Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.17

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 228-280).

CHAPITRE XVII.

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

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177.Il nous reste maintenant :

1^o À intégrer les équations (6 a), (6 b), (6 c), (5 a), (α) et (β) du n^o 169.

2^o À voir comment on pourra, dans la formation de ces équations, discerner les termes qui doivent passer dans le premier membre de ceux qui doivent rester dans le second.

Je m’occuperai d’abord de l’intégration des équations (6 a) et (6 b) et j’y consacrerai le présent Chapitre.

L’équation (6 b), qui est la plus générale, s’écrit

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} '',$

$\mathrm {B} ''$ étant regardée comme une fonction connue de $v_{0}\,;$ c’est une équation linéaire à second membre, dont l’intégration se ramène à celle de l’équation sans second membre

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=0.$

Si nous transformons cette équation en changeant les notations et en posant

${\begin{aligned}\rho &=x,&\lambda v_{0}+k&=2t+{\frac {\pi }{2}},\\{\frac {4}{\lambda ^{2}}}(1+\alpha )&=q^{2},&{\frac {4}{\lambda ^{2}}}\mathrm {C} (1+\beta )&=q_{1},\end{aligned}}$

elle devient

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$

Étude de l’équation de Gyldén.

178.Envisageons donc l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$

Nous venons de voir que M. Gyldén, dans le cours de ses recherches, avait été conduit à envisager l’équation suivante (Cf. n^o 169, équations (α) et (β))

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,t),$

$f(x,t)$ étant une fonction développable suivant les puissances de $x$ et périodique par rapport à $t.$

Or il arrive, dans les applications que M. Gyldén a faites de cette équation, que les termes les plus importants de $f(x,t)$ sont de la forme

$\varphi (t)+x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right),$

$\varphi (t)$ étant une fonction périodique de $t$ seulement, et que tous les autres termes peuvent être négligés dans une première approximation.

L’équation (2) peut alors être remplacée par la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\varphi (t)+x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$

C’est une équation linéaire à second membre, dont l’intégration se ramène aisément, comme l’on sait, à celle de l’équation sans second membre correspondante, qui n’est autre que cette équation (1).

Étudions donc cette équation (1) et rappelons d’abord ce que les résultats généraux, démontrés dans le premier Volume au sujet des équations linéaires (Chap. II, n^o 29, et Chap. IV, passim) vont nous permettre d’en dire.

Ils nous apprennent d’abord que cette équation (1) admet deux intégrales particulières de la forme

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t),\end{aligned}}$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant deux fonctions périodiques de $t,$ de période $\pi$ et les deux exposants caractéristiques $h{\sqrt {-1}}$ et $-h{\sqrt {-1}}$ étant égaux et de signe contraire.

Pour aller plus loin, nous allons faire usage d’un théorème général que j’ai démontré dans mon Mémoire sur les groupes des équations linéaires (Acta mathematica, t. IV, p. 212).

Soit une équation linéaire de la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{p}y}{dx^{p}}}&=\varphi _{p-1}(x){\frac {d^{p-1}y}{dx^{p-1}}}\\&+\varphi _{p-2}(x){\frac {d^{p-2}y}{dx^{p-2}}}+\ldots +\varphi _{1}(x){\frac {dy}{dx}}+\varphi _{0}(x)y.\end{aligned}}\right.$

Les coefficients $\varphi _{i}(x)$ sont des fonctions, non seulement de $x,$ mais d’un certain nombre de paramètres dont elles dépendent linéairement.

Supposons, par exemple, qu’il y ait trois paramètres et appelons-les $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$ Alors la fonction $\varphi _{i}(x)$ sera de la forme

$\varphi _{i}(x)=\mathrm {A} \varphi _{i}'(x)+\mathrm {B} \varphi _{i}''(x)+\mathrm {C} \varphi _{i}'''(x).$

Les fonctions $\varphi _{i}'(x),$ $\varphi _{i}''(x)$ et $\varphi _{i}'''(x)$ seront continues, ainsi que toutes leurs dérivées, dans l’intérieur d’un domaine d’où nous ne ferons pas sortir $x$

Cela posé, donnons-nous les valeurs initiales de $y$ et de ses $p-1$ premières dérivées au point $x=0$ et faisons varier $x$ depuis 0, jusqu’à une certaine valeur $x_{1},$ en suivant un chemin déterminé. Soit $y_{1}$ la valeur que prendra $y$ quand $x$ arrivera au point $x_{1}.$ Il est clair que $y_{1}$ dépendra :

1^o Des valeurs initiales de $y$ et de ses dérivées (il en dépendra d’ailleurs linéairement) ;

2^o Des paramètres $\mathrm {A,\,B,\,C} .$

Eh bien, le théorème en question, c’est que $y_{1}$ peut être développé en une série procédant suivant les puissances croissantes de $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ et que cette série convergera, quelles que soient les valeurs de ces trois quantités ; ou, en d’autres termes, que $y_{1}$ sera une fonction entière de $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$

Appliquons ce théorème à l’équation (1).

Soit $\mathrm {F} (t)$ une intégrale particulière de cette équation telle que

${\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&=1,&\mathrm {F} '(0)&=0\,;\end{aligned}}$

[je désigne pour abréger ${\frac {d\mathrm {F} }{dt}}$ par $\mathrm {F} '(t)$].

Soit de même $f(t)$ une seconde intégrale particulière telle que

${\begin{aligned}f(0)&=0,&f'(0)&=1.\end{aligned}}$

Alors si $x_{0}$ et $x_{0}'$ sont les valeurs initiales de $x$ et de ${\frac {dx}{dt}}$ pour $t=0,$ on aura

$x=x_{0}\mathrm {F} (t)+x_{0}'f(t).$

Notre théorème, c’est alors que $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ seront des fonctions entières de $q^{2}$ et de $q_{1}.$ Il en est de même de $\mathrm {F} '(t)$ et $f'(t).$

Supposons, en particulier, que

$x=e^{iht}\varphi _{1}(t),$

il viendra

${\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=x_{0},&\varphi _{1}'(0)+ih\varphi _{1}(0)&=x_{0}'\end{aligned}}$

et

${\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }\varphi _{1}(\pi )&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }\left[\varphi _{1}'(\pi )+ih\varphi _{1}(\pi )\right]&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}$

Mais la fonction $\varphi _{1}$ est périodique, de sorte qu’on a

${\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=\varphi _{1}(\pi ),&\varphi _{1}'(0)&=\varphi _{1}'(\pi ),\end{aligned}}$

d’où

${\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }x_{0}&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }x_{0}'&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}$

D’où

$\left[\mathrm {F} (\pi )-e^{ih\pi }\right]\left[f'(\pi )-e^{ih\pi }\right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.$

Ainsi $e^{ih\pi }$ est une racine de l’équation en $\mathrm {S} ,$

$\left[\mathrm {F} (\pi )-\mathrm {S} \right]\left[f'(\pi )-\mathrm {S} \right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.$

On verrait de la même manière que l’autre racine est $e^{-ih\pi }.$ Donc la somme des racines est égale à $2\cos h\pi ,$ de sorte qu’on a

$2\cos h\pi =\mathrm {F} (\pi )+f'(\pi ).$

Il en résulte que $\cos h\pi$ est une fonction entière de $q^{2}$ et de $q_{1},$ c’est-à-dire que $\cos h\pi$ peut être développé suivant les puissances entières de $q^{2}$ et de $q_{1}$ et que le développement est toujours convergent.

Je dis maintenant que ce développement ne contient que des puissances paires de $q_{1}.$

Si, en effet, on change $t$ en $t+{\frac {\pi }{2}},$ les solutions

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t)\end{aligned}}$

deviennent

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\psi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\psi _{2}(t)\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}\psi _{1}(t)&=e^{\frac {ih\pi }{2}}\,\varphi _{1}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right),&\psi _{2}(t)&=e^{-{\frac {ih\pi }{2}}}\,\varphi _{2}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

sont des fonctions périodiques en $t.$ Par conséquent, les exposants caractéristiques ne changent pas.

En même temps, comme

$\cos 2\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos 2t,$

l’équation (1) devient

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}-q_{1}\cos 2t\right),$

ce qui veut dire que les exposants caractéristiques et, par conséquent $\cos h\pi ,$ ne changent pas quand on change $q_{1}$ en $-q_{1}.$ Or cela ne peut avoir lieu que si le développement de $\cos h\pi ,$ ne contient que des puissances paires de $q_{1}.$

Observons maintenant que l’équation (1) ne change pas quand on change $t$ en $-t$ ; il résulte de là que $\mathrm {F} (t)$ est une fonction paire de $t$ et $f(t)$ une fonction impaire, c’est-à-dire que

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&=\mathrm {F} (-t),&f(t)&=-f(-t),\end{aligned}}$

Or les solutions de l’équation (1) sont développables suivant les cosinus et les sinus de $(h+2m)t,$ $m$ étant un entier positif et négatif. IL résulte de là que $\mathrm {F}$ ne contiendra que des cosinus pendant que $f$ ne contiendra que des sinus. On aura

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h+2m)t,\\f(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+2m)t,\end{aligned}}$

$m$ variant de $-\infty$ à $+\infty .$ Il vient alors

${\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}=1,\\\mathrm {F} (\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h\pi +2m\pi )={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos h\pi =\cos h\pi ,\\f'(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)t,\\f'(0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)=1,\\f'(\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)\pi =\cos h\pi .\end{aligned}}$

On a donc

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi .$

179.Voyons maintenant comment on peut obtenir le développement de $\mathrm {F} (\pi )$ suivant les puissances croissantes de $q_{1}.$

Supposons que l’on cherche plus généralement le développement de $\mathrm {F} (t)$ et posons

$\mathrm {F} (t)=\mathrm {F} _{0}(t)+q_{1}\mathrm {F} _{1}(t)+q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(t)+\ldots ;$

nous aurons, pour déterminer $\mathrm {F} _{0},\,\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ la série d’équations suivantes

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{0}&=0,\\{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{1}&=\mathrm {F} _{0}\cos 2t,\\{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{2}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{2}&=\mathrm {F} _{1}\cos 2t,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

De plus les fonctions $\mathrm {F} _{i}$ doivent être paires ; $\mathrm {F} _{0}$ doit se réduire à 1 et les autres fonctions $f_{i}$ à 0 pour $t=0.$

On en conclut d’abord que

$\mathrm {F} _{0}(t)=\cos qt$

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{1}={\frac {\cos(q+2)t}{2}}+{\frac {\cos(q-2)t}{2}}$

et

$\mathrm {F} _{1}(t)=-{\frac {\cos(q+2)t-\cos qt}{8(q+1)}}+{\frac {\cos(q-2)t-\cos qt}{8(q-1)}}$

Il vient ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{2}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{2}&=\alpha _{0}\cos(q+4)t+\alpha _{1}\cos(q+2)t\\&+\alpha _{2}\cos qt+\alpha _{3}\cos(q-2)t+\alpha _{4}cos(q-4)t,\end{aligned}}$

$\alpha _{0},\,\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4}$ étant des coefficients faciles à calculer, et l’on en déduit

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{2}=&-{\frac {\alpha _{0}\cos(q\!+\!4)t}{8(q\!+\!2)}}-{\frac {\alpha _{1}\cos(q\!+\!2)t}{4(q\!+\!1)}}+{\frac {\alpha _{3}\cos(q\!-\!2)t}{4(q\!-\!1)}}+{\frac {\alpha _{4}\cos(q\!-\!4)t}{8(q\!-\!2)}}\\&+{\frac {\alpha _{0}\cos qt}{8(q+2)}}+{\frac {\alpha _{1}\cos qt}{4(q+1)}}-{\frac {\alpha _{3}\cos qt}{4(q-1)}}-{\frac {\alpha _{4}\cos qt}{8(q-2)}}+{\frac {\alpha _{2}t\sin qt}{2q}}\cdot \end{aligned}}$

On voit d’ailleurs que $\alpha _{2}$ est égal ${\frac {1}{8(q^{2}-1)}}\cdot$ La loi est manifeste, on a

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{i}(t)=&{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t\\&+t^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos(q+2n)t+\ldots +t^{k}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {F} _{i}(t)$ devant être paire, le coefficient de $t^{k}$

${\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t$

ne contiendra que des sinus si $k$ est impair et des cosinus si $k$ est pair.

