chapitre V que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de $o,$ auquel cas la série dont il s’agit contiendrait nécessairement de pareilles puissances de $i.$ Alors la série qui doit représenter la valeur de $y$ pourra ne plus avoir la même forme ; mais, comme $y=f(x,a),$ et qu’on suppose $a=h+i$ et $p=f(x,h),$ le premier terme sera toujours $p$ et le second pourra encore être supposé de la forme $qi,$ car, s’il était de la forme $qi^{n},$ $n$ étant un exposant quelconque, il n’y aurait qu’à substituer $i^{\frac {1}{n}}$ à la place de $i$ et supposer que $a$ devienne $h+i^{\frac {1}{n}},$ ce qui est indifférent, puisqu’on regarde $i$ comme une constante arbitraire ; mais les termes suivants pourront être de la forme $ri^{m}+si^{n}+\ldots ,$ où $m$ devra être $>1,$ $n>m,$ par hypothèse.

Substituant donc, dans $\operatorname {F} (x,y),$ pour $y,$ la série

$p+qi+ri^{m}+si^{n}+\ldots ,$

et développant suivant les puissances ascendantes de $i,$ on aura une série de cette forme

$\operatorname {F} (x,p)+\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,$

$\mu$ étant différent de l’unité, $\nu >\mu ,$ et $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ étant des fonctions données de $x.$ Donc l’équation

$y'=\operatorname {F} (x,y)$

deviendra, par ces substitutions,

$iq'+i^{m}r'+i^{n}s'+\ldots =\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,$

laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de $i.$

Donc, si $\mu >1,$ on pourra faire $q'=0,$ $m=\mu$ et $r'=\mathrm {P} ,$ ensuite $n=\nu ,$ $s'=\mathrm {Q} ,\ldots .$ Ainsi, on aura d’abord $q$ égal à une constante, ou plus simplement $q=1\,;$ ensuite, comme $\mathrm {P}$ ne dépend que de $q$ et de $x,$ on trouvera la valeur de $r$ en prenant la fonction primitive de $\mathrm {P} ,$ et ainsi de suite.

59. Mais si $\mu <1,$ alors il sera impossible de satisfaire à l’équation de manière que $i$ demeure une constante arbitraire, et l’on devra en conclure que la valeur particulière $p,$ ne pouvant pas être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l’expression générale $f(x,a),$ qui représente la valeur complète de $y.$

Maintenant il est visible que, quel que puisse être le premier terme $\mathrm {P} i^{\mu }$ du développement de $\operatorname {F} (x,y)$ par la substitution, de $p+qi+ri^{m}+\ldots$ à la place de $y,$ il ne peut venir que des termes $p+qi,$ de sorte qu’il sera le même que si l’on substituait simplement $p+qi$ à la place de $y.$ Donc le développementde $\operatorname {F} (x,y)$ par la substitution de $p+o$ à la place de $y$ sera $\operatorname {F} (x,p)+{\frac {\mathrm {P} o^{\mu }}{q^{\mu }}}+\ldots \,;$ donc, puisque la série résultante de ce développement contient un terme affecté de $o^{\mu },$ où $\mu$ est $>0$ et $<1,$ il s’ensuit de la théorie donnée au n^o 29 que la fonction prime $\operatorname {F} '(y)$ devra devenir infinie lorsque $y=p.$

De là on tire cette conclusion que la valeur particulière $p$ ne pourra pas être contenue dans l’expression complète de $y$ si cette valeur rend la fonction $\operatorname {F} '(y)$ infinie, c’est-à-dire la fonction ${\frac {1}{\operatorname {F} '(y)}}$ nulle.

Réciproquement donc, l’équation ${\frac {1}{\operatorname {F} '(y)}}=0$ donnera toutes les valeurs de $y$ qui, pouvant satisfaire à l’équation $y'=\operatorname {F} (x,y)$ comme valeurs particulières, ne seront pas renfermées dans la valeur complète. On pourra appeler ces valeurs valeurs singulières, pour les distinguer des autres, et, en général, on pourra appeler équation primitive singulière toute équation en $x$ et $y$ qui satisfera à une équation du premier ordre entre $x,y$ et $y',$ ou à une équation d’un ordre supérieur, et qui ne sera pas comprise dans l’équation primitive complète, c’est-à-dire qui ne sera pas un cas particulier de cette équation.

