Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 08

Joseph-Louis Lagrange

Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome VIII, p. 190-208).

NOTE VIII.

SUR LES LIMITES DES RACINES DES ÉQUATIONS ET SUR LES CARACTÈRES DE LA RÉALITÉ DE TOUTES LEURS RACINES.

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La recherche des limites des racines est le premier problème qui se présente dans la théorie des équations, après celui de leur résolution générale. Comme cette résolution est bornée jusqu’ici au quatrième degré, et comme il est démontré par la considération des fonctions des racines que, si elle est possible au delà de ce degré, ce ne peut être qu’en résolvant des équations d’un degré beaucoup plus élevé, ce qui donnerait des expressions intraitables par leur complication, on peut dire que c’est du problème des limites que dépend maintenant tout l’art de résoudre les équations. En effet, dès qu’on a trouvé des limites particulières pour chaque racine, on peut les resserrer par des substitutions successives et approcher ainsi de la valeur de la racine autant que l’on veut.

1. On a senti avant la fin du xvii^e siècle la nécessité de s’occuper de ce problème, et, dès qu’on eut trouvé que l’équation formée en multipliant chaque terme d’une équation donnée par l’exposant de son inconnue renferme les conditions de l’égalité des racines de la proposée, on découvrit bientôt que les racines de cette même équation ainsi formée étaient les limites de celles de l’équation primitive. On sait que Hudde est l’auteur de la première de ces deux importantes découvertes, et je crois que la seconde est due à Rolle, qui l’a donnée dans son Algèbre, imprimée en 1690, et qui en a fait la base de sa méthode des cascades. Suivant cette méthode, les limites des racines d’une équation dépendent d’une équation d’un degré inférieur d’une unité, et les limites des racines de celles-ci dépendent de même d’une autre équation d’un degré moindre d’une unité, et ainsi de suite de sorte que, pour parvenir aux limites des racines de l’équation proposée, il faut résoudre des équations différentes et successives, qui vont toujours en baissant d’un degré. (Voir l’Analyse démontrée de Reyneau, où cette méthode est exposée avec beaucoup de détail.) Mais la longueur du calcul qu’elle demande et l’incertitude qui naît des racines imaginaires l’ont fait abandonner depuis longtemps, et l’on aurait peut-être été obligé de renoncer à avoir une méthode générale pour résoudre les équations si l’on n’avait pas trouvé, pour déterminer les limites des racines un moyen indépendant de la résolution de toute équation, comme on l’a vu dans le Chapitre I et dans la Note IV.

La considération des maxima et minima des lignes paraboliques a conduit Stirling à une méthode pour déterminer le nombre et les limites des racines réelles du troisième et du quatrième degré, laquelle a été généralisée par Euler dans son Calcul différentiel. Cette méthode revient à celle de Rolle dans le fond ; mais elle embrasse également les racines réelles et les racines imaginaires, et pourrait fournir des formules générales pour distinguer ces racines dans les équations du cinquième degré, au moyen des racines du quatrième.

La même considération a fait trouver à De Gua une méthode pour déterminer les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation quekonque. (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1741.)

Nous avons vu que ce problème peut se résoudre aussi par le moyen de l’équation dont les racines sont les carrés des différences entre les racines de l’équation donnée ; mais cette solution est fondée sur la forme même des racines imaginaires, au lieu que la théorie de De Gua est indépendante de cette forme, et sa méthode a de plus l’avantage de n’exiger que le calcul d’équations de degrés inférieurs à celui de l’équation proposée.

Comme ces différentes méthodes sont intéressantes par elles-mêmes, et encore plus par l’usage dont elles peuvent être dans plusieurs occasions, j’ai cru qu’on serait bien aise de les trouver ici réunies et déduites d’une, même théorie, fondée uniquement sur les premiers principes de l’analyse des équations.

2. Soit en général $\operatorname {F} (x)$ une fonction rationnelle et sans diviseur, telle que

$x^{m}+\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}+\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {V} \,;$

si l’on nomme $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines réelles de l’équation

$\operatorname {F} (x)=0,$

c’est-à-dire les valeurs de $x$ qui peuvent satisfaire à cette équation, on aura l’équation identique

$\operatorname {F} (x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \times f(x),$

$f(x)$ étant une pareille fonction de $x,$ mais d’un degré moindre que $m,$ et qui ne pourra jamais devenir nulle ni négative, quelque valeur qu’on donne à $x$ (Note II).