Quelles sont maintenant les valeurs que peut prendre l’entier $n$ ?

Dans le premier terme

${\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right],$

$n$ variera de $-2i$ à $+2i\,;$ dans le coefficient de $t,$ $n$ pourra varier de $-2(i-2)$ à $+2(i-2)\,;$ dans le coefficient de $t^{2},$ $n$ pourra varier de $-2(i-4)$ à $+2(i-4)\,;$ et ainsi de suite, de sorte que $k$ ne pourra surpasser ${\frac {i}{2}}\cdot$

On peut trouver à l’aide des équations (5) des relations de récurrence entre les coefficients $\beta _{i.n}^{k}\,;$ je ne m’y arrêterai pas pour le moment.

Lorsqu’on fera $t=\pi ,$ on aura

$\cos(q+2n)\pi -\cos q\pi =0$

et le premier terme de $\mathrm {F} _{i}(t)$ disparaîtra ; de sorte que

$\mathrm {F} _{i}(\pi )=\pi {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin q\pi +\pi ^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos q\pi +\ldots$

Nous savons d’ailleurs que $F_{i}(\pi )$ sera nul si $i$ est impair, puisque nous savons d’avance que le développement de $\mathrm {F} (\pi )$ ne doit contenir que des puissances paires de $q_{1}.$

C’est ainsi que M. Tisserand calcule $\mathrm {F} (\pi )$ et, par conséquent, $\cos h\pi .$ Il trouve ainsi

${\begin{aligned}\cos h\pi &=\cos q\pi {\bigg [}1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}\\&+\sin q\pi {\bigg [}-{\frac {\pi }{16q(1-q^{2})}}q_{1}^{2}+{\frac {(15q^{4}-35q^{2}+8)\pi }{1024q^{3}(1-q^{2})^{3}(2^{2}-q^{2})}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}.\end{aligned}}$

ce que j’écrirai

$\cos h\pi =\varphi (q,q_{1})\cos q\pi +\varphi _{1}(q,q_{1})\sin q\pi ,$

$\varphi (q,q_{1})$ et $\varphi _{1}(q,q_{1})$ seront des séries développées suivant les puissances croissantes de $q_{1}^{2}$ dont les coefficients seront rationnels en $q.$

La première question à résoudre est de savoir si $h$ est réel ou imaginaire. Si

$\left|\cos h\pi \right|=\left|\mathrm {F} (\pi )\right|<1,$

$h$ est réel, la solution de notre équation différentielle est alors stable et $\mathrm {F} (t),$ de même que $f(t),$ reste compris entre des limites finies. Si au contraire

$\left|\mathrm {F} (\pi )\right|>1,$

$h$ est imaginaire ; et les deux fonctions $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ sont de la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} (t)&=&&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}+{}&&&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\\f(t)&=\mathrm {A} &\,&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}-{}&\mathrm {A} &\,&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\end{alignedat}}$

$\mathrm {A}$ et $\alpha$ étant des constantes réelles et $\psi (t)$ une fonction périodique de $t$ de période $\pi .$ Il en résulte que $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ peuvent croître au delà de toute limite et que la solution de notre équation différentielle est instable.

Si l’on considère un instant $q$ et $q_{1}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, ce plan va se trouver partagé ainsi en deux régions, l’une où $\left|\mathrm {F} (\pi )\right|$ sera plus petit que 1 et $h$ réel, l’autre où $\left|\mathrm {F} (\pi )\right|$ sera plus grand que 1 et $h$ imaginaire. Ces deux régions sont séparées l’une de l’autre par les diverses branches des deux courbes

${\begin{aligned}\cos h\pi &=+1,&\cos h\pi &=-1.\end{aligned}}$

Il y a donc intérêt à construire ces deux courbes au moins dans la partie du plan qui correspond aux petites valeurs de $q_{1}.$

Pour $q_{1}=0,$ on a

$\cos h\pi =\cos q\pi .$

Donc la courbe $\cos h\pi =+1,$ que j’appellerai la courbe $\mathrm {C} ,$ coupe l’axe des $q$ en des points dont les abscisses sont des entiers pairs, et la courbe $\cos h\pi =-1$ que j’appellerai la courbe $\mathrm {C} '$ coupe l’axe des $q$ aux points dont les abscisses sont des entiers impairs.

Tous les autres points de l’axe des $q$ appartiennent à la première région, celle où $h$ est réel.

Reprenons alors l’équation

$\cos h\pi =\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0,$

qui lie $h$ à $q$ et à $q_{1}\,;$ le premier membre s’annule pour $h=q,$ $q_{1}=0\,;$ il est développable suivant les puissances croissantes de $h-q$ et de $q_{1}^{2}\,;$ enfin sa dérivée par rapport à $h$ se réduit à $-\pi \sin q\pi$ pour $h=q,$ $q_{1}=0,$ et par conséquent ne s’annule pas à moins que $q$ ne soit entier. Si donc nous supposons que $q$ n’est pas entier, le théorème du n^o 30 nous apprend que $h$ est développable suivant les puissances croissantes de $q_{1}^{2}$ et que la série est convergente pourvu que $q_{1}$ soit assez petit.

Voyons maintenant ce qui se passe quand $q$ est entier. M. Tisserand, en appliquant sa formule, a trouvé : pour $|q|\geq 3$

$\cos h\pi =(-1)^{q}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots \right],$

pour $|q|=2$

$\cos h\pi =1+{\frac {5\pi ^{2}q_{1}^{4}}{73728}}+\ldots ,$

pour $|q|=1$

$\cos h\pi =-1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{32}}-\ldots ,$

et enfin pour $|q|=0$

$\cos h\pi =1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{16}}+\ldots .$

En effet, quand $q$ est entier, $\cos q\pi$ devient égal à $\pm 1,$ et $\sin q\pi$ s’annule ; mais il arrive en même temps que $\varphi _{1}(q,q_{1})$ devient infini ; de sorte que le produit

$\sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),$

tend vers une valeur finie quand $q$ tend vers un nombre entier. Considérons alors la limite

$\mathrm {L} =\lim \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),$

quand $q$ tend vers une valeur entière.

Cette limite sera développable suivant les puissances de $q_{1}^{2}\,;$ mais, dans le développement de $\varphi _{1}(q,q_{1}),$ le coefficient de $q_{1}^{2}$ devient infini pour $|q|=$ 0 ou 1, celui de $q_{1}^{4}$ pour $|q|=$ 0, 1 ou 2, celui de $q_{1}^{6}$ pour $|q|=$ 0, 1, 2 ou 3 ; il en résulte que, si $q$ tend vers un entier $n,$ le développement de $\mathrm {L}$ commencera par un terme en $q_{i}^{2n}\,;$ d’autre part, le développement de $\varphi (q,q_{1})-1$ commence par un terme en $q_{1}^{4}.$ C’est pour cette raison que dans les développements de

$\cos h\pi -(-1)^{q},$

trouvés par M. Tisserand, le premier terme est en $q_{1}^{2}$ pour $|q|=$ 0 ou 1 et en $q_{1}^{4}$ pour $|q|>{}$1.

Considérons donc l’équation de la courbe $\mathrm {C} ,$ qui peut s’écrire

$1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0.$

La courbe passant par le point

$q=2n,\quad q_{1}=0\quad$ ($n$ entier),

le premier membre s’annule pour $q=2n,$ $q_{1}=0\,;$ il est d’ailleurs développable suivant les puissances croissantes de $q-2n$ et de $q_{1}.$ il est aisé de voir que ce développement ne contient ni terme de degré 0 ni terme de degré 1, mais qu’il commence par des termes du second degré

${\frac {\pi ^{2}}{2}}\left(q-2n\right)^{2}+\mathrm {A} \,q_{1}^{2},$

$\mathrm {A}$ étant égal à

${\frac {\pi ^{2}}{16}}\quad$ pour$\quad n=0,$

et à 0 pour $n\gtrless 0.$

Il en résulte que le point $q=2n,$ $q_{1}=0$ est pour la courbe $\mathrm {C}$ un point double ; mais deux cas sont à distinguer :

1^o Si $n=0,$ les termes du second degré se réduisent à la somme de deux carrés, les deux branches de courbe qui passent par le point double sont imaginaires ; l’origine est donc pour la courbe $\mathrm {C}$ un point isolé.

2^o Si $n\gtrless 0,$ $\mathrm {A}$ est nul ; les deux branches de courbe qui passent par le point double sont tangentes l’une à l’autre et coupent l’axe des $q$ à angle droit. Pour reconnaître si ces deux branches sont réelles ou imaginaires, il faut tenir compte des termes en $(q-2n)q_{1}^{2}$ et en $q_{1}^{2}.$

Le coefficient de $q_{1}^{4}$ est, comme nous l’avons vu,

${\frac {+\pi ^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}\quad$ ou $\quad {\frac {-5\pi ^{2}}{73728}},$

selon que $|n|>1$ ou $=1.$

Le coefficient de $(q-2n)q_{1}^{2}$ s’obtiendra en prenant les dérivées de

${\frac {\pi \sin q\pi }{16\,q\,(1-q^{2})}},$

par rapport à $q$ et en y faisant $q=2n.$ On trouve ainsi

${\frac {\pi ^{2}}{16\,q\,(1-q^{2})}}\cdot$

Pour que les branches de courbe soient réelles (en supposant $|n|>1$), il faut et il suffit que la forme quadratique

${\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {xy}{16\,q\,(1-q^{2})}}+{\frac {y^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}$

soit indéfinie. Il ne peut y avoir doute que si cette forme se réduit à un carré parfait ; or c’est précisément ce qui arrive ; nous voyons ainsi que nos deux branches de courbe sont non seulement tangentes, mais osculatrices l’une à l’autre ; mais nous serions obligés, pour reconnaître si elles sont réelles, de calculer les termes d’ordre supérieur, si nous n’avions heureusement un moyen indirect de décider la question, moyen que j’exposerai plus loin.

