Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 03

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 206-219).

CHAPITRE III.

Problèmes directs et inverses sur le contact des courbes. Analyse des cas où l’on propose une relation entre les deux éléments du contact du premier ordre. De la courbe représentée par l’équation primitive singulière d’une équation du premier ordre.

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15. Les problèmes qu’on peut proposer sur les tangentes, les rayons de courbure, etc., et en général sur les contacts des courbes, sont de deux sortes, directs ou inverses. Les problèmes directs se réduisent toujours à trouver quelques-uns des éléments du contact d’un certain ordre, et, comme ils ne dépendent que de l’analyse directe des fonctions, ils sont toujours résolubles analytiquement. Dans les problèmes inverses, on suppose qu’il y a une relation donnée entre quelques-uns de ces éléments et les coordonnées $x,y$ avec les fonctions dérivées $y',$ $y'',\ldots ,$ et cette relation, en y substituant les expressions générales des éléments en $x,y,y',y'',\ldots ,$ devient une équation dérivée d’un certain ordre, dont il faut trouver l’équation primitive pour avoir celle de la courbe cherchée en $x$ et $y.$ Ces problèmes conduisent donc immédiatement à des équations dérivées, et leur solution, dépendant essentiellement de l’analyse inverse des fonctions, se trouve sujette à toutes les difficultés de cette analyse.

Il y a cependant des cas où l’on peut les résoudre directement par des considérations particulières, qui méritent d’autant plus d’attention, qu’elles tiennent à des finesses d’analyse qu’il est intéressant de connaître.

Ces cas sont ceux où la relation donnée n’est qu’entre les éléments mêmes du contact, sans que les coordonnées $x,y$ y entrent.

Pour donner d’abord, par un exemple, une idée de ces sortes de problèmes, supposons qu’on demande la courbe dont chaque tangente coupera, deux ordonnées (prolongées s’il est nécessaire) répondant aux abscisses données $x=m$ et $x=n,$ de manière que le produit des parties de ces ordonnées comprises entre la même tangente et l’axe des abscisses soit toujours constant et égal à $\mathrm {K} .$

Puisque l’équation à la tangente est (n^o 6)

$q=a+bp,$

en faisant successivement $p=m$ et $p=n,$ on aura les deux valeurs de $q,$ dont le produit devra être égal à $\mathrm {K} \,;$ on aura donc, entre les éléments du contact $a$ et $b,$ l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} .$

La marche naturelle et directe serait donc de substituer à la place de $a$ et $b$ leurs valeurs $y-xy'$ et $y'$ (numéro cité) ; on aurait alors cette équation du premier ordre

$\left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right]=\mathrm {K} ,$

dont il ne serait pas aisé de trouver l’équation primitive par les méthodes ordinaires.

Mais, si l’on prend les fonctions primes de cette équation, il vient celle-ci,

$\left[y+(n-x)y'\right](m-x)y''+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)y''=0,$

dont tous les termes se trouvent multipliés par $y'',$ de sorte qu’elle peut se décomposer dans ces deux :

$y''=0\quad {\text{et}}\quad \left[y+(n-x)y'\right](m-x)+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)=0.$

La première, qui est du second ordre, donne sur-le-champ celle-ci du premier,

$y'=\mathrm {A} ,$

où $\mathrm {A}$ est une constante arbitraire ; ainsi, par les principes établis dans les n^os 46 et suivants de la première Partie, on aura l’équation primitive complète de la proposée en y substituant simplement cette valeur de $y'.$

Cette équation sera donc de la forme

$(y-\mathrm {A} x+m\mathrm {A} )(y-\mathrm {A} x+n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,$

savoir, en développant les termes,

$(y-\mathrm {A} x)^{2}+(y-\mathrm {A} x)(m+n)\mathrm {A} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0,$

d’où, en extrayant la racine, on tire

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

en prenant pour $\mathrm {B}$ la racine de l’équation

$\mathrm {B} ^{2}+(m+n)\mathrm {A} \mathrm {B} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0.$

D’où l’on voit que l’on n’a de cette manière qu’une équation à la ligne droite.