Cette équation devant avoir lieu quelle que soit la valeur de $x,$ elle aura lieu aussi en mettant $x+i$ à la place de $x,$ quelle que soit la valeur de $i\,;$ donc, développant les fonctions suivant les puissances de $i,$ il faudra que tous les termes affectés d’une même puissance de $i$ se détruisent mutuellement, ce qui donnera encore autant d’équations identiques qu’on pourra trouver ainsi par le développement actuel. Mais, comme ces nouvelles équations ne sont autre chose que celles que nous avons appelées dérivées dans la Théorie des fonctions, nous emploierons ici, pour plus de simplicité, la notation et l’algorithme de cette théorie, et l’application que nous allons en faire aux équations fournira un nouvel exemple de son usage dans l’Algèbre, dont elle n’est proprement qu’une branche.

3. Désignons, pour abréger, par $\varphi (x)$ la fonction

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )\ldots \,;$

on aura l’équation identique

$\operatorname {F} (x)=\varphi (x)\times f(x),$

d’où l’on tirera sur-le-champ l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)=\varphi '(x)\times f(x)+\varphi (x)\times f'(x),$

et l’on trouvera

${\begin{aligned}\varphi '(x)=&\quad \ (x-\beta )(x-\gamma \,)(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\gamma )(x-\delta )\ldots \\&+(x-\alpha )(x-\beta )(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Supposons que les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient rangées par ordre de grandeur, en commençant par les plus grandes positives et finissant par les plus grandes négatives. Il est facile de voir, par la nature de la fonction $\varphi '(x),$ qu’en faisant $x=\alpha$ on aura $\varphi '(x)>0,$ qu’en faisant $x=\beta$ on aura $\varphi '(x)<0,$ qu’en faisant $x=\gamma$ on aura $\varphi '(x)>0,$ et ainsi de suite. D’un autre côté, en faisant $x=\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on a toujours $\varphi (x)=0$ et $f(x)>0,$ par la nature de ces fonctions. Donc

${\begin{array}{lcl}x=\alpha &{\text{donnera}}&\operatorname {F} '(x)>0,\\x=\beta &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)<0,\\x=\gamma &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)>0,\end{array}}$

et ainsi de suite.

Or, en prenant la fonction dérivée du polynôme $\operatorname {F} (x),$ on a

$\operatorname {F} '(x)=mx^{m-1}+(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {T} \,;$

donc l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ qui est du degré $m-1$ aura nécessairement des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines $\alpha$ et $\beta ,$ $\beta$ et $\gamma ,$ $\gamma$ et $\delta ,\ldots$ (Note I).

4. Désignons par $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ et l’on démontrera de la même manière que

${\begin{array}{lcl}x=\alpha _{1}&{\text{donnera}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\\x=\beta _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)<0,\\x=\gamma _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\end{array}}$

et ainsi de suite.

D’où il s’ensuit que l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0,$ dans laquelle

${\begin{aligned}\operatorname {F} ''(x)=m(m-1)x^{m-2}&+(m-1)(m-2)\mathrm {A} x^{m-3}\\&+(m-2)(m-3)\mathrm {B} x^{m-4}+\ldots +2\mathrm {S} ,\end{aligned}}$

aura aussi des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},\ldots ,$ et ainsi de suite.

Il résulte de ces formules différentes conséquences que nous allons développer.

Si l’équation primitive $\operatorname {F} (x)=0$ a deux racines égales, l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0$ aura une racine qui, devant tomber entre ces deux, leur sera encore égale ; par conséquent, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des deux polynômes $\operatorname {F} (x)$ et $\operatorname {F} '(x),$ ce qui est d’ailleurs évident, parce que le polynôme $\operatorname {F} (x)$ contenant le facteur carré $(x-a)^{2},$ le polynôme $\operatorname {F} '(x)$ contiendra encore le facteur simple $x-\alpha .$ Ainsi l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ renferme la condition pour qu’une des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ soit double.

On prouvera de la même manière que, si l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ a trois racines égales, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des trois polynômes $\operatorname {F} (x),\operatorname {F} '(x)$ et $\operatorname {F} ''(x),$ et que les deux équations $\operatorname {F} '(x)=0,$ $\operatorname {F} ''(x)=0$ contiennent les conditions pour que l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ait trois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donne les théorèmes connus sur les racines égales.

5. Considérons d’abord les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ en tant qu’elles peuvent être positives et négatives, et supposons qu’elle en ait un nombre $p$ de positives et un nombre $q$ de négatives. Donc l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ aura nécessairement $p-1$ racines réelles positives, $q-1$ racines réelles négatives, et de plus une racine réelle qui pourra être positive ou négative, car, puisque entre deux racines consécutives de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ il en tombe nécessairement une de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ il en tombera $p-1$ positives entre les $p$ positives, $q-1$ négatives entre les $q$ négatives, et une entre la plus petite positive et la première négative, qui pourra être positive ou négative.