Dans le cas de $|n|=1,\,|q|=2,$ notre forme quadratique devient

${\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {xy}{96}}-{\frac {5q^{2}}{73728}}$

et est indéfinie ; les deux branches de courbe sont certainement réelles.

Construisons maintenant la courbe $\mathrm {C} '$ dont l’équation est

$-1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-\ldots =0.$

Le premier membre s’annule pour

$q=n,\quad q_{1}=0,\quad$ ($n$ entier impair),

et son développement suivant les puissances de $q-n$ et de $q_{1}$ commence par des termes du second degré

$\mathrm {A} (q-n)^{2}+\mathrm {B} \,q_{1}^{2}.$

Si $|n|=1,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signe différent et les deux branches de courbe qui passent par le point double sont réelles.

Si $|n|>1,$ $\mathrm {B}$ est nul, les deux branches de courbe sont tangentes (et probablement osculatrices) l’une à l’autre ; pour décider si elles sont réelles, il faut employer le procédé indirect dont j’ai parlé plus haut.

Voici en quoi il consiste.

On peut se demander ce qui se passe quand on a

$\mathrm {F} (\pi )=\cos h\pi =\pm 1.$

Alors, d’après ce que nous avons vu au n^o 29, la solution la plus générale de l’équation (1) est de la forme

$\psi (t)+t\,\psi _{1}(t),$

$\psi (t)$ et $\psi _{1}(t)$ étant des fonctions périodiques de $t,$ de période $\pi$ si $\mathrm {F} (\pi )=+1,$ et de période $2\pi$ si $\mathrm {F} (\pi )=-1$ (elles changent alors de signe quand $t$ se change en $t+\pi$). On a donc

$\mathrm {F} (t)=\psi (t)+t\,\psi _{1}(t).$

Si $\psi _{1}(t)$ n’est pas nul, c’est une solution de l’équation (1) ; or, $\mathrm {F} (t)$ est une fonction paire ; donc $\psi (t)$ est paire et $\psi _{1}(t)$ impaire ; donc $\psi _{1}(t)$ se réduit à un facteur constant près à $f(t)\,;$ alors $f(t)$ est périodique.

Si $\psi _{1}(t)$ est identiquement nul, $\mathrm {F} (t)$ est périodique.

Trois cas peuvent donc se présenter :

1^o Ou bien $\mathrm {F} (t)$ est périodique, et alors

$\mathrm {F} '(\pi )=0.$

2^o Ou bien $f(t)$ est périodique, et alors

$f(\pi )=0.$

3^o Ou bien ces deux fonctions sont périodiques toutes deux, et alors

$\mathrm {F} '(\pi )=f(\pi )=0.$

On peut arriver au même résultat de la façon suivante ; on a identiquement

$\mathrm {F} (t)\,f'(t)-\mathrm {F} '(t)\,f(t)=1.$

Si alors

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\pm 1,$

il viendra

$\mathrm {F} '(\pi )\,f(\pi )=0.$

Donc l’une au moins des deux quantités $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ est nulle.

De même, si

$\mathrm {F} '(\pi )=0\quad$ ou $\quad f(\pi )=0,$

on aura

$\mathrm {F} (\pi )\,f'(\pi )=1$

et puisque

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi ,$

il viendra

$\cos h\pi =\pm 1.$

Les différents points des deux courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ appartiennent donc aux deux courbes

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0,\end{aligned}}$

et réciproquement.

Remarquons d’abord que $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ sont des fonctions entières de $q$ et de $q_{1}.$ Pour $q_{1}=0,$ ces fonctions se réduisent à

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=-q\sin q\pi ,&f(\pi )&={\frac {\sin q\pi }{q}}\cdot \end{aligned}}$

Donc, si $q$ passe par une valeur entière différente de 0, $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ s’annulent en changeant de signe, et ces valeurs de $q$ sont pour ces deux fonctions des zéros simples. Il en résulte que les points

$q=n,\quad q_{1}=0\quad$ ($n$ entier, $\;n\gtrless 0$),

qui sont des points doubles, tantôt pour $\mathrm {C} ,$ tantôt pour $\mathrm {C} ',$ sont des points simples pour chacune des deux courbes

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0.\end{aligned}}$

Si $q$ passe par 0, $\mathrm {F} '(\pi )$ s’annule sans changer de signe (zéro double) et $f(\pi )$ ne s’annule pas ; l’origine est donc un point double pour $\mathrm {F} '(\pi )=0,$ mais $f(\pi )$ ne s’annule pas à l’origine.

Il y a donc quatre courbes analytiquement distinctes :

(α) 	$\mathrm {F} (\pi )=1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0;$	$\mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).$
(β) 	$\mathrm {F} (\pi )=1,$	$\;f\,(\pi )=0;$	$f\,(t+\pi )=f(t).$
(γ) 	$\mathrm {F} (\pi )=-1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0;$	$\mathrm {F} (t+\pi )=-\mathrm {F} (t).$
(δ) 	$\mathrm {F} (\pi )=-1,$	$\;f\,(\pi )=0;$	$f\,(t+\pi )=-f(t).$

La courbe $\mathrm {C}$ est alors formée de l’ensemble des deux courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en

$q=2n,\quad q_{1}=0,$

et c’est pour cette raison que ce point est un point double de $\mathrm {C} \,;$ mais les deux branches de $\mathrm {C}$ qui passent en ce point, appartenant ainsi à deux courbes analytiquement distinctes, ne peuvent être que réelles.

Il y a exception pour l’origine

$q=0,\quad q_{1}=0\,;$

ce point est un point double de (α), mais n’appartient pas à (β) ; d’après ce que nous venons de dire, le raisonnement qui précède ne s’applique donc pas et nous avons vu d’ailleurs que les deux branches de courbe sont alors imaginaires.

De même, la courbe $\mathrm {C} '$ est formée de l’ensemble des deux courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en

$q=2n+1,\quad q_{1}=0.$

Les deux branches de $\mathrm {C} '$ qui passent par ce point appartiennent à deux courbes analytiquement distinctes et sont par conséquent réelles.

Nous avons vu plus haut que changer $q_{1}$ en $-q_{1},$ c’est la même chose que de changer $t$ en $t+{\frac {\pi }{2}}\cdot$

Considérons d’abord la courbe (α)

$\mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).$

On a

$\mathrm {F} (t)=\mathrm {F} (-t),$

d’où

$\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)$

La fonction $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ est donc paire et périodique de période $\pi .$ Si donc on change $q_{1}$ en $-q_{1},$ $\mathrm {F} (t)$ se change en $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ qui est encore paire et périodique. Si donc le point $(q,\,q_{1})$ appartient à la courbe (α), il en est de même du point $(q,\,-q_{1}).$ La courbe (α) est donc symétrique par rapport à l’axe des $q.$

La courbe $\mathrm {C}$ étant symétrique dans son ensemble et se composant de (α) et de (β), nous devons conclure (ce qu’il serait d’ailleurs aisé de vérifier) que la courbe (β) est également symétrique par rapport à l’axe des $q.$

On doit conclure que les deux courbes (α) et (β) ne peuvent avoir au point

$q=2n,\quad q_{1}=0.$

qu’un contact d’ordre impair.

Considérons maintenant la courbe (γ)

$\mathrm {F} (t+\pi )=-\mathrm {F} (t).$

Il vient

$\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-{\frac {\pi }{2}}-t\right)=-\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)\cdot$

La fonction $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ est donc impaire et périodique. Si donc le point $(q,\,q_{1})$ appartient à (γ), le point $(q,\,-q_{1})$ appartiendra à (δ). Les deux courbes (γ) et (δ) sont donc symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe des $q.$

Il en résulte que ces deux courbes ne peuvent avoir en

$q=2n+1,\quad q_{1}=0.$

qu’un contact d’ordre pair.

Ainsi le contact des deux branches de courbes en $q=n,$ $q_{1}=0,$ est d’ordre 0 pour $n=1,$ d’ordre 1 pour $n=2\,;$ d’ordre 2 (au moins) pour $n=3\,;$ d’ordre 3 (au moins) pour $n=4\,;$ il est ensuite alternativement d’ordre pair et d’ordre impair et toujours au moins d’ordre 2.

Cela peut donner à penser que ce contact est toujours d’ordre $n-1\,;$ mais je ne l’ai pas vérifié.

La figure suivante, contenue dans le rectangle

$q=0,\quad q_{1}=0,\quad q_{1}=\varepsilon ,\quad q=4+\varepsilon ,$

peut résumer la discussion qui précède. La région couverte de hachures est celle où $h$ est imaginaire.

Fig. 1.

On peut tirer de l’équation qui donne $\cos h\pi ,$ en fonction de $q$ et de $q_{1},$ divers développements, dont la convergence est plus ou moins rapide et qui donnent $h,$ ordonné suivant les puissances de $q_{1}.$ Mais je crois qu’il est préférable de calculer $\cos h\pi$ à l’aide des formules précédentes et d’en déduire $h$ par les Tables trigonométriques.

180.Une fois $h$ déterminé, il s’agit de trouver les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ du développement

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.$

D’après la définition même de $\mathrm {F} (t),$ on doit avoir

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}=1.$

Il vient, d’autre part,

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}}\cdot$

Mais, d’après ce que nous avons vu au n^o 29, notre équation (1) doit admettre deux solutions de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}},\quad {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}},$

et $\mathrm {F} (t)$ doit en être une combinaison linéaire ; cela ne peut avoir lieu que si

$\mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}=\mathrm {C} _{n}.$

Il en résulte que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t={\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{i(h+2n)t}-{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{-i(h+2n)t}$

satisfera également à l’équation (1) et, par conséquent, que

$f(t)={\frac {{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t}{{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)}}\cdot$

Il est clair que $\mathrm {A} _{n}$ est une fonction de $q$ et de $q_{1},$ mais ce n’est plus une fonction entière de ces deux variables comme l’était $\cos h\pi .$ Ce n’est même pas une fonction uniforme. Il est évident que les seuls points singuliers de cette fonction sont les points des courbes

$\cos h\pi =\pm 1,$

pour lesquels les fonctions $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ cessent de pouvoir être mises sous la forme que nous venons de leur donner.

Comment se comporte la fonction $\mathrm {A} _{n}$ dans le voisinage d’un de ces points singuliers ?