En effet, l’équation $y''=0$ ayant donné $y'=\mathrm {A} ,$ celle-ci donnera l’équation primitive

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires ; mais, par la théorie des numéros cités ci-dessus, ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois, car il faut que l’équation trouvée coïncide avec la proposée pour une valeur de $x\,;$ or, faisant $x=0,$ on a

$y=\mathrm {B} ,\quad y'=\mathrm {A} \,;$

donc on aura entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ cette équation de condition,

$(\mathrm {B} +m\mathrm {A} )(\mathrm {B} +n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,$

qui est la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de $\mathrm {B}$ en $\mathrm {A} .$

Venons maintenant à l’autre équation, qui n’est que du premier ordre. Celle-ci servira également à trouver une équation primitive de la proposée par l’élimination de $y'.$ En effet, elle donne

$y'={\frac {(2x-m-n)y}{2(m-x)(n-x)}},$

valeur qui, étant substituée dans la proposée, la réduira à celle-ci,

$y^{2}+{\frac {4\mathrm {K} (m-x)(n-x)}{(m-n)^{2}}}=0,$

équation à l’ellipse ou à l’hyperbole, suivant que $\mathrm {K}$ sera une quantité positive ou négative. Le grand axe sera $m-n,$ le petit axe $2{\sqrt {\pm \mathrm {K} }},$ et les deux sommets seront aux points où $x=m$ et où $x=n.$

La propriété des tangentes qui nous a conduits à cette équation est démontrée dans la proposition XLII du Livre III des Coniques d’Apollonius mais l’analyse précédente a l’avantage de faire voir que cette propriété appartient uniquement aux sections coniques.

16. Si on examine maintenant les deux solutions qu’on vient de trouver, il est facile de voir que la première ne donne que la lignee droite même qu’on a supposée tangente, en regardant les deux éléments $a$ et $b$ comme constants ; car l’équation $y=\mathrm {A} x+\mathrm {B}$ ne diffère point de l’équation $q=a+bp$ de cette tangente, l’équation entre les deux constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant évidemment la même que celle que l’on a supposée entre les quantités $b$ et $a.$

En effet, il est visible que toute droite peut résoudre le problème_1, pourvu qu’il y ait entre ses deux constantes la relation donnée par les conditions du problème, et, comme il reste une constante arbitraire, il s’ensuit que l’équation de cette droite doit être l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème. Donc, analytiquement parlant, le problème est résolu complètement par l’équation même

$y=a+bx,$

$a$ et $b$ étant deux constantes, dont l’une est arbitraire et l’autre en dé-

pend par l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} .$

À l’égard de la seconde solution, comme elle ne contient point de constante arbitraire, elle est à la rigueur moins générale que la première et ne peut être qu’un cas particulier de celle-ci ou bien une solution singulière provenant de la considération que nous avons développée dans le n^o 60 de la I^re Partie.

Il est d’abord facile de se convaincre que cette dernière solution ne peut être un cas particulier de la première, car il faudrait pour cela que l’équation $y=a+bx$ de la première pût satisfaire à l’équation

$y^{2}+{\frac {4\mathrm {K} (m-x)(n-x)}{(m-n)^{2}}}=0$

de la seconde, en déterminant convenablementsa constante arbitraire, et par conséquent qu’en éliminant $y$ de ces deux équations la résultante ne contînt plus que des constantes, ce qui n’est pas.

Elle ne peut donc être qu’une solution singulière, et, en effet, nous avons vu (I^re Partie, n^o 59) que le caractère de l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre de la forme $y'=\operatorname {F} (x,y)$ est de rendre infinie la fonction $\operatorname {F} '(y),$ c’est-à-dire la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y)$ prise relativement à $y$ seul. Or, l’équation de notre problème

$\left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right]=\mathrm {K} ,$

étant mise sous la forme précédente, donne

$\operatorname {F} (x,y)={\frac {y(2x-m-n)+{\sqrt {4\mathrm {K} (m-x)(n-x)+(m-n)^{2}y^{2}}}}{2(m-x)(n-x)}},$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(y)={\frac {(m-n)^{2}y+(2x-m-n){\sqrt {4\mathrm {K} (m-x)(n-x)+(m-n)^{2}y^{2}}}}{2(m-x)(n-x){\sqrt {4\mathrm {K} (m-x)(n-x)+(m-n)^{2}y^{2}}}}},$

où l’on voit que $\operatorname {F} '(y)$ devient infini par l’équation

$4\mathrm {K} (m-x)(n-x)+(m-n)^{2}y^{2}=0,$

qui est celle de la seconde solution.