Donc, si l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ a plus de racines positives que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ elle ne peut en avoir qu’une de plus, et, si elle a plus de racines négatives que celle-ci, elle n’en peut avoir qu’une de plus.

Or, comme toute équation a toujours un nombre pair ou impair de racines positives, suivant que son dernier terme est positif ou négatif (Note II), il s’ensuit que, si les derniers termes sans $x$ des équations $\operatorname {F} (x)=0,\ \operatorname {F} '(x)=0$ sont de même signe, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne pourra pas avoir une racine positive de plus que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0\,;$ donc, dans ce cas, elle ne pourra avoir qu’une racine négative de plus que cette dernière équation, et par conséquent aussi elle ne pourra av oir une racine positive de plus que celle-ci que dans le cas où les derniers termes des mêmes équations seront de signe différent.

Donc, en général, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ suivant que leurs derniers termes sont de signe différent ou de même signe. Par la même raison, l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0,$ suivant que leurs derniers termes seront de signe différent ou de même signe, et ainsi de suite.

Or on voit, par les formules ci-dessus, que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ est $\mathrm {V} ,$ que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ est $\mathrm {T} ,$ que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0$ est $2\mathrm {S} ,$ et ainsi de suite ; de sorte que, en prenant ces équations à rebours,

${\begin{array}{lcl}{\text{La }}(m-1)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{aura pour dernier terme}}&2.3\ldots (m-1)\mathrm {A} ,\\{\text{La }}(m-2)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{»}}&2.3\ldots (m-2)\mathrm {B} ,\\{\text{La }}(m-3)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{»}}&2.3\ldots (m-3)\mathrm {C} ,\end{array}}$

et ainsi de suite. Mais la $(m-1)$^ième équation, ou $\operatorname {F} ^{(m-1)}(x)=0,$ devient

$2.3.4\ldots mx+1.2.3\ldots (m-1)\mathrm {A} =0,$

qui a, comme l’on voit, la racine positive ou négative $-{\frac {\mathrm {A} }{m}},$ suivant que $\mathrm {A}$ est négatif ou positif. Donc la $(m-2)$^ième équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que celle-ci qu’autant que $\mathrm {B}$

sera de différent ou de même signe que $\mathrm {A} .$ De même, la $(m-3)$^ième équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que la $(m-2)$^ième qu’autant que $\mathrm {C}$ sera de différent ou de même signe que $\mathrm {B} ,$ et ainsi de suite.

D’où l’on peut conclure que l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ ou

$x^{m}+\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}+\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {V} =0,$

ne peut avoir plus de racines positives ou négatives qu’il y a dans cette équation de termes consécutifs de différent ou de même signe, c’est-àdire que de variations ou de permanences de signe ; par conséquent, si l’équation a toutes ses racines réelles, elle aura précisément autant de racines positives que de variations et autant de négatives que de permanences.

C’est là le fameux théorème de Descartes, que les Anglais attribuent à Harriot, et dont on a différentes démonstrations données par De Gua dans les Mémoires de Paris, par Segner et Æpinus dans ceux de Berlin, par Kæstner dans le Commentaire sur l’Arithmétique de Newton, etc. J’ai rapporté la précédente parce qu’elle découle naturellement de notre analyse ; cependant la plus simple de ces démonstrations est celle que Segner a donnée dans les Mémoires de Berlin de l’année 1756. Elle consiste simplement à faire voir qu’en multipliant une équation quelconque par $x-a$ on augmente d’une unité le nombre des variations de signe, et qu’en la multipliant par $x+a$ on augmente aussi d’une unité le nombre des permanences, quelle que soit la valeur des coefficients de l’équation.

6. Nous allons considérer maintenant les racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ comme réelles ou imaginaires.

Soient, comme ci-dessus, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ et $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ ces racines étant rangées par ordre de grandeur. Je dis que des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ il ne peut y en avoir qu’une qui soit plus grande que $\alpha _{1},$ qu’une qui tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ qu’une qui tombe entre $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},$ et ainsi de suite, et enfin une seule plus petite que la plus petite des quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots \,;$ car, si $\alpha$ et $\beta ,$ par exemple, étaient à la fois plus grandes que $\alpha _{1},$ comme entre les deux racines $\alpha$ et $\beta$ il doit tomber nécessairement une racine de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ cette racine serait alors plus grande que $\alpha _{1}\,;$ donc $\alpha _{1}$ ne serait plus la plus grande des racines de $\operatorname {F} '(x)=0,$ comme on le suppose. De même, si deux racines $\beta$ et $\gamma$ tombaient à la fois entre les deux $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ comme entre $\beta$ et $\gamma$ il doit nécessairement tomber une racine de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ cette racine tomberait aussi entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ contre l’hypothèse, puisque celles-ci sont supposées se suivre relativement à leur grandeur, et ainsi de suite. Enfin, si plusieurs des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ se trouvaient plus petites que la plus petite des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ comme il tomberait nécessairement entre elles des racines de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ ces racines seraient donc encore plus petites que la plus petite des mêmes racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ ce qui ne se peut.