Supposons que le point $(q,q_{1})$ se rapproche indéfiniment d’un point M appartenant à la courbe

$\mathrm {F} '(\pi )=0,$

et que $h$ tende vers une valeur entière $p\,;$ alors, à la limite, $\mathrm {F} (t)$ est encore périodique. Posons, pour abréger,

$\mathrm {B} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n),$

il viendra, en réunissant dans $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ les termes en $(h+2n)t$ et en $(h-2n-2p)t,$

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t+\mathrm {A} _{-n-p}\cos(h-2n-2p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t\,+\mathrm {A} _{-n-p}\sin(h-2n-2p)t\right].\end{aligned}}$

Si nous faisons alors

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {C} ,&\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {D} \,;\end{aligned}}$

il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \cos(h-p)t\cos(2n+p)t-\mathrm {D} \sin(h-p)t\sin(2n+p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \sin(h-p)t\,\cos(2n+p)t+\mathrm {D} \cos(h-p)t\sin(2n+p)t\right].\end{aligned}}$

Quand $h$ tend vers $p,$ $\cos(h-p)t$ tend vers 1 et $\sin(h-p)t$ vers zéro ; mais, si $\mathrm {D}$ tend vers l’infini, de telle façon que $\mathrm {D} (h-p)$ tende vers une limite finie, le produit $\mathrm {D} \sin(h-p)t$ tendra vers $\mathrm {D} _{0}t,$ $\mathrm {D} _{0}$ étant une constante.

Si alors le point M appartient à la courbe $\mathrm {F} '(\pi )=0,$ le développement de $\mathrm {F} (t)$ doit contenir seulement des termes en

$\cos(2n+p)t$

et celui de $f(t)$ des termes en $\sin(2n+p)t$ et en $t\cos(2n+p)t.$

Il faut donc que $\mathrm {C}$ tende vers une limite finie, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {B}$ vers zéro. Donc $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ tendront vers des limites finies, égales entre elles. Si $p$ est pair, $\mathrm {A} _{\frac {p}{2}}$ devra tendre vers zéro. Il est aisé de vérifier que, si

$\lim \mathrm {A} _{n}=\lim \mathrm {A} _{-n-p},$

on aura, comme il convient,

$\lim \mathrm {B} =\lim {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)=0.$

Si, au contraire, le point M appartient à la courbe $f(\pi )=0,$ le développement de $\mathrm {F} (t)$ devra contenir des termes en

$\cos(2n+p)t\quad$ et $\quad t\sin(2n+p)t,$

et celui de $f(t),$ des termes en $\sin(2n+p)t.$

Il faut donc que $\mathrm {C}$ tende vers une limite finie, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {B}$ vers l’infini.

Donc, $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ tendront vers l’infini, mais leur somme algébrique restera finie.

Mais, que le point M appartienne à la courbe $\mathrm {F} '(\pi )=0$ ou à la courbe $f(\pi )=0,$ ce n’en est pas moins un point singulier pour la fonction $\mathrm {A} _{n}.$ En effet, quand le point $(q,q_{1})$ tourne autour de M, la fonction $\mathrm {A} _{n}$ s’échange avec la fonction $\mathrm {A} _{-n-p},$ comme le font deux déterminations d’une même fonction algébrique.

Il résulte de là que, si $q$ n’est pas entier, $\mathrm {A} _{n}$ pourra se développer suivant les puissances croissantes de $q_{1},$ et que le rayon de convergence de ce développement sera le module du point singulier le plus rapproché, et les points singuliers seront les points des courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ qui correspondent à la valeur de $q$ considérée.

Il reste à trouver les coefficients du développement. Supposons le problème résolu et soit

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n+h-q)t,$

ou en développant suivant les puissances de $(h-q),$ il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n)t-t{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)\sin(q+2n)t\\[0.5ex]&-{\frac {t^{2}}{1.2}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}\cos(q+2n)+\ldots \end{aligned}}$

Ce développement, qui contient les lignes trigonométriques de $(q+2n)t$ multipliées par des puissances de $t,$ doit être identique à celui que nous avons trouvé plus haut

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\mathrm {F} _{i}(t)$

$\mathrm {F} _{i}(t)={\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t+\dots .$

Observons, en effet, que $\mathrm {A} _{n},$ $\mathrm {A} _{n}(h-q),$ $\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}$ sont développables suivant les puissances croissantes de $q_{1}.$

En identifiant les deux développements, il vient alors

$\mathrm {A} _{n}={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\beta _{i.n}^{0}$

et

$\mathrm {A} _{0}=1-{\textstyle \sum }_{i}\,q_{1}^{i}\left({\textstyle \sum }_{n}\,\beta _{i.n}^{0}\right).$

Nous avons donc le moyen de calculer les coefficients du développement. La convergence est généralement suffisante quand $q$ n’est pas voisin d’un nombre entier. Si $q$ est voisin d’un entier $p,$ on peut augmenter la convergence de la manière suivante :

Comme $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ s’échangent quand on tourne autour du point singulier le plus rapproché, les deux fonctions

$\left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)\quad$ et $\quad \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}\quad$

restent uniformes dans le voisinage de ce point singulier, mais la première de ces deux fonctions restera finie et la seconde pourra devenir infinie du premier ordre, si ce point singulier appartient à $f(\pi )=0.$ Mais alors

$\left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )$

restera fini. Les développements de

$\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\quad$ et $\quad \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )$

seront donc beaucoup plus convergents que ceux de $A_{n}$ et $A_{-n-p}.$ On aura donc avantage à s’en servir et à en tirer ensuite $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}-n-p$ par une équation du second degré.

Observons, en terminant, que la discussion de la forme des courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ dans le voisinage des points

$q=n,\quad q_{1}=0$

sera singulièrement facilitée si l’on se sert du développement de $\mathrm {F} '(\pi )$ et de $f(\pi )$ au lieu de celui de $\mathrm {F} (\pi ).$

Ce qui précède constitue la théorie complète de notre équation (1). Je dois toutefois parler des diverses méthodes qui ont été proposées pour l’intégrer et qui sont celle qui est fondée sur l’application des théorèmes de Jacobi, et celles de MM. Gyldén, Bruns, Hill et Lindstedt.

Méthode de Jacobi.

181.On peut appliquer à l’équation (1) la méthode exposée en détail au Chapitre IX avec cette différence que les séries seraient certainement convergentes. L’équation (1) rentre en effet comme cas particulier dans l’équation (3) du n^o 2. Or nous avons vu que cette équation du n^o 2 pouvait être ramenée à la forme canonique des équations de Jacobi.

Si donc nous posons

${\begin{aligned}x&={\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1},&{\frac {dx}{dt}}&={\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1},&y_{2}&=t,&q&=\mu q_{1}\end{aligned}}$

et

$\mathrm {F} =-qx_{1}-x_{2}+\mu x_{1}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},$

l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$

peut être remplacée par les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=1,\qquad {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=\mu \sin 2y_{1}\cos 2y_{2}\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=q-\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.\end{aligned}}$

Le problème est alors ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles

(2)

$q\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}}=\mu \,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},$

à laquelle la méthode d’approximations successives du n^o 125 est directement applicable.

Mais il n’y aurait pas grand avantage à l’employer, à moins que l’équation (1) ne soit qu’une expression approximative du problème qu’on se propose et qu’après avoir intégré cette équation on ne veuille pousser plus loin l’approximation en employant la méthode de la variation des constantes ou qu’on ne veuille s’en servir comme vérification.

Observons en passant que l’intégration de l’équation (2) se ramène à celle d’une équation différentielle du premier ordre,

${\frac {dy_{2}}{dy_{1}}}=q+\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.$

Quoi qu’il en soit, cherchons quelle relation il peut y avoir entre la fonction $\mathrm {S}$ définie par l’équation (2) et les fonctions $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ définies dans les numéros précédents.

Nous trouverons pour la solution générale des équations canoniques dérivées de l’équation (1) par le changement de variables qui précède l’expression qui va suivre ; je rappelle que nous avons posé

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t\,;$

notre expression sera, en désignant par $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $y_{1}^{0},$ $y2^{0}$ des constantes d’intégration,

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&=-x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\y_{2}&=t+y_{2}^{0}\,;\qquad x_{2}=x_{2}^{0}+\int {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}\,dt.\end{aligned}}$

Si l’on élimine entre ces équations les deux constantes $y_{1}^{0}$ et $y_{2}^{0}$ et que l’on résolve par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2},$ on aura $x_{1}$ et $x_{2}$ en fonctions de $y_{1},$ $y_{2},$ $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}\,;$ et d’autre part

$x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}=d\mathrm {S}$

sera une différentielle exacte (Cf. n^o 19, in fine).

Posons alors, pour abréger,

$ht+hy_{1}^{0}=\varphi ,$

il viendra

${\begin{alignedat}{5}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=&&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(\varphi +2ny_{2}),\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&={}&-&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(\varphi +2ny_{2})\end{alignedat}}$

et il s’agira d’éliminer $\varphi$ entre ces deux équations.

Pour effectuer cette élimination, observons que ces deux équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}{\frac {\sin y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{1}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{2}(y_{2})\sin \varphi ,\\{\sqrt {2qx_{1}}}{\frac {\cos y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{3}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{4}(y_{2})\sin \varphi ,\end{aligned}}$

les $\theta$ étant des fonctions périodiques de $y_{2}$ de période $\pi$ et qui s’expriment aisément à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$ En résolvant ces équations par rapport à $\cos \varphi$ et $\sin \varphi ,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\cos \varphi &=\eta _{1}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{2}(y_{2})\sin y_{1},\\{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\sin \varphi &=\eta _{3}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{4}(y_{2})\sin y_{1},\end{aligned}}$

les quatre fonctions $\eta (y_{2})$ étant périodiques de période $\pi$ et s’exprimant aisément à l’aide des $\theta$ et, par conséquent, à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$ En faisant la somme des carrés, il vient alors, si l’on observe que $x_{1}$ doit être une fonction paire en $y_{1},$

${\frac {(x_{1}^{0})^{2}}{x_{1}}}=\zeta _{0}(y_{2})+\zeta _{1}(y_{2})\cos 2y_{1}+\ldots ,$

les deux fonctions $\zeta$ étant encore périodiques de période $\pi$ et s’exprimant aisément à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$

Or nous aurons

$x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},$

d’où cette conclusion :

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ est une fonction périodique de période $\pi$ tant par rapport à $y_{1}$ que par rapport à $y_{2}$ et son développement contient, comme on le verra en appliquant la méthode du n^o 125, des termes en $\cos(2my_{1}+2ny_{2}),$ où $m$ et $n$ peuvent prendre toutes les valeurs entières possibles. Mais la fonction inverse

${\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},$

qui est aussi périodique en $y_{1}$ et $y_{2},$ ne pourra contenir que des termes en

$\cos 2ny_{2}\quad$ ou $\quad \cos(2y_{1}+2ny_{2}),$

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ étant évidemment une fonction paire tant par rapport à $y_{1}$ que par rapport à $y_{2}.$

Si nous posons

$u={\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},$

l’équation (2) nous donne

$q\,{\frac {du}{dy_{1}}}+{\frac {du}{dy_{2}}}=\mu \left({\frac {du}{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}-2u\sin y_{1}\cos y_{1}\cos 2y_{2}\right).$

Les procédés du n^o 125 sont applicables à cette équation bien qu’elle ne contienne pas seulement les dérivées de $u,$ mais la fonction $u$ elle-même.