17. En examinant la manière dont nous sommes parvenus à cette solution, on verra qu’elle dépend de cette circonstance que les fonctions primes de $a$ et $b$ regardés comme fonctions de $x,y,y'$ sont entre elles dans un rapport qui ne contient pas la fonction seconde $y''\,;$ en effet, ayant $b=y'$ et $a=y-xy',$ on a

$b'=y''\quad {\text{et}}\quad a'=-xy'',$

ce qui donne

${\frac {a'}{b'}}=-x,$

de sorte que, prenant la fonction prime de l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K}$

et divisant par $b',$ on a une équation qui est également du premier ordre, et le résultat de l’élimination de $y'$ entre ces deux équations donne l’équation aux sections coniques trouvées plus haut. Or je considère que les quantités $a$ et $b$ sont données par les équations (n^o 11)

$y=a+bx\quad {\text{et}}\quad y'=b.$

Ainsi l’équation dont il s’agit est le résultat de l’élimination de $a,b$ et $y'$ entre les équations

$y=a+bx,\quad y'=b,\quad (a+mb)(a+nb)=\mathrm {K}$

et l’équation prime de cette dernière divisée par $b'.$ On obtiendra donc aussi le même résultat en éliminant d’abord, une des deux quantités $a$ ou $b$ entre les deux équations

$y=a+bx\quad {\text{et}}\quad (a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} ,$

et ensuite éliminant l’autre par le moyen de l’équation résultante et de son équation prime prise en faisant varier cette dernière quantité. Ainsi, éliminant d’abord $a,$ on a l’équation

$\left[y+(m-x)b\right]\left[y+(n-x)b\right]=\mathrm {K} .$

Prenant l’éduation prime relativement à $b$ et divisant par $b',$ on a

$\left[y+(m-x)b\right](n-x)+\left[y+(n-x)b\right](m-x)=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {(2x-m-n)y}{2(m-x)(n-x)}},$

valeur qui, substituée dans l’autre équation, donnera comme ci-dessus l’équation

$(m-n)^{2}y^{2}+4\mathrm {K} (m-x)(n-x)=0,$

qui renferme la seconde solution.

On peut encore considérer que l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} ,$

qui contient la relation entre $a$ et $b,$ dans laquelle consiste la condition du problème, donne, par la résolution, $a=f(b),$ valeur qui, étant substituée dans l’équation

$y=a+bx,$

la réduit à celle-ci,

$y=f(b)+bx,$

qui ne contient plus que la constante arbitraire $b,$ qu’on éliminera par l’équation prime prise relativement à $b,$ savoir

$f'(b)+x=0,$

ce qui donnera encore le même résultat. Or, par ce qu’on a vu ci-dessus, l’équation

$y=f(b)+bx$

est l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème ; donc l’équation résultante de l’élimination de $b$ entre celle-ci et l’équation

$f'(b)+x=0$

sera précisément l’équation primitive singulière, d’après la théorie du n^o 60 de la I^re Partie.

D’un autre côté, comme l’équation $y=f(b)+bx$ est l’équation générale des tangentes de la courbe cherchée (n^o 15), on en peut conclure que pour avoir l’équation de cette courbe il n’y a qu’à regarder la constante arbitraire $b$ qui différentie les tangentes comme variable et la déterminer par la condition que l’équation prime relative à cette seule variable ait lieu en même temps, et de là on voit aussi que l’équation primitive singulière que nous avons trouvée pour l’équation du premier ordre donnée par le problème n’est autre chose que l’équation de la courbe formée par l’intersection continuelle des droites représentées par l’équation primitive complète de la même équation du premier ordre.

18. Après avoir ainsi éclairci la matière par un exemple, nous allons la traiter d’une manière générale. Soit, comme dans le n^o 10,

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

l’équation de la courbe du contact, que nous avons supposée ci-dessus une ligne droite, et soit

$\varphi (a,b)=0$

l’équation qui détermine la relation entre les deux éléments $a$ et $b,$ donnée par la nature du problème proposé ; suivant la théorie donnée dans ce même numéro, il faudra déterminer $a$ et $b$ par les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0.$

Or nous avons vu dans la I^re Partie (n^o 46) que, si l’on élimine $a$ et $b$ des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)''=0,$

on a une équation du second ordre entre $x,y,y'$ et $y'',$ que nous désignerons par $\mathrm {V} =0,$ et dont