Or, puisqu’on a en général

$\operatorname {F} (x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \times f(x),$

il est clair qu’en substituant $\alpha _{1}$ au lieu de $x,$ si aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ n’est plus grande que $\alpha _{1},$ la valeur de $\operatorname {F} (x)$ sera positive, et, si la seule racine $\alpha$ est plus grande que $\alpha _{1},$ la valeur de $\operatorname {F} (x)$ deviendra négative, puisque dans le premier cas tous les facteurs simples seront positifs, et que dans le second il n’y en aura qu’un de négatif, le polynôme $f(x)$ conservant toujours une valeur positive.

Supposons ensuite qu’on substitue $\beta _{1}$ au lieu de $x,$ et, si aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ cette substitution donnera une valeur de $\operatorname {F} (x)$ de même signe que la substitution de $\alpha _{1}\,;$ mais elle donnera une valeur de signe contraire si une des racines tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}.$ Car il est visible que tout produit, comme $(\alpha _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\alpha ),$ est toujours nécessairement positif tant que la quantité $\alpha$ est à la fois plus grande ou plus petite que chacune des quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ qu’au contraire il est nécessairement négatif si la quantité $\alpha$ se trouve entre les deux quantités $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ c’est-à-dire plus grande que l’une d’entre elles et plus petite que l’autre. Or la substitution de $\alpha _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ donne

$(\alpha _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1}),$

et la substitution de $\beta _{1},$ au lieu de $x$ dans la même fonction donne

$(\beta _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\beta )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\beta _{1})\,;$

donc le produit de ces deux quantités, savoir la valeur de $\operatorname {F} (\alpha _{1})\times \operatorname {F} (\beta _{1}),$ sera de la forme

$(\alpha _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\beta _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1})\times f(\beta _{1}).$

Donc ce produit sera positif si aucune des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombe entre les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ et il sera négatif si une seule des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ tombe entre les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ puisque les quantités $f(\alpha _{1})$ et $f(\beta _{1})$ sont toujours essentiellement positives ; par conséquent, les valeurs de $\operatorname {F} (\alpha _{1})$ et de $\operatorname {F} (\beta _{1})$ seront de même signe dans le premier cas et de signe différent dans le second.

On démontrera de la même manière que la substitution de $\gamma _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à celui de la substitution de $\beta _{1},$ suivant qu’aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombera entre $\alpha _{1},$ et $\gamma _{1}$ ou qu’il en tombera une, et ainsi de suite.

Enfin, si l’on désigne par $\upsilon _{1}$ la dernière en grandeur des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ on trouvera, par l’expression de $\operatorname {F} (x)$ en facteurs, que le résultat de la substitution de $\upsilon _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ sera positif ou négatif, suivant qu’aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne sera plus petite que $\upsilon$ ou qu’il y en aura une plus petite que $\upsilon _{1},$ le nombre de ces racines étant pair, et que, lorsque ce nombre sera impair, le même résultat sera au contraire positif ou négatif, suivant qu’une des mêmes racines sera plus petite que $\upsilon _{1}$ ou qu’aucune d’elles ne sera moindre que $\upsilon _{1}.$ Or, comme le nombre des racines imaginaires est toujours pair, le nombre des racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sera nécessairement pair ou impair, suivant que le nombre total des racines, c’est-à-dire le degré $m$ de l’équation, sera lui-même pair ou impair.

7. On pourra donc toujours juger de la nature des racines d’une équation quelconque de degré $m,$ $\operatorname {F} (x)=0,$ par celles de l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0,$ qui est toujours d’un degré moindre d’une unité, car, ayant les racines réelles $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,\upsilon _{1}$ de celle-ci, qu’on suppose rangées par ordre de grandeur, il n’y aura qu’à les substituer successivement au lieu de $x$ dans l’équation proposée ; et l’on en conclura :

1^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine plus grande que $\alpha _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\alpha _{1})$ sera $<$ ou $>0\,;$

2^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\beta _{1})$ sera de signe différent ou de même signe que $\operatorname {F} (\alpha _{1})\,;$

3^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\gamma _{1})$ sera de signe différent ou de même signe que $\operatorname {F} (\beta _{1}),$ et ainsi de suite ;

4^o Et qu’enfin elle aura ou n’aura pas une racine plus petite que $\upsilon _{1},$ selon que $\upsilon _{1}$ sera positif ou négatif dans le cas de $m$ impair, et négatif ou positif dans le cas de $m$ pair.