On trouve

$u=u_{0}+\mu \,u_{1}+\mu ^{2}u_{2}+\ldots \,;$

$u_{0}$ est une constante, et il est aisé de vérifier que $u_{1},$ $u_{2},\,\ldots$ sont bien de la forme indiquée, c’est-à-dire que

$u_{i}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}^{i}\cos 2ny_{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}^{i}\cos(2y_{1}+2ny_{2}).$

Il est aisé de former des relations de récurrence qui permettent de déterminer les constantes

$\mathrm {A} _{n}^{i+1}\quad$ et $\quad \mathrm {B} _{n}^{i+1},$

quand on connaît les $\mathrm {A} _{n}^{i}$ et les $\mathrm {B} _{n}^{i}.$

Méthode de M. Gyldén.

182.M. Picard a démontré le théorème suivant :

Si une équation linéaire a pour coefficients des fonctions doublement périodiques et si son intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles, cette intégrale s’exprime à l’aide des « fonctions doublement périodiques de deuxième espèce », c’est-à-dire des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur constant quand la variable augmente d’une période.

L’importance de ce théorème provient des deux circonstances suivantes :

1^o Il est toujours facile de reconnaître sur l’équation même si l’intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles ;

2^o Toute fonction doublement périodique de deuxième espèce s’exprime simplement à l’aide des fonctions $\theta$ de Jacobi ou des fonctions $\sigma$ de M. Weierstrass.

M. Gyldén a eu l’idée ingénieuse d’appliquer ce théorème à l’intégration de l’équation (1). Mais il serait injuste de présenter les choses sous cette forme sans citer le nom de M. Hermite. Ce que M. Gyldén a appliqué en réalité, c’est un théorème de M. Hermite sur l’équation de Lamé, qui n’est à la vérité qu’un cas particulier de celui de M. Picard, mais qui lui est notablement antérieur.

Notre équation (1) peut s’écrire

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(a+b\cos ^{2}t)x,$

en posant

${\begin{aligned}a&=-q^{2}+{\frac {q_{1}}{2}},&b&={\frac {q_{1}}{2}}\cdot \end{aligned}}$

Considérons la fonction

$\cos amt=cnt\quad (\mathrm {mod} \;k$).

Il est clair, d’après la définition même de cette fonction, que $cnt$ tendra vers $\cos t$ quand $k$ tendra vers zéro. On peut donc, si $k$ est très petit, remplacer l’équation (2) par la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x(a+bcn^{2}t)$

et l’approximation sera d’autant plus grande que $k$ sera plus petit.

Cela posé, voyons quelles sont les conditions pour que l’intégrale générale de (3) n’ait d’autre singularité que des pôles. Le seul point singulier de l’équation (3) est le point

${\frac {\omega 'i}{2}},$

en appelant $\omega$ et $\omega 'i$ les périodes de $cn^{2}t.$ En effet, pour

$t={\frac {\omega 'i}{2}},$

$cnt$ devient infini. On sait que le résidu de $cnt$ est ${\frac {-{\sqrt {-1}}}{k}}\,;$ de sorte que nous aurons, en développant $cn^{2}t$ suivant les puissances de

$t-{\frac {\omega 'i}{2}}=u,$

une série de la forme suivante

$-{\frac {1}{k^{2}u^{2}}}+\alpha _{0}+\alpha _{1}u^{2}+\ldots$

ne contenant que des puissances paires de $u.$

La condition pour que le développement de $x$ suivant les puissances croissantes de $u$ commence par un terme en $u^{-n},$ s’obtient aisément en égalant dans les deux membres de (3) les termes en $u^{-n-2},$ qui sont alors les termes de degré le moins élevé ; elle s’écrit

$n(n+1)=+{\frac {b}{k^{2}}},$

d’où

(4)

$k^{2}=+{\frac {q_{1}}{2.n(n+1)}}\cdot$

Si elle est remplie et si $n$ est entier, l’équation (3) admet une intégrale particulière qui aura un pôle pour $t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot$

Comment se comportera l’autre intégrale ? La théorie des équations linéaires nous apprend qu’elle ne pourra non plus avoir d’autre singularité qu’un pôle en $t={\frac {\omega 'i}{2}}$ ou un point logarithmique ; mais l’étude du développement de $x$ suivant les puissances de $u$ montre aisément que du moment que $a+bcn^{2}t$ est une fonction paire de $u,$ on n’a pas à craindre que le développement des intégrales contienne un logarithme ; je renvoie pour plus de détails aux travaux bien connus de M. Fuchs, sur les équations linéaires dans le tome 66 du Journal de Crelle et à la thèse de M. Tannery (Paris, Gauthier-Villars, 1873) où ces travaux sont résumés. Ainsi, si la condition (4) est remplie, l’équation (3) admettra deux intégrales particulières de la forme

$x={\frac {\theta (t-\alpha _{1})\theta (t-\alpha _{2})\ldots \theta (t-\alpha _{n})}{\theta ^{n}(t)}},$

en désignant par $\theta$ celle des quatre fonctions $\theta$ qui s’annule pour $t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot$

Les $n$ quantités $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n}$ peuvent être facilement déterminées, ainsi que l’ont fait voir les recherches de M. Hermite sur l’équation de Lamé qui ont épuisé complètement la question.

Maintenant nous pouvons choisir un entier $n$ assez grand, pour que la valeur de $k$ qui satisfait à la condition (4) soit aussi petite que nous voudrons, et, par conséquent, pour que les équations (2) et (3) diffèrent aussi peu l’une de l’autre qu’on le voudra.

Mais, comme $q_{1}$ est généralement très petit, M. Gyldén estime que, dans les applications, on pourra se contenter de la première approximation et faire $n=1.$

Méthode de M. Bruns.

183.Reprenons l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$

et faisons-y

$x=e^{\int \!z\,dt}.$

L’équation deviendra

(2)

${\frac {dz}{dt}}+z^{2}+q^{2}=q_{1}\cos 2t$

Supposons maintenant que l’on développe $z$ suivant les puissances croissantes de $q_{1}$ et qu’on ait

$z=z_{0}+q_{1}z_{1}+q_{1}^{2}z_{2}+\ldots .$

Nous déterminerons successivement

$z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots$

par la suite d’équations.

(3)

$\left\{{\begin{aligned}z_{0}&=\pm iq,\\{\frac {dz_{1}}{dt}}+2z_{0}z_{1}&=\cos 2t,\\{\frac {dz_{2}}{dt}}+2z_{0}z_{2}&=-z_{1}^{2},\\{\frac {dz_{3}}{dt}}+2z_{0}z_{3}&=-2z_{1}z_{2},\\{\frac {dz_{4}}{dt}}+2z_{0}z_{4}&=-2z_{1}z_{3}-z_{2}^{2},\\{\frac {dz_{5}}{dt}}+2z_{0}z_{5}&=-2z_{1}z_{4}-z_{2}z_{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$

Les équations (3) permettent de calculer les $z_{k}$ par récurrence ; si, en effet, on a intégré les $k$ premières de ces équations, et si l’on connaît par conséquent

$z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{k-1},$

la ($k$+1)^ième s’écrira (en prenant $z_{0}=+iq,$ par exemple)

${\frac {dz_{k}}{dt}}+2iqz_{k}=\mathrm {U} _{k},$

$\mathrm {U} _{k}$ étant une fonction connue de $t.$

Si $z_{0},\,z_{1},\,z_{2},\,\ldots ,\,z_{k-1}$ sont des fonctions périodiques de $t,$ de période $\pi ,$ il en sera de même de $\mathrm {U} _{k}$ et nous pourrons écrire

$\mathrm {U} _{k}={\textstyle \sum }\,a_{n}e^{2nit},$

d’où

$z_{k}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {a_{n}e^{2nit}}{2i(n+q)}}\cdot$

Nous pourrons donc, à moins que $q$ ne soit entier, égaler $z_{k}$ à une fonction périodique de $t.$

Alors $z$ est une fonction périodique de $t,$ que nous pourrons écrire

$z=ih+{\frac {du}{dt}},$

$ih$ étant la valeur moyenne de cette fonction périodique $z$ et $u$ une autre fonction périodique. On en déduit pour une intégrale particulière de (1)

$x=e^{iht+u}.$

Ce que nous avons appelé $\mathrm {F} (t)$ dans le n^o 178 est alors la partie réelle de

$e^{iht}e^{u}.$

Cette méthode est la plus simple quand on veut le développement de $h$ suivant les puissances de $q_{1}.$

Méthode de M. Lindstedt.

184.Considérons l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x-q_{1}x\cos 2t=0$

et sa solution paire

$x=\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.$

Il est clair que nous aurons

(2)

$\mathrm {A} _{n}\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}).$

Le problème consiste à déterminer $h$ et les $\mathrm {A} _{n},$ de façon que les équations (2) soient satisfaites et la série $\mathrm {F} (t)$ convergente. Nous pouvons considérer également l’équation à second membre

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x-q_{1}x\cos 2t=\beta \cos \lambda t\,;$

cette équation admet une solution de la forme

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t.$

Il serait aisé d’ailleurs (par la méthode ordinaire d’intégration des équations linéaires à second membre) de calculer les coefficients $\mathrm {B} _{n}$ une fois qu’on connaîtrait $h$ et les $\mathrm {A} _{n}\,;$ mais, si l’on veut les calculer directement, on est conduit aux équations suivantes analogues aux équations (2)

(4)

$\mathrm {B} _{n}\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {B} _{n-1}+\mathrm {B} _{n+1}).$

Pour $n=0,$ cette équation devrait être remplacée par la suivante

(4 bis)

$\mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {B} _{-1}+\mathrm {B} _{1})+\beta ,$

qui se réduit encore aux équations (2), quand on y fait $\lambda =h,$ $\beta =0.$ Posons alors

${\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]}}=\mathrm {M} _{n},$

$\mathrm {M} _{n}$ sera une fonction de $\lambda .$

Posons pour $n>o$

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n-1}}}$

et, au contraire, pour $n<0,$

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n+1}}},$

de telle façon que

${\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{2}&={\frac {\mathrm {B} _{2}}{\mathrm {B} _{1}}},&\ldots &,&\alpha _{-1}&={\frac {\mathrm {B} _{-1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{-2}&={\frac {\mathrm {B} _{-2}}{\mathrm {B} _{-1}}},&\ldots ;\end{aligned}}$

les équations (4) deviendront, en supposant $n>0,$

${\frac {1}{\mathrm {M} _{n}}}=\alpha _{n+1}+{\frac {1}{\mathrm {A} _{n}}},$

d’où

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-\mathrm {M} _{n}\alpha _{n+1}}}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n+1}}{1-\mathrm {M} _{n+1}\alpha _{n+2}}}}}=\ldots$

Nous sommes donc conduit à exprimer $\alpha _{1}$ par la fraction continue

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}}$

Cette fraction continue est-elle convergente ? Soit ${\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}$ sa $n$^ième réduite, nous aurons

(5)

${\begin{aligned}\;\;\mathrm {P} _{n}&=\mathrm {P} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},&\mathrm {Q} _{n}&=\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {Q} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}\end{aligned}}$

et, d’autre part,

$\mathrm {P} _{n}\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-1}\mathrm {Q} _{n}=\mathrm {M} _{1}^{2}\,\mathrm {M} _{2}^{2}\,\mathrm {M} _{3}^{2}\ldots \mathrm {M} _{n-1}^{2}\,\mathrm {M} _{n}.$

Je remarque d’abord que, quand $n$ croît indéfiniment, $\mathrm {M} _{n}$ tend vers 0 et que la série

(6)

$\mathrm {M} _{1}+\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}+\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}+\ldots$

est absolument convergente (sauf dans le cas où l’une des quantités $\mathrm {M} _{n}$ est infinie, c’est-à-dire où $\lambda$ est égal à $\pm q$ à un entier près ; ce cas doit être exclu de la discussion qui va suivre). D’ailleurs, à partir d’un certain rang, tous les termes de cette série seront positifs.