60. Nous venons de voir qu’il y a une espèce d’équations qui peuvent satisfaire à des équations d’un ordre supérieur et qui ne satisfont pas aux équations d’où celles-ci peuvent être dérivées, parce qu’elles ne sont pas renfermées dans les équations complètes d’un ordre inférieur à celles-ci. Ces équations ne forment pas une exception à la théorie générale exposée plus haut (n^o 46), mais elles résultent d’une considération particulière dans la manière dont les équations d’un ordre supérieur sont dérivées par l’élimination des constantes. En effet, on y a vu que les deux équations $\operatorname {F} (x,y)=0$ et $\operatorname {F} (x,y)'=0$ donnent, par l’élimination d’une constante $a,$ une équation dérivée du premier ordre entre $x,y$ et $y',$ dont $\operatorname {F} (x,y)=0$ sera l’équation primitive.

Or il est évident que le résultat de cette élimination serait le même si la quantité $a,$ au lieu d’être constante, était une fonction quelconque de $x\,;$ mais, dans ce cas, la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y)$ ne serait plus simplement $\operatorname {F} (x,y)'\,:$ elle contiendrait de plus une partie provenant de la variation de $a,$ et, si l’on désigne par $\operatorname {F} '(a)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y)$ prise relativement à la variable $a,$ on aura $a'\operatorname {F} '(a)$ pour la partie dont il s’agit, $a'$ étant la fonction prime de $a$ regardé comme fonction de $x.$

Ainsi, dans le cas où $a$ serait fonction de $x,$ l’équation prime de $\operatorname {F} (x,y)=0$ serait

$\operatorname {F} (x,y)'+a'\operatorname {F} '(a)=0\,;$

donc, pour qu’elle se réduise à $\operatorname {F} (x,y)'=0,$ comme dans le cas de $a$ constante, il faudra que l’on ait $\operatorname {F} '(a)=0,$ équation qui servira à déterminer la valeur de $a,$ et qui n’est autre chose, comme l’on voit, que l’équation prime de l’équation primitive, prise relativement à $a,$ d’où il s’ensuit que, si l’on substitue cette valeur de $a$ dans l’équation primitive $\operatorname {F} (x,y)=0,$ on aura une équation en $x$ et $y,$ qui satisfera également à l’équation du premier ordre et qui ne sera pas renfermée dans l’équation primitive, où $a$ est la constante arbitraire.

On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs et en déduire des conclusions semblables.

61. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette considération est la même que l’équation primitive singulière, déduite de l’analyse précédente, supposons, comme plus haut (n^o 58), que l’équation du premier ordre soit réduite à la forme $y'=\operatorname {F} (x,y)$ et que son équation primitive complète soit $y=f(x,a),$ $a$ étant la constante arbitraire. Pour en déduire l’équation primitive où $a$ est variable, on prendra l’équation prime relativement à $a$ seul, et, si l’on désigne par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ prise relativement à $a,$ on aura $\varphi (x,a)=0,$ d’où l’on tirera $a,$ qu’on substituera dans $f(x,a),$ et l’on aura une valeur particulière de $y$ qui satisfera aussi à la proposée du premier ordre. Nous appellerons $p$ cette valeur particulière, comme dans le numéro cité.

Maintenant, puisque la valeur compléte $f(x,a)$ de $y$ doit satisfaire à l’équation $y'=\operatorname {F} (x,y)$ quelle que soit la constante $a,$ il s’ensuit que, en faisant la substitution, l’équation résultante

$f'(x,a)=\operatorname {F} \left[x,f(x,a)\right]$

devra avoir lieu quelle que soit la valeur de $a.$ Par conséquent, son équation prime, prise relativement à $a$ regardée comme seule variable, devra avoir lieu aussi quelle que soit la valeur de $a$ (n^o 17).