Ainsi l’on connaîtra par ces règles non-seulement le nombre des racines réelles de la proposée, mais encore leurs limites, et, si l’on veut compléter ces limites à l’égard des racines plus grandes que $\alpha _{1}$ ou plus petites que $\upsilon _{1},$ il n’y aurait qu’à chercher encore, par les méthodes du Chapitre IV (n^o 12), les limites des racines positives et des racines de l’équation proposée.

Nous remarquerons ici, à l’occasion des règles données dans cet endroit d’après Newton et Maclaurin pour trouver ces limites, que Rolle les connaissait déjà, comme on le voit par les Chapitres V et VI du second Livre de son Algèbre.

8. Nous avons supposé jusqu’ici que l’équation proposée pouvait avoir des racines imaginaires mêlées avec les réelles ; examinons présentement ce qui doit résulter de la supposition que toutes ses racines soient réelles.

Il est d’abord évident que l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ du degré aura $m$ racines réelles et que l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0$ du degré $m-1$ aura aussi nécessairement $m-1$ racines réelles, puisque, entre deux racines réelles consécutives de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ il tombe toujours une racine réelle de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0.$ Par la même raison, la seconde équation dérivée $\operatorname {F} ''(x)=0$ aura aussi nécessairement toutes ses racines réelles, et ainsi de suite.

Ainsi la première condition pour qu’une équation ait toutes ses racines réelles est que ses équations dérivées aient aussi toutes leurs racines réelles ; mais celles-ci pourraient avoir toutes leurs racines réelles sans que l’équation primitive en eût aucune.

Supposons donc que les $m-1$ racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ soient toutes réelles, et voyons quelles sont les conditions nécessaires pour que les $m$ racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ soient aussi nécessairement réelles. Puisque nous avons démontré, en général, que les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne peuvent tomber plus d’une à la fois dans chaque intervalle entre deux racines consécutives de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ et qu’il ne peut y en avoir aussi qu’une plus grande et une plus petite que la plus grande et la plus petite de cette équation, il est encore évident que, lorsque ses racines sont toutes réelles et au nombre de $m,$ elles doivent nécessairement être telles que $\alpha$ soit plus grande que $\alpha _{1},$ que $\beta$ tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ que $\gamma$ tombe entre $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},$ et ainsi de suite. Au contraire, si elles n’étaient pas toutes réelles, comme le nombre des réelles ne pourrait alors surpasser $m-2$ et serait par conséquent moindre que celui des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ il est visible que la même disposition ne pourrait plus avoir lieu et qu’il y aurait nécessairement quelque intervalle entre ces desnières racines dans lequel il ne tomberait aucune de celles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ ou au moins qu’aucune de celles-ci ne serait plus grande ou plus petite que la plus grande ou la plus petite des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots .$

Donc, par ce qui a été démontré ci-dessus, si l’on substitue sucessivement au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ toutes les racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ on aura nécessairement dans le premier cas

$\operatorname {F} (\alpha _{1})<0,\quad \operatorname {F} (\beta _{1})>0,\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})<0,\quad \ldots ,$

et, dans le second cas, il y aura une ou plusieurs de ces conditions qui n’auront pas lieu.

D’un autre côté, en substituant successivement les mêmes racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ dans la seconde fonction dérivée $\operatorname {F} ''(x),$ on aura toujours, comme on l’a vu plus haut

$\operatorname {F} ''(\alpha _{1})>0,\quad \operatorname {F} ''(\beta _{1})<0,\quad \operatorname {F} ''(\gamma _{1})>0,\quad \ldots .$

Donc, en combinant ces conditions avec les, précédentes, on en conclura que, lorsque les racines de l’équation donnée $\operatorname {F} (x)=0$ sont toutes réelles, les quantités

$\operatorname {F} (\alpha _{1})\times \operatorname {F} ''(\alpha _{1}),\quad \operatorname {F} (\beta _{1})\times \operatorname {F} ''(\beta _{1}),\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})\times \operatorname {F} ''(\gamma _{1}),\quad \ldots$

seront toutes négatives, et qu’au contraire il y en aura nécessairement de positives si l’équation donnée a des racines imaginaires.