Je dis maintenant que $\mathrm {P} _{n}$ va tendre vers une limite finie et qu’il en sera de même de $\mathrm {Q} _{n}.$

En effet, $\mathrm {P} _{n}$ et $\mathrm {Q} _{n}$ sont définis par les équations de récurrence (5). Déterminons par les mêmes équations deux quantités $\mathrm {R} _{n}$ et $\mathrm {R} _{n}',$ de telle sorte que

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{n}&=\mathrm {R} _{n-1}-\mathrm {R} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},\\\mathrm {R} _{n}'&=\mathrm {R} _{n-1}'-\mathrm {R} _{n-2}'\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}.\end{aligned}}$

Nous pourrons nous donner arbitrairement deux quelconques des quantités $\mathrm {R} _{n}$ et aussi deux quelconques des quantités $\mathrm {R} _{n}'.$

Considérons dans la série (6) les $p$ premiers termes qui suivent le $n$^ième

$\mathrm {M} _{n}\,\mathrm {M} _{n+1}+\mathrm {M} _{n+1}\,\mathrm {M} _{n+2}+\ldots +\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.$

Soit $\mathrm {S} _{n.p}$ la somme de ces $p$ termes, nous pourrons toujours prendre $n$ assez grand pour que $\mathrm {S} _{n.p}$ soit positif et plus petit que 1.

Considérons alors l’équation de récurrence

$\mathrm {R} _{n+p}=\mathrm {R} _{n+p-1}-\mathrm {R} _{n+p-2}\,\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.$

Cette équation montre que, si l’on a

${\begin{aligned}1>\mathrm {R} _{n+p-1}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-1}),\\1>\mathrm {R} _{n+p-2}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-2})>0,\end{aligned}}$

on aura également

(7)

$1>\mathrm {R} _{n+p}>(1-\mathrm {S} _{n.p}).$

Il suffit donc que l’on choisisse $\mathrm {R} _{n+1}$ et $\mathrm {R} _{n+2}$ de façon à satisfaire à l’inégalité (7) pour que tous les termes $\mathrm {R} _{n+p}$ y satisfassent. $\mathrm {R} _{n+p}$ est donc toujours plus grand que $1-\mathrm {S} _{n.p},$ et, par conséquent, positif. De plus, l’équation de récurrence montre que $\mathrm {R} _{n+p}$ va constamment en décroissant quand l’indice $n+p$ croît. Donc $\mathrm {R} _{n+p}$ tend vers une limite finie et déterminée. Choisissons donc $\mathrm {R} _{n+1}$ et $\mathrm {R} _{n+2},$ $\mathrm {R} _{n+1}'$ et $\mathrm {R} _{n+2}'$ de façon à satisfaire aux inégalités (7) et de façon que le déterminant

$\mathrm {R} _{n+1}\,\mathrm {R} _{n+2}'-\mathrm {R} _{n+2}\,\mathrm {R} _{n+1}'$

ne soit pas nul.

Alors $\mathrm {R} _{n+p}$ et $\mathrm {R} _{n+p}'$ tendront vers deux limites finies, déterminées et différentes de 0, $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '.$

Comme $\mathrm {P} _{n}$ et $\mathrm {Q} _{n}$ satisfont aux mêmes relations de récurrence que $\mathrm {R} _{n}$ et $\mathrm {R} _{n}'$ et que ces relations sont linéaires, nous aurons

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} _{n}&=\mu &&\mathrm {R} _{n}+\mu '&&\mathrm {R} _{n}',\\\mathrm {P} _{n}&=\mu _{1}&&\mathrm {R} _{n}+\mu _{1}'&&\mathrm {R} _{n}',\end{alignedat}}$

$\mu ,\,\mu ',\,\mu _{1},\,\mu _{1}'$ étant des coefficients constants et la limite de notre fraction continue sera

${\frac {\mu \mathrm {R} +\mu '\mathrm {R} '}{\mu _{1}\mathrm {R} +\mu _{1}'\mathrm {R} '}}\cdot$

Pour certaines valeurs de $q_{1},\,q$ et $\lambda ,$ par conséquent, pour certaines valeurs des coefficients $\mu ,$ il peut arriver que cette fraction soit nulle ou infinie ; mais elle ne se présentera jamais sous la forme indéterminée ${\tfrac {0}{0}}\cdot$

Dans le cas où $q=\pm (\lambda +2n),$ et où, par conséquent, $\mathrm {M} _{n}=\infty ,$ il n’y a presque rien à changer à ce qui précède. Si, par exemple, on avait $\mathrm {M} _{2}=\infty ,$ notre fraction continue deviendrait

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{1+{\dfrac {\dfrac {\mathrm {M} _{1}}{\mathrm {M} _{3}}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}$

La limite de notre fraction continue étant une fonction de $\lambda ,$ nous pouvons l’appeler $\psi (\lambda )$ et écrire

$\alpha _{1}=\psi (\lambda ).$

On trouverait de même

${\begin{aligned}\alpha _{-1}&=\psi (-\lambda ),&\alpha _{2}&=\psi (\lambda +2),&\alpha _{3}&=\psi (\lambda +4),&\alpha _{n}&=\psi (\lambda +2n-2),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha _{-2}&=\psi (2-\lambda ),&\alpha _{-n}&=\psi (2n-2-\lambda ),\end{aligned}}$

ce qui met en évidence la propriété caractéristique de la fonction $\psi (\lambda ),$ à savoir que

$\psi (\lambda )+{\frac {1}{\psi (\lambda -2)}}={\frac {2(q^{2}-\lambda ^{2})}{q_{1}}}\cdot$

Quand on a calculé $\psi (\lambda )$ et $\psi (-\lambda ),$ il est facile de calculer tous les rapports $\alpha _{n}$ et $\alpha _{-n}.$ Si alors on avait la valeur de $\mathrm {B} _{0},$ on en déduirait facilement celle de tous les coefficients $\mathrm {B} _{n}.$ Or il est évident que $\mathrm {B} _{0}$ satisfera à l’équation

$\mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {\mathrm {B} _{0}q_{1}}{2}}\left[\psi (\lambda )+\psi (-\lambda )\right]+\beta ,$

ce qui détermine $\mathrm {B} _{0}.$

Pour $\lambda =h,$ $\mathrm {B} _{n}$ doit se réduire à $\mathrm {A} _{n}$ et $\beta$ à 0 ; d’où l’équation suivante qui détermine $h$

$q^{2}-h^{2}={\frac {q_{1}}{2}}\left[\psi (h)+\psi (-h)\right].$

Une fois $h$ déterminé (et cela se fera en général plus aisément par l’une des méthodes exposées plus haut), on calculerait comme nous venons de l’expliquer les $\alpha _{n}$ et les $\mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}.$

Méthode de M. Hill.

185.Reprenons les équations (1), (2), (3), (4) et (4 bis) du numéro précédent ; ces équations sont linéaires et, bien qu’elles soient en nombre infini, M. Hill a eu la hardiesse de les traiter par les procédés ordinaires de résolution des équations linéaires en nombre fini, c’est-à-dire par les déterminants.

Cette hardiesse est-elle justifiée ? C’est ce que j’ai essayé de faire voir dans une discussion que j’ai publiée dans le Tome XIV du Bulletin de la Société mathématique de France et dont je vais rappeler ici les principaux résultats.

Considérons un Tableau à double entrée, indéfini,

(5)

$\left\{{\begin{array}{ccccccc}1&a_{21}&a_{31}&a_{41}&\ldots \ldots &a_{n1}&\ldots \ldots ,\\a_{12}&1&a_{32}&a_{42}&\ldots \ldots &a_{n2}&\ldots \ldots ,\\a_{13}&a_{23}&1&a_{43}&\ldots \ldots &a_{n3}&\ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots ,\\a_{1n}&a_{2n}&\ldots &\ldots &a_{n-1,n}&1&a_{n+1,n},\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots ,\\\end{array}}\right.$

Dans ce Tableau les termes de la diagonale principale sont tous égaux à 1.

Soit $\Delta _{n}$ le déterminant formé en prenant les $n$ premières lignes et les $n$ premières colonnes du Tableau (5). Je dirai que le Tableau (5) est un déterminant d’ordre infini et que ce déterminant convergé si $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée $\Delta$ quand $n$ croît indéfiniment.

Pour nous rendre compte des conditions de convergence d 'un déterminant, appuyons-nous sur le mode suivant de génération, qui n’est autre que celui qui est connu sous le nom de clefs algébriques.

Soit à développer le déterminant

$\mathrm {D} =\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right|$

Développons le produit

${\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}a_{pn}\right),$

puis affectons chacun des termes du produit développé, suivant les cas, de l’un des coefficients $+1,$ $-1$ ou $0\,;$ nous obtiendrons ainsi $\mathrm {D} .$

Il est aisé d’en déduire l’inégalité suivante : formons le produit

$\Pi ={\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}|a_{pn}|\right),$

on aura

(6)

$|\mathrm {D} |<\Pi .$

Supposons maintenant qu’on remplace dans le déterminant $\mathrm {D}$ un certain nombre d’éléments par zéro, le déterminant $\mathrm {D}$ deviendra $\mathrm {D} '$ et $\Pi$ deviendra $\Pi '\,;$ un certain nombre de termes s’annuleront dans le développement de $\Pi ,$ et les termes correspondants s’annuleront aussi dans le développement de $\mathrm {D} .$ On aura alors

(7)

$|\mathrm {D} -\mathrm {D} '|<\Pi -\Pi '.$

Telles sont les deux inégalités très simples qui vont nous servir de point de départ.

Pour que le déterminant $\Delta$ d’ordre infini converge, il suffit que le produit $\Pi$ correspondant, qui s’écrit

(8)

$\left\{{\begin{aligned}(1+|a_{21}|+|a_{31}|&+\ldots +|a_{n1}|+\ldots )(1+|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{n2}|+\ldots )\\(1+|a_{13}|+|a_{23}|&+\ldots +)\ldots \end{aligned}}\right.$

converge lui-même ou, d’après un théorème bien connu, que la série

$|a_{21}|+|a_{31}|+|a_{41}|+\ldots +|a_{n1}|+\ldots +|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{13}|+\ldots$

converge elle-même.