Puisque $f'(x,a)$ est la fonction prime de $f(x,a)$ prise relativement à $x,$ la fonction prime de celle-ci prise relativement à $a$ sera donc la fonction seconde de $f(x,a),$ prise d’abord relativement à $x$ et ensuite relativement à $a,$ laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas, que la fonction seconde de $f(x,a)$ prise d’abord relativement à $a$ et ensuite relativement à $x.$ Ainsi, ayant désigné par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ par rapport à $a,$ on aura $\varphi '(x,a)$ pour la fonction prime de $f'(x,a)$ prise également par rapport à $a,$ les traits appliqués aux caractéristiques $f$ et $\varphi$ ne se rapportant qu’à la variable $x.$

À l’égard de la fonction $\operatorname {F} \left[x,f(x,a)\right],$ comme elle résulte de la substitution de $f(x,a)$ à la place de $y$ dans $\operatorname {F} (x,y),$ sa fonction prime relativement à $a$ sera exprimée par $\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a)$ (n^o 16), puisque nous avons désigné par $\operatorname {F} '(y)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y)$ relativement à $y,$ et par $\varphi (x,a)$ la fonction prime de $f(x,a)$ ou $y$ relativement à $a.$

Donc l’équation prime de l’équation

$f'(x,a)=\operatorname {F} (x,y)$

prise relativement à $a$ sera

$\varphi '(x,a)=\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a),$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(y)={\frac {\varphi '(x,a)}{\varphi (x,a)}}.$

Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière $p,$ il faut substituer dans $f(x,a)$ la valeur de $a$ tirée de l’équation $\varphi (x,a)=0.$ Dénotons par $\mathrm {X}$ cette valeur de $a,$ qui sera une fonction de $x\,;$ la fonction $\varphi (x,a)$ aura cette forme

$\varphi (x,a)=\mathrm {V} (\mathrm {X} -a)^{m},$

$m$ étant $>0,$ et $\mathrm {V}$ étant une fonction de $x$ qui ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque $a=\mathrm {X} \,;$ on tirera de là

$\varphi '(x,a)=\mathrm {V} '(\mathrm {X} -a)^{m}+m\mathrm {V} \mathrm {X} '(\mathrm {X} -a)^{m-1}.$

Donc on aura

$\operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {V'}{V}} +{\frac {m\mathrm {X} '}{\mathrm {X} -a}}.$

Mais $y$ devient $p$ lorsque $a=\mathrm {X} \,;$ donc $\operatorname {F} '(y)$ deviendra infini lorsque $y=p,$ comme dans le cas du n^o  59. Ainsi les deux méthodes des n^os 58 et 60 conduisent aux mêmes résultats et donnent les mêmes valeurs singulières ; mais la seconde a l’avantage d’être plus directe et de donner la vraie métaphysique de cette espèce de paradoxe.

62. Supposons, pour donner un exemple, que l’équation primitive soit

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0\,;$

en prenant les fonctions primes, on aura l’équation prime

$x-ay'=0\,;$

éliminant $a$ par le moyen de l’équation primitive, on aura l’équation du premier ordre

$x-\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right)y'=0,$

dont celle-là sera l’équation primitive complète, $a$ étant la constante arbitraire.

Maintenant, si l’on prend la fonction prime de la même équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

relativement à la quantité $a$ regardée comme une fonction de $x,$ on aura

$-2(y+a)a'=0,$

ce qui donne

$y+a=0,\quad a=-y,$

et, substituant cette valeur dans la même équation primitive, on aura

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0.$

Cette équation satisfera par conséquent aussi à la même équation du premier ordre, ce qui est aisé à vérifier, car elle donne

$y^{2}=b^{2}-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x,$

valeurs qui, étant substituées dans la quantité

$x+yy'-y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},$

la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l’équation primitive singulière.