On aurait le même résultat si l’on considérait les quotients

${\frac {\operatorname {F} (\alpha _{1})}{\operatorname {F} ''(\alpha _{1})}},\quad {\frac {\operatorname {F} (\beta _{1})}{\operatorname {F} ''(\beta _{1})}},\quad \ldots ,$

et en général des fonctions de la forme

$\mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\alpha _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\alpha _{1})\right]^{\nu },\quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\beta _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\beta _{1})\right]^{\nu },\quad \ldots ,$

$\mathrm {M}$ étant un coefficient positif ou une fonction quelconque essentiellement positive, et $\mu ,\nu$ des nombres entiers impairs positifs ou négatifs.

Or, si l’on fait

$\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x)=y,\quad \mathrm {ou,\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral,} \quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (x)\right]^{\mu }\times \left[\operatorname {F} ''(x)\right]^{\nu }=y,$

et qu’on élimine ensuite $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x)=0,$

dont les racines sont $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ on aura une équation en $y$ du même

degré que cette équation, et dont les racines seront les valeurs de $y$ qui résulteraient de la substitution successive des racines $\alpha _{1},$ à la place de $x.$ Donc, si ces valeurs sont toutes négatives, l’équation en $y$ n’aura que des racines négatives, et, par conséquent, tous ses termes auront le signe $+.$ Et réciproquement, si tous les termes de cette équation ont le signe $+,$ elle n’aura que des racines négatives, et les valeurs de $y$ seront toutes négatives.

9. On peut conclure de là que les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sont que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)=0$

ait toutes ses racines réelles, et que l’équation en $y$ résultante de l’élimination de $x$ au moyen de cette dernière équation et de l’équation

$\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x)=y,\quad \mathrm {ou} \quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (x)\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(x)\right]^{\nu }=y$

ait tous ses termes positifs.

En appliquant les mêmes raisonnements à l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0,$ on en conclura aussi que les caractères de la réalité de ses racines sont que la seconde équation dérivée

$\operatorname {F} ''(x)=0,$

ait toutes ses racines réelles, et que l’équation en $y$ résultante de l’élimination de $x$ par le moyen de celle-ci et de l’équation

$\operatorname {F} '(x)\times \operatorname {F} ''(x)=y$

ait tous ses termes positifs, et ainsi de suite.

Donc enfin, pour avoir tous les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0\,:$

1^o On fera

$y=\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x)=0\,;$

on aura la première équation en $y.$

2^o On fera

$y=\operatorname {F} '(x)\times \operatorname {F} '''(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} ''(x)=0\,;$

on aura la seconde équation en $y.$

3^o On fera

$y=\operatorname {F} ''(x)\times \operatorname {F} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '''(x)=0\,;$

on aura la troisième équation en $y,$ et ainsi de suite.

Ces équations en $y$ seront au nombre de $m-1$ si l’équation primitive $\operatorname {F} (x)=0$ est du degré $m,$ parce que la $m$^ième fonction dérivée de $\operatorname {F} (x)$ sera constante et ne contiendra plus $x$.

10. Cela posé, les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ se réduiront à ce que tous les termes de ces différentes équations en $y$ soient positifs, c’est-à-dire du même signe que le premier dans chaque équation.

Or il est aisé de voir que, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ étant du degré $m,$ les fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} ''(x),\ldots$ seront successivement des degrés $m-1,\ m-2,\ \ldots ,$ et que les équations en $y$ seront aussi de ces mêmes degrés ; elles fourniront, par conséquent, chacune autant de conditions, de sorte que le nombre total des conditions sera

$(m-1)+(m-2)+(m-3)+\ldots ,\quad {\text{ou}}\quad 1+2+3+\ldots +(m-1)={\frac {m(m-1)}{2}}.$

Nous avons déjà vu (Chap. V, n^o 28) qu’on peut déduire les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation de son équation des différences, laquelle doit avoir pour cela tous ses termes alternativement positifs et négatifs, ce qui donne autant de conditions qu’il y a d’unités dans le degré de cette équation ; de sorte que, $m$ étant le degré de l’équation proposée, ${\frac {m(m-1)}{2}}$ sera le nombre des conditions nécessaires pour la réalité de toutes les racines. Ainsi les deux méthodes donnent le même nombre de conditions, ce qui est d’autant plus remarquable que, dans les équations du troisième et du quatrième degré, les conditions de la réalité des racines sont réductibles à un moindre nombre, comme on l’a vu dans le Chapitre cité (Art. II).