En effet, soient $\Delta _{n}$ et $\Delta _{n+p}$ les déterminants obtenus en prenant dans le Tableau (5) les $n$ premières, puis les $n+p$ premières lignes et colonnes. Soient $\Pi _{n}$ et $\Pi _{n+p}$ les valeurs correspondantes du produit $\Pi$ défini plus haut.

Comme dans le Tableau (5) les termes de la diagonale principale sont égaux à 1, on passera de $\Delta _{n+p}$ à $\Delta _{n}$ en annulant un certain nombre des éléments de ce déterminant $\Delta _{n+p}:$ on aura donc

$\left|\Delta _{n+p}-\Delta _{n}\right|<\Pi _{n+p}-\Pi _{n}.$

Mais, si le produit (8) converge, le second membre de cette inégalité tend vers zéro quand $n$ et $p$ croissent indéfiniment. Il en est donc de même du premier membre, ce qui prouve que $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée.C.Q.F.D.

Donc, pour que le déterminant $\Delta$ converge, il suffit que la série obtenue en prenant dans ce déterminant tous les éléments qui n’appartiennent pas à la diagonale principale converge absolument.

Je vais faire voir maintenant que le déterminant converge absolument, c’est-à-dire qu’on peut modifier l’ordre des colonnes ou des lignes sans changer la valeur limite du déterminant.

Soient en effet deux Tableaux analogues à (5) et ne différant que par l’ordre des colonnes et des lignes. Je supposerai toutefois que, dans l’un comme dans l’autre Tableau, les éléments égaux à 1 occupent la diagonale principale. Soit $\Delta _{n}$ le déterminant obtenu en prenant les $n$ premières lignes et colonnes du premier Tableau. Soit $\Delta _{p}'$ le déterminant obtenu en prenant les $p$ premières lignes et colonnes du second Tableau, $p$ étant assez grand pour que tous les éléments de $\Delta _{n}$ se retrouvent dans $\Delta _{p}'.$ Soient $\Pi _{n}$ et $\Pi _{p}'$ les produits $\Pi$ correspondant à $\Delta _{n}$ et $\Delta _{p}'.$ On passera de $\Delta _{p}'$ à $\Delta _{n}$ en annulant dans $\Delta _{p}'$ un certain nombre d’éléments. Je puis donc écrire

$\left|\Delta _{p}'-\Delta _{n}\right|<\Pi _{p}'-\Pi _{n}.$

Mais, le produit (8) étant absolument convergent, on aura

$\lim \Pi _{p}'=\lim \Pi _{n}\qquad (n,p=\infty )$

On aura donc aussi

$\lim \Delta _{p}'=\lim \Delta _{n}$C.Q.F.D.

Imaginons maintenant que le Tableau (5) soit indéfini dans les deux sens, de sorte que les colonnes et les lignes soient numérotées depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty .$

Le terme qui appartiendra à la fois à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p$ s’appellera $a_{np}.$ D’ailleurs $n$ et $p$ pourront prendre toutes les valeurs entières positives ou négatives, y compris la valeur zéro.

Nous appellerons $\Delta _{n}$ le déterminant formé en prenant les $2n+1$ lignes numérotées $-n,$ $-n+1,$ $-n+2,\,\ldots ,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1,$ $n$ et les $2n+1$ colonnes portant les mêmes numéros. Le déterminant d’ordre infini convergera si $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée.

Nous supposerons toujours que les termes de la diagonale principale sont égaux à 1, c’est-à-dire que $a_{nn}=1.$

Alors, en raisonnant tout à fait comme plus haut, on trouverait que le déterminant converge absolument pourvu que la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\quad (n\gtrless p\,;\,n,\,p\;$ variant de $\;-\infty \;$à$\;+\infty )$

soit convergente.

Supposons maintenant que dans notre Tableau à double entrée, c’est-à-dire d’après la définition qui précède, dans notre déterminant d’ordre infini, on remplace tous les éléments d’une certaine ligne par une suite de quantités

$\ldots ,\quad x_{-n},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad \ldots ,$

qui soient toutes plus petites en valeur absolue qu’un certain nombre positif $k.$ Je dis que le déterminant restera convergent si la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)$

converge.

En effet, prenons, comme il a été dit plus haut, $2n+1$ lignes et $2n+1$ colonnes dans le Tableau à double entrée, de façon à former le déterminant $\Delta _{n}.$ Supposons que l’on fasse la somme des valeurs absolues des éléments de chaque ligne, en exceptant la ligne dont les éléments ont été remplacés par des quantités $x.$ Faisons ensuite le produit $\Pi _{n}$ des $2n$ sommes ainsi obtenues. Un terme quelconque du déterminant $\Delta _{n}$ sera un terme du produit $\Pi _{n}$ multiplié par une des quantités $x$ ou par cette quantité changée de signe. Donc, d’après l’hypothèse

$|x_{i}|<k,$

on devra avoir

$|\Delta _{n}|<k\,\Pi _{n}.$

Si l’on annule quelques-uns des éléments de $\Delta _{n}$ ce déterminant devient $\Delta _{n}'$ et le produit $\Pi _{n}$ devient $\Pi _{n}'.$ Quelques-uns des termes du produit $\Pi _{n}$ s’annulent et les termes correspondants de $\Delta _{n}$ s’annulent également. On a donc

$\left|\Delta _{n}'-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n}-\Pi _{n}'\right).$

Observons maintenant que, pour passer du déterminant $\Delta _{n+p}$ au déterminant $\Delta _{n}$ il suffit d’y annuler certains éléments ; nous trouverons

$\left|\Delta _{n+p}-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n+p}-\Pi _{n}\right)$

et nous en déduirons, comme précédemment, que $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée, pourvu qu’il en soit ainsi de $\Pi _{n},$ et c’est précisément ce qui arrive quand la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)$

converge.

186.Appliquons ces principes au cas particulier qui a été traité par M. Hill dans son Mémoire sur le mouvement du périgée de la Lune (Acta math., t. VIII).

Reprenons les équations (2) du n^o 184

(2)

$\mathrm {A} _{n}\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}).$

Nous avons une infinité d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. Pour avoir le droit de les traiter d’après les règles ordinaires du calcul et de calculer leur déterminant je veux d’abord que la diagonale principale ait tous ses éléments égaux à 1 et j’écris, par conséquent, cette équation sous la forme

(2 bis)

$\mathrm {A} _{n}-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\left(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}\right)=0.$

On aura donc, en appelant encore $a_{n.p}$ l’élément du déterminant qui appartient à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p$

${\begin{aligned}a_{nn}&=1;&a_{n.n-1}&=a_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\,;\\[0.5ex]&&a_{n.p}&=0\quad \left({\begin{array}{r}p<n-1\\\mathrm {ou} \;p>n+1\end{array}}\right).\end{aligned}}$

Pour que le déterminant converge, il suffit donc que la série

$\sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }\left|{\frac {_{1}}{q^{2}-(h+2n)^{2}}}\right|$

converge, condition qui est évidemment remplie.

Ce déterminant est évidemment une fonction de $h$ que j’appellerai avec M. Hill $\square \,(h).$

Alors $h$ sera déterminé par l’équation

(3)

$\square \,(h)=0$

sur laquelle nous allons revenir.

Supposons ensuite que dans ce déterminant nous remplacions les éléments de la ligne numérotée zéro par des indéterminées $x,$ que nous remplacions par conséquent

$\ldots ,\quad a_{0.-p}=0,\quad \ldots ,\quad a_{0.-1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad a_{0.0}=1,$

$a_{0.1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad \ldots ,\quad a_{0.p}=0,\quad \ldots$

respectivement par

$\ldots ,\quad x_{-p},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad \ldots$

D’après ce qui précède, le déterminant $\Delta$ ainsi obtenu convergera encore pourvu que les quantités $|x|$ soient plus petites qu’un nombre donné $k.$ Il sera une fonction linéaire des $x$ et pourra s’écrire

$\Delta =\ldots +\mathrm {A} _{-p}x_{-p}+\ldots +\mathrm {A} _{0}x_{0}+\ldots +\mathrm {A} _{p}x_{p}+\ldots$

On obtiendra d’ailleurs évidemment $\mathrm {A} _{p}$ en donnant à $x_{p}$ la valeur 1 et aux autres indéterminées $x$ la valeur zéro.

Je dis que les quantités $\mathrm {A} _{n},$ ainsi définies, satisfont aux équations (2). Si nous donnons, en effet, à $x_{p}$ la valeur $a_{n.p},$ c’est-à-dire la valeur

$0,\quad {\frac {-q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\quad$ ou$1.$

selon que

$|n-p|>1,\quad |n-p|=1\quad$ ou que $\quad n=p,$

notre déterminant deviendra

$\mathrm {A} _{n}-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\left(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}\right)$

et il devra être nul, car il y a deux lignes identiques ; l’équation (2 bis) sera donc satisfaite.

Il y a exception pour $n=0\,;$ car le déterminant n’a plus alors deux lignes identiques ; mais il est encore nul, parce qu’il se réduit alors à $\square \,(h)$ qui est nul en vertu de l’équation (3).

Enfin la série

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{p}e^{(2p+h)it}$

converge ; car on l’obtient en faisant dans $\Delta$

$x_{p}=e^{(2p+h)it},$

et la valeur absolue de $x_{p}$ est alors limitée, ce qui est, comme nous l’avons vu, une condition suffisante de la convergence de Δ.

Application du théorème de M. Hadamard.

187.Il nous reste à étudier l’équation

(3)

$\square \,(h)=0.$

Pour cela, il nous faut d’abord définir le déterminant que M. Hill appelle $\nabla (h).$

Pour cela, reprenons notre déterminant $\square \,(h)$ et multiplions la ligne numérotée zéro par

$q^{2}-h^{2}$

et la ligne numérotée $n\;(n\gtrless 0)$ par

${\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot$

Je dis que le déterminant $\nabla (h),$ ainsi obtenu, sera encore convergent ; et, en effet, si nous nous rappelons la définition donnée plus haut de la limite d’un déterminant indéfini dans les deux sens, nous verrons que

$\nabla (h)=\square \,(h)(q^{2}-h^{2})\Pi ,$

$\Pi$ étant la limite vers laquelle tend le produit des $2m$ facteurs

${\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}},$

où $n=\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,\,\pm m$ quand $m$ croît indéfiniment : $\Pi$ est donc la limite du produit infini

$\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+{\frac {h^{2}-q^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {h^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(h^{2}-q^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],$

lequel est évidemment convergent. Donc $\nabla (h)$ converge.