En effet, suivant la théorie du n^o 61, on aura, dans le cas présent,

$\operatorname {F} (x,y)={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}\,;$

donc, en prenant les fonctions primes relativement à $y$ seul, on trouvera

$\operatorname {F} '(x,y)={\frac {x}{\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},$

quantité qui devient infinie, comme l’on voit, par la supposition de $y=p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}.$

63. Supposons maintenant que l’on ait l’équation du premier ordre $y'=\operatorname {F} (y)$ et que la fonction $\operatorname {F} (y)$ de $y$ soit telle qu’elle devienne nulle lorsque $y$ est égal à une constante donnée $b\,;$ il est visible que cette valeur de $y$ satisfera à l’équation, car $y=b$ donne aussi $y'=0.$ On demande si cette valeur de $y$ est une valeur particulière comprise dans la valeur complète ou bien si ce n’est qu’une valeur singulière. On prendra la fonction prime de $\operatorname {F} (y),$ et, si $\operatorname {F} '(y)$ devient infini lorsque $y=b,$ la valeur $b$ ne sera qu’une valeur singulière ; sinon, elle sera une valeur particulière.

Soit

$\operatorname {F} (y)=\mathrm {K} (y-b)^{m},$

$m$ étant $>0$ et $\mathrm {K}$ une constante ; on aura

$\operatorname {F} '(y)=m\mathrm {K} (y-b)^{m-1},$

quantité qui devient infinie lorsque $m<1\,;$ donc la valeur $y=b$ sera une valeur singulière si $m>0$ et $<1,$ et une simple valeur particulière si $m=$ ou $>1.$ En effet, l’équation

$y'=\mathrm {K} (y-b)^{m},$

étant divisée par $(y-b)^{m}$ et mise sous la forme

$(y-b)^{-m}y'-\mathrm {K} =0,$

a pour équation primitive

${\frac {(y-b)^{1-m}}{1-m}}-\mathrm {K} x=a,$

$a$ étant la constante arbitraire, d’où l’on tire

$y=b+\left[(m-1)(a+\mathrm {K} x)\right]^{\frac {1}{1-m}}.$

Donc, pour que l’on ait $y=b,$ il faudra que la quantité $(a+\mathrm {K} x)^{\frac {1}{1-m}}$ devienne nulle. Or, si $m>0$ et $<1,$ l’exposant ${\frac {1}{1-m}}$ sera positif ; par conséquent, il sera impossible de donner à $a$ une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si $m>1,$ alors, l’exposant ${\frac {1}{1-m}}$ devenant négatif, la quantité $(a+\mathrm {K} x)^{\frac {1}{1-m}}$ deviendra nulle lorsque $a$ sera infini ; car, faisant $a={\frac {1}{c}},$ cette quantité deviendra

${\frac {c^{\frac {1}{m-1}}}{(1+\mathrm {K} cx)^{\frac {1}{m-1}}}},$

laquelle devient zéro lorsque $c=0.$

La même chose a lieu lorsque $m=1\,;$ alors l’équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car on a

$y'=\mathrm {K} (y-b)$

et, divisant par $y-b,$

${\frac {y'}{y-b}}-\mathrm {K} =0,$

dont l’équation primitive est

$\operatorname {l} (y-b)-\mathrm {K} x=\operatorname {l} a,$

d’où l’on tire

$y=b+ae^{\mathrm {K} x},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et $a$ la constante arbitraire. Ici il est évident qu’en faisant $a$ égal à zéro on aura $y=b.$

Supposons encore

$\operatorname {F} (y)={\sqrt {\mathrm {Y} }},$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction de $y$ qui devienne nulle lorsque $y=b,;$ on aura

$\operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {Y'}{2{\sqrt {Y}}}} \,;$

donc, puisque $\mathrm {Y}$ devient nul lorsque $y=b,$ si $\mathrm {Y} '$ ne devient pas nul en même temps, $\operatorname {F} '(y)$ deviendra alors infini et la valeur $y=b$ ne sera qu’une valeur singulière. Donc, pour que cette valeur soit une simple valeur particulière, il faudra que $\mathrm {Y} '$ devienne nul en même temps que $\mathrm {Y} ,$ en faisant $y=b.$

Cette théorie des équations primitives singulières est présentée d’une manière plus générale et avec de nouveaux détails dans les Leçons XIV, XV, XVI et XVII sur le Calcul des fonctions^[1], auxquelles nous renvoyons les lecteurs qui désireraient approfondir davantage ce point d’Analyse.

1. Œuvres de Lagrange, t. X.