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

sera l’équation primitive complète, $a$ et $b$ étant les constantes arbi-

traires ; nous y avons vu aussi que, si l’on élimine $a$ ou $b$ des deux premières, les deux résultantes seront des équations primitives du premier ordre de la même écluation $\mathrm {V} =0,$ et dont celle-ci sera le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et éliminant la constante qui y était restée (n^o 47). Donc, si de ces deux premières équations on tire les valeurs de $a$ et $b,$ que nous désignerons par $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ en sorte que l’on ait $a=\mathrm {P} ,$ $b=\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions de $x,y$ et $y'\,;$ qu’ensuite on prenne les fonctions primes de ces équations, en y regardant toujours $a$ et $b$ comme constantes, on aura les équations du second ordre $\mathrm {P} '=0,$ $\mathrm {Q} '=0,$ qui devront coïncider avec l’équation $\mathrm {V} =0,$ de sorte qu’on aura nécessairement

$\mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions de $x,y$ et $y'$ sans $y''\,;$ car si, par exemple, $\mathrm {M}$ contenait encore $y'',$ alors l’équation $\mathrm {P} '=0$ donnerait, outre $\mathrm {V} =0,$ cette autre équation du second ordre, $\mathrm {M} =0,$ qui ne serait pas comprise dans la même équation $\mathrm {V} =0,$ ce qui ne se peut.

Substituant donc ces valeurs de $a$ et $b$ dans l’équation du problème

$\varphi (a,b)=0,$

on aura

$\varphi (\mathrm {P,Q} )=0\,;$

prenant ensuite l’équation prime, on aura

$\mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)} =0,$

en dénotant par $\varphi '(\mathrm {P} )$ et $\varphi '(\mathrm {Q} )$ les fonctions primes de $\varphi (\mathrm {P,Q} )$ prises relativement à $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ isolés ; donc, mettant pour $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ les expressions ci-dessus, cette dernière équation deviendra

$\mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)\right]} =0,$

laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci :

$\mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)} =0.$

La première, $\mathrm {V} =0,$ sera du second ordre et aura pour équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

c’est-à-dire l’équation même de la courbe du contact, dans laquelle une seule des deux constantes $a$ et $b$ sera arbitraire, l’autre étant déterminée par l’équation même du problème $\varphi (a,b)=0.$

L’autre équation,

$\mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)} =0,$

ne sera que du premier ordre et sans constante arbitraire ; mais, étant combinée avec l’équation $\varphi (\mathrm {P,Q} )=0,$ elle donnera, par l’élimination de $y',$ une équation entre $x$ et $y$ qui sera l’équation primitive singulière de cette dernière $\varphi (\mathrm {P,Q} )=0.$

Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités $a,b$ et $y'$ entre les quatre équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,\quad \varphi (a,b)=0,\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)=0.$

Or, en regardant $a$ et $b$ comme des fonctions de $x$ et $y,$ les équations

$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,$

résultant des deux premières, donnent ces deux équations primes

$a'=\mathrm {P'=MV} \quad {\text{et}}\quad b'=\mathrm {Q'=NV'} \,;$

donc

$\mathrm {\frac {N}{M}} ={\frac {b'}{a'}},$

de sorte que la dernière équation se réduira à celle-ci,

$\varphi '(a)+{\frac {b'\varphi '(b)}{a'}}=0,$

qui n’est autre chose que l’équation prime de $\varphi (a,b)=0,$ divisée par $a'.$ D’un autre côté, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, il est évident que la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b)$ n’est pas simplement $\operatorname {F} (x,y,a,b)',$ mais qu’il y faut ajouter les termes dus à la variation de $a$ et $b,$ qui sont $a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b),$ en désignant pa $\operatorname {F} '(a)$ et $\operatorname {F} '(b)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b)$ prises relativement à $a$ et à $b,$ regardés comme seules variables. Donc, prenant les fonctions primes de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

on aura

$\operatorname {F} (x,y,a,b)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0.$

Mais on a déjà l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)'=0\,;$

on aura donc nécessairement, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, l’équation

$a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0,$

d’où l’on tire

${\frac {b'}{a'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(a)}{\operatorname {F} '(b)}}\,;$

c’est la valeur de $\mathrm {\frac {N}{M}} ,$ qu’on peut trouver directement de cette manière, et qu’on voit clairement ne pouvoir être une fonction du premier ordre, puisqu’elle ne contient que les quantités $x,y$ et $a,b.$

Donc l’équation dont il s’agit sera, en dernière analyse, le résultat de l’élimination de $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}}$ entre les quatre équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \varphi (a,b)=0,$

$\operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)=0,$

dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières, prises relativement à $a$ et $b$ et divisées par $a'\,;$ l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

n’est plus nécessaire ici et se trouve remplacée par l’équation

$\operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,$

qui en est une suite. Donc, si on réduit d’abord les deux premières en une seule par l’élimination de $b,$ il ne s’agira plus que de prendre l’équation prime de celle-ci relativement à $a$ seul et d’éliminer ensuite a par le moyen de ces deux ; le résultat sera nécessairement le même qu’auparavant.