Appelons $b_{n.p}$ celui des éléments de ce déterminant qui appartient à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p.$ Nous aurons

${\begin{aligned}b_{0.0}=q^{2}-h^{2}&,&b_{n.n}&={\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\\b_{0.1}=b_{0.-1}=-{\frac {q_{1}}{2}}&,&b_{n.n+1}&=b_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{8n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\end{aligned}}$

$b_{n.p}=0\quad (|n-p|>1).$

Nous allons remplacer dans $\nabla (h)\;h$ par $x$ et étudier les propriétés de la fonction $\nabla (x)$ ainsi définie.

Je dis d’abord que c’est une fonction entière.

En effet, on aura évidemment, en remplaçant $h$ par $x,$

${\begin{aligned}|b_{0.0}|&<q^{2}+x^{2},&|b_{n.n}|&<{\frac {q^{2}-(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Par conséquent, d’après l’inégalité (6) du n^o 185, on aura

(4)

$\nabla (x)<(q^{2}+x^{2}+|q_{1}|)\Pi \left[{\frac {q^{2}+|q_{1}|+(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\right]\cdot$

Or, en posant, pour abréger, $q^{2}+|q_{1}|=\lambda ,$ et associant les facteurs du produit qui correspondent à des valeurs de $n$ égales et de signe contraire, ce produit infini peut s’écrire

$\Pi \left[1+{\frac {x^{2}-\lambda ^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(x^{2}-\lambda ^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],$

et il est évidemment convergent et toujours fini. Donc il en est de même de $\nabla (x).$

Dans cette démonstration j’ai supposé $x$ réel ; mais, si $x$ était imaginaire, il n’y aurait rien d’essentiel à y changer ; il suffirait d’écrire

$|q^{2}|+|q_{1}|+|x+20|^{2},$

au lieu de

$q^{2}+|q_{1}|+(x+20)^{2}.$

Donc $\nabla (x)$ est encore fini quelle que soit la valeur imaginaire de $x\,;$ c’est donc une fonction entière.

Si l’on voulait démontrer par le menu que $\nabla (x)$ jouit des autres caractères d’une fonction entière, c’est-à-dire qu’elle est continue et a une dérivée, il suffirait d’observer que le déterminant dont la limite est $\nabla (x)$ converge uniformément.

Appelons, en effet, $\nabla _{n}(x)$ le déterminant formé en prenant dans $\nabla (x)$ les $2n+1$ lignes et les $2n+1$ colonnes numérotées de $-n$ à $+n.$ On aura

$\nabla (x)=\lim \nabla _{n}(x).$

Soit alors dans le plan des $x$ un contour fermé $\mathrm {C}$ quelconque ; soit $z$ un point de ce contour et $x$ un point intérieur à ce contour. Comme $\nabla _{n}(x)$ est un polynôme entier, on aura évidemment

$2i\pi \nabla _{n}(x)=\int {\frac {\nabla _{n}(z)\,dz}{z-x}},$

l’intégrale étant prise bien entendu le long du contour C. La fonction

$2i\pi \varphi (x)=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z-x}}$

sera évidemment une fonction holomorphe de $x\,;$ je dis que $\varphi (x)$ est égal à $\nabla (x).$

En effet, comme il résulte des démonstrations précédentes que la convergence de $\nabla (x)$ est uniforme, nous pourrons prendre $n$ assez grand pour que l’on ait au point $x$ et sur tout le contour $\mathrm {C}$

${\begin{aligned}|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|&<\varepsilon ,&|\nabla (z)-\nabla _{n}(z)|&<\varepsilon \end{aligned}}$

et, par conséquent,

$2i\pi |\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|<\varepsilon \,l,$

$l$ étant la longueur du contour $\mathrm {C}$ divisée par le minimum de $|z-x|.$

Ainsi les différences $|\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|$ et $|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|$ peuvent être rendues aussi petites qu’on le veut, ce qui ne peut avoir lieu que si $\nabla (x)=\varphi (x).$ C. Q. F. D.

Donc $\nabla (x)$ est holomorphe.

Je dis maintenant que $\nabla (x)$ est périodique.

Désignons, en effet, par $\mathrm {E} _{n}(x)$ le déterminant fini obtenu en prenant dans $\nabla (x)$ les $2n+1$ lignes et les $2n+1$ colonnes numérotées de $-n+1$ à $n+1,$ et par $\mathrm {E} _{n}'(x)$ le déterminant obtenu en prenant dans $\square (x)$ les lignes et les colonnes correspondantes.

La démonstration de la convergence d’un déterminant indéfini dans les deux sens a été donnée au n^o 185, quand la diagonale principale a tous ses éléments égaux à 1. Elle ne suppose pas que l’on s’astreigne à prendre autant de lignes dont les numéros sont négatifs que de lignes dont les numéros sont positifs. On aura donc

$\lim \mathrm {E} _{n}'(x)=\square (x)$ pour  $n=\infty .$

D’autre part, il est clair que

$\mathrm {E} _{n}(n)=\mathrm {E} _{n}'(x)(q^{3}-x^{2})\Pi ',$

où $\Pi '$ est le produit des facteurs

(5)

$q^{2}-{\frac {(x+2m)^{2}}{4m^{2}}},$

où $m$ prend les valeurs $\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,$ $\pm (n-1),$ $n$ et $n+1.$

On aura d’ailleurs, ce qui se voit immédiatement en comparant les déterminants,

$\nabla _{n}(x+2)=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{2}\mathrm {E} _{n}(x).$

Nous allons faire tendre $n$ vers l’infini, le premier membre tendra vers $\nabla (x+2)\,;$ quant au second membre, il tendra vers

$\square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi '.$

Nous avons trouvé plus haut

$\nabla (x)=\square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi ,$

$\Pi$ étant le produit des facteurs (5) où l’on donne à $m$ les valeurs $\pm 1,$ $\pm 2,\,\ldots ,$ $\pm n.$

On aura donc

${\frac {\Pi '}{\Pi }}={\frac {q^{2}-{\dfrac {(x+2n+2)^{2}}{4(n+1)^{2}}}}{q^{2}-{\dfrac {(x-2n)^{2}}{4n^{2}}}}},$

d’où

$\lim {\frac {\Pi '}{\pi }}=1,$

d’où enfin

$\nabla (x+2)=\nabla (x)$

C.Q.F.D.

De plus, on a

$\nabla _{n}(-x)=\nabla _{n}(x)$

et, par conséquent,

$\nabla (x)=\nabla (-x).$

Poursuivant l’étude de la fonction entière $\nabla (x),$ je me propose de démontrer qu’elle est de genre zéro, quand on la regarde comme fonction de $x.$ On sait qu’une fonction entière est dite de genre zéro quand elle peut se développer en un produit infini de la forme

$\mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b_{1}}}\right)\left(1-{\frac {x}{b_{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x}{b_{n}}}\right)\ldots .$

Plus généralement on dit qu’une fonction entière est de genre $p$ lorsqu’elle est développable en un produit d’un nombre infini de facteurs primaires de la forme

$\mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b}}\right)e^{\mathrm {P} },$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme d’ordre $p$ en $x.$

Pour démontrer ce point capital, je dois faire usage de certaines inégalités que je vais d’abord établir.

Cherchons une limite supérieure de

$|\nabla (y+ix)|.$

Comme la fonction $\nabla$ est périodique de période 2, j’e pourrai toujours supposer que $y$ est compris entre $-1$ et $+1.$ On aura alors

$\left|q^{2}+q_{1}+(y+ix-2n)^{2}\right|<q^{2}+|q_{1}|+x^{2}+(y-2n)^{2}$

et, par conséquent, en posant comme plus haut,

$\lambda =q^{2}+|q_{1}|,$

il viendra en faisant usage de notre inégalité fondamentale

(α)

$\left|\nabla (y+ix)\right|<\left(\lambda +y^{2}-x^{2}\right)\Pi \left[{\frac {\lambda +x^{2}+(y-2n)^{2}}{4n^{2}}}\right]\cdot$

Le second membre de cette inégalité est une fonction de $x^{2}$ que je désignerai par $\mathrm {F} (x^{2}).$

Posons pour un instant $x^{2}=t^{3}$ et considérons la fonction $\mathrm {F} (t^{3}).$ Il est aisé de voir qu’elle est de genre 1.

En effet, la fonction $\mathrm {F} (x)$ est de genre 0 et peut se mettre sous la forme

$\mathrm {F} (x)=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {x}{b_{n}^{3}}}\right)\cdot$

Je représente par $b_{n}^{3}$ les racines de l’équation $\mathrm {F} (x)=0\,;$ d’où

$\mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)$

ou

$\mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)e^{\frac {1}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}.$

On vérifierait sans peine que les trois produits du second membre sont absolument convergents.

J’ai démontré dans le Bulletin de la Société mathématique de France que, si une fonction $\varphi (x)$ est de genre 1, on aura

$\lim \varphi (x)e^{-\alpha x^{2}}=0,$

si $x$ tend vers l’infini avec un argument déterminé et de telle sorte que $e^{-\alpha x^{2}}$ tende vers zéro.

Si donc $\alpha$ et $t$ sont réels positifs, on aura

$\lim \mathrm {F} (t^{3})e^{-\alpha t^{2}}=0.$

Quand on fera varier $y$ de $-1$ à $+1,$ le premier membre tendra vers sa limite uniformément, d’où cette conséquence ; on pourra trouver deux nombres positifs $\alpha$ et $\mathrm {K}$ tels que

$\left|\nabla (y+ix)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!x^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}},$

en faisant $y+ix=z$ et remarquant que

$|x|<|z|$

il viendra

$\left|\nabla (z)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}.$

Considérons maintenant le développement de $\nabla (z)$

$\nabla (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}z^{n},$

il viendra

$2i\pi \,\mathrm {C} _{n}=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z^{n+1}}},$

l’intégrale étant prise le long d’un cercle de rayon quelconque ayant pour centre l’origine.

On en conclut

$\left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}}{\left|z^{n}\right|}},$

et cela quel que soit $|z|.$ Or le minimum de

$e^{\alpha z^{\frac {4}{3}}}z^{-n}$

est

$e^{\frac {3n}{4}}\left({\frac {3n}{4\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{4}}}$

d’où

$\left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{4}}}{\left({\dfrac {3n}{4\alpha }}\right)^{\frac {3n}{4}}}}\cdot$

Nous observerons que, la fonction $\nabla (z)$ étant paire, les coefficients $\mathrm {C} _{2n+1}$ sont nuls.

Je me propose de démontrer que $\nabla ,$ considéré comme fonction de $\mathrm {Z} ^{2},$ est de genre zéro. En vertu d’un théorème de M. Hadamard (Cf. Comptes rendus, t. CXV, p. 1121), il suffit pour cela d’établir que

$|\mathrm {C} _{2n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n+1)^{-\mu },$

$\mu$ étant plus grand que 1.

Or il vient

$|\mathrm {C} _{2n}|\,\Gamma (n+1)^{+\mu }<\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{2}}\left({\frac {3n}{2\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{2}}}\Gamma (n+1)^{+\mu }.$

Si l’on remplace $\Gamma (n