Mais la méthode précédente a cet avantage, que les conditions trouvées pour la réalité des racines des équations d’un degré quelconque peuvent servir pour tous les degrés plus élevés, ce qui n’a pas lieu à l’égard de celles qui résultent des équations des différences. Ainsi l’on pourrait facilement construire des Tables qui contiendraient successivement les caractères de la réalité de toutes les racines, en commençant par l’équation du second degré, et remontant successivement aux équations plus élevées.

11. Pour donner un essai de ces Tables, nous commencerons par la fonction la plus simple de $x,$ qui est $x^{0}$ ou $1,$ que nous désignerons par $\mathrm {X} ,$ et nous remonterons successivement aux fonctions primitives, que nous désignerons par $\mathrm {X} _{_{'}},\mathrm {X} _{_{''}},\mathrm {X} _{_{'''}},\ldots ,$ en sorte que $\mathrm {X}$ sera la fonction dérivée de $\mathrm {X} _{_{'}}$, $\mathrm {X} _{_{'}}$ la fonction dérivée de $\mathrm {X} _{_{''}}$, et ainsi de suite. Nous aurons ainsi, en multipliant ces fonctions par les nombres $2,3,4,\ldots$ pour éviter les fractions, et ajoutant successivement les constantes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$,

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ =&1,\\\mathrm {X} _{_{'}}=&x\ \ +\mathrm {A} ,\\2\mathrm {X} _{_{''}}=&x^{2}+2\mathrm {A} x\ \ +\mathrm {B} ,\\2.3\mathrm {X} _{_{'''}}=&x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x\ \ +\mathrm {C} ,\\2.3.4\mathrm {X} _{_{\scriptscriptstyle \mathrm {IV} }}=&x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+6\mathrm {B} x^{2}+4\mathrm {C} x+\mathrm {D} ,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Maintenant, pour l’équation du second degré

$x^{2}+2\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0$,

on fera

$y=2\mathrm {XX_{\scriptscriptstyle {/\!/}}} =x^{2}+2\mathrm {A} x+\mathrm {B}$,

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{'}}=0,\quad {\text{ou}}\quad x+\mathrm {A} =0\,;$

on aura l’équation en $y$

$y+\mathrm {A^{2}-B} =0.$

Donc

$\mathrm {A^{2}-B} >0$

sera la condition de la réalité des racines de l’équation proposée.

Pour l’équation du troisième degré

$x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura d’abord la condition précédente ; ensuite on fera $y=2.3\mathrm {X} _{_{'}}\mathrm {X} _{_{''}},$ savoir

${\begin{aligned}y=&(x+\mathrm {A} )\left(x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} \right)\\=&x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+3\mathrm {\left(A^{2}+B\right)} x^{2}+\mathrm {\left(3AB+C\right)} x+\mathrm {AC} ,\end{aligned}}$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{''}}=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+2\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0\,;$

on trouvera cette équation du second degré

$y^{2}+2(\mathrm {A} a-b)y+a^{2}\mathrm {B} -2ab\mathrm {A} +b^{2}=0,$

en faisant pour abréger

${\begin{aligned}a=&\mathrm {2A^{3}-3AB+C} ,\\b=&\mathrm {A^{2}B-2B^{2}+AC} \,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura de plus ces deux conditions

$\mathrm {A} a-b>0,\quad a^{2}\mathrm {B} -2ab\mathrm {A} +b^{2}>0.$

Pour l’équation du quatrième degré

$x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+6\mathrm {B} x^{2}+4\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0,$

on aura d’abord les trois conditions précédentes ; ensuite on fera

$y=\left(x^{2}a+2\mathrm {A} x+\mathrm {B} \right)\left(x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+6\mathrm {B} x^{2}+4\mathrm {C} x+\mathrm {D} \right),$

et, éliminant $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{'''}}=0\quad {\text{ou}}\quad x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura une équation en $y$ du troisième degré, qui, étant représentée par

$y^{3}+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} y+\mathrm {P} =o,$

donnera de plus les trois conditions

$\mathrm {M>0,\quad N>0,\quad P>0} ,$

et ainsi de suite.

12. Au reste, nous ne devons pas oublier une très-belle conséquence que De Gua a tirée de sa théorie ; voici en quoi elle consiste.