Si donc on tire de l’équation

$\varphi (a,b)=0,$

donnée par les conditions du problème entre les éléments du contact $a,b,$ la valeur de $b$ en $a,$ et qu’on suppose $b=\psi (a)$ ($\psi$ étant aussi la caractéristique d’une fonction), qu’on substitue cette valeur dans l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

de la courbe du contac t, qu’ensuite on prenne la fonction prime de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ relativement à $a$ seul, fonction que nous désignerons par $a'\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right],$ $a'$ étant la fonction prime de $a$ regardé comme fonction de $x,$ on aura ces deux équations,

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '[a,\psi (a)]=0,$

d’où il faudra éliminer $a\,;$ et il est visible que le résultat ne sera autre chose que l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, dont

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0$

sera l’équation primitive complète (n^o 60, I^re Partie).

La courbe représentée par cette équation singulière sera proprement celle qui résout le problème, et qui aura la propriété d’être touchée dans chaque point par une des courbes représentées par l’équation

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0,$

$a$ étant constant pour la même courbe, mais variable d’une courbe à l’autre.

19. La manière dont nous sommes parvenus à cette dernière solution est la plus directe, analytiquement parlant ; mais on y peut parvenir plus simplement par la considération suivante. Puisque le problème consiste à trouver la courbe qui aura, dans chaque point, un contact du premier ordre avec la courbe représentée par l’équation

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0,$

$a$ étant un paramètre indéterminé, il s’ensuit (n^o 10) que l’équation de la courbe cherchée doit donner pour $y$ et pour $y'$ des fonctions de $x$ de la même forme que celles qui résultent des équations

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'=0,$

en désignant par $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'$ la fonction prime de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ relative à $x$ et $y.$ Or, $a$ étant une quantité indéterminée, on peut la supposer telle que la courbe cherchée soit représentée par la même équation

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]=0,$

pourvu que l’équation prime de celle-ci soit aussi de la même forme

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'=0.$

Mais, si $a$ est une quantité variable, la fonction prime complète de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ sera, comme nous l’avons vu ci-dessus,

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'+a'\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right].$

Donc la condition dont il s’agit sera remplie si l’on détermine $a$ par l’équation

$\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right]=0,$

ce qui donnera la dernière solution que nous venons de trouver.

Toute équation entre $x,y$ et un paramètre indéterminé $a,$ que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par

$f(x,y,a)=0,$

représente, en donnant successivement à $a$ toutes les valeurs possibles, une famille d’une infinité de courbes qui varient de forme ou de position, ou de l’une et de l’autre à la fois, à raison des variations du paramètre, et, si l’on élimine ce paramètre par le moyen des fonctions primes, l’équation résultante du premier ordre appartiendra à toute cette famille de courbes ; elle appartiendra donc aussi à la courbe formée par toutes ces courbes, et qui les enveloppera, ayant avec cha-

cune d’elles un contact du premier ordre. La même équation

$f(x,y,a)=0,$

ainsi que son équation prime

$f(x,y,a)'=0,$

prise relativement à $x$ et $y$ seuls, devront donc avoir lieu aussi pour chaque point de cette courbe enveloppante, en regardant le paramètre a comme une quantité variable. Or, dans cette hypothèse, la fonction prime complète de $f(x,y,a)$ est $f(x,y,a)'+a'f'(a),$ en dénotant par $f'(a)$ la fonction prime de $f(x,y,a)$ prise relativement à $a$ seul, et par $a'$ la fonction prime de $a,$ regardée comme une fonction quelconque de $x\,;$ donc il faudra que la valeur de $a$ soit telle que l’on ait $f'(a)=0,$ ce qui donnera l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre qui répond à l’équation

$f(x,y,a)=0,$

dans laquelle $a$ est regardée comme une constante arbitraire (n^o 60, I^re Partie).

D’où l’on peut conclure, en général, que l’équation, primitive singulière d’une équation du premier ordre représente toujours la courbe enveloppante de toutes les courbes qui, peuvent être représentées par son équation primitive complète, en donnant à la constante arbitraire toutes les valeurs possibles.