Si dans l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ on substitue $a+z$ à la place de $x,$ on a, par la formule du développement des fonctions, la transformée

$\operatorname {F} (a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)}{1}}z+{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2}}z^{2}+{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{2.3}}z^{3}+\ldots +z^{m}=0,$

dont on peut faire disparaître un terme quelconque, contenant par exemple la puissance $z^{n},$ en déterminant $a$ de manière que l’on ait $\operatorname {F} ''(a)=0.$ Or, nous venons de voir que, si toutes les racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sont toutes réelles, les valeurs de $\operatorname {F} ^{n-1}(x)$ et $\operatorname {F} ^{n+1}(x)$ sont nécessairement de signes contraires pour toutes les valeurs de $x$ qui résultent de l’équation $\operatorname {F} ^{n}(x)=0\,;$ donc aussi les valeurs de $\operatorname {F} ^{n-1}(a)$ et de $\operatorname {F} ^{n+1}(a)$ seront de signes contraires pour toutes les valeurs de $a$ résultantes de l’équation $\operatorname {F} ^{n}(a)=0.$ D’où il s’ensuit que, si l’on fait évanouir un terme quelconque de la transformée en $z,$ les deux termes voisins auront nécessairement des signes différents si la proposée a toutes ses racines réelles ; par conséquent, elle aura des racines imaginaires si les termes voisins de celui qui disparaît ont les mêmes signes, et de là on peut conclure aussi que toute équation à qui il manque des termes a nécessairement des racines imaginaires si les termes voisins de ceux qui manquent sont de même signe.

13. Lorsque toutes les racines de l’équation s’ont réelles, on peut trouver leurs limites sans le secours d’aucune autre équation, par le moyen de la seule règle de Descartes dont nous avons parlé plus haut (n^o 5) ; car, si l’on diminue, par exemple, toutes les racines d’une équation en $x$ de la quantité $a,$ en y substituant $z+a$ à la place de $x,$ la transformée en $z$ ou en $x-a$ aura autant de variations de signe de moins qu’il y aura de racines positives de l’équation en $x$ qui seront devenues négatives dans l’équation en $x-a,$ et par conséquent, parmi les racines positives de l’équation en $x,$ il y en aura autant qui seront moindres que $a.$ Donc, si l’on forme successivement les transformées en $x-1,\ x-2,\ x-3,\ldots ,$ chaque variation de signe qui disparaîtra d’une transformée à l’autre, par exemple de la transformée en $x-n$ à la transformée en $x-n-1,$ indiquera une racine positive moindre que $n+1,$ mais non moindre que $n,$ et par conséquent contenue entre les limites $n$ et $n+1.$ On pourra trouver ainsi successivement les premières limites des racines positives, et l’on aura de même celles des racines négatives par la considération des permanences dans les transformées en $n+1,\ n+2,\ \ldots .$

14. J’ignore si cette remarque avait été faite avant le Mémoire que M. Budan présenta à l’Institut en 1803, et qu’il vient de publier avec des augmentations, sous le titre de Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques. L’Auteur y donne un moyen simple et élégant de former les coefficients des transformées en $x-1,\ x-2,\ldots ,$ et, appliquant la règle de Descartes à ces transformées ainsi qu’à d’autres déduites de celles-là, il trouve les limites de toutes les racines et leurs valeurs aussi approchées qu’on veut. On peut dire que cet Ouvrage ne laisse rien à désirer sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles, et il pourrait à cet égard servir de supplément au présent Traité.

Au reste, si l’équation avait des racines imaginaires, il pourrait disparaître des variations de signe d’une transformée à l’autre sans qu’aucune des racines réelles positives devînt négative, comme on peut s’en convaincre aisément par des exemples ; ainsi l’équation

$x^{3}-2x^{2}+6x-11=0$

a pour transformée en $x-1$

$(x-1)^{3}+(x-1)^{2}+5(x-1)-6=0,$

où l’on voit que deux variations de signe ont disparu ; cependant, elle n’a pas de racines entre $0$ et $1.$

Mais, si le nombre des variations de signe qui disparaissent d’une transformée à la suivante était impair, on en pourrait toujours conclure l’existence d’une racine réelle positive, car cela ne peut arriver à moins que le dernier terme pe change de signe. Or il est visible que les derniers termes des transformées en $x-n,$ $x-n-1$ ne sont autre chose que les résultats des substitutions de $n$ et de $n+1$ à la place de $x$ dans la proposée, parce que ces transformées se réduisent à leur dernier terme en y faisant $x=n=n+1\,;$ ainsi il doit nécessairement y avoir une racine réelle entre $n$ et $n+1$ (Chap. I, n^o 1 ). La transformée en $x-2$ de l’équation ci-dessus est

$(x-2)^{3}+4(x-2)^{2}+10(x-2)+1=0,$

qui a une variation de moins que la précédente aussi y a-t-il une racine de la proposée entre $1$ et $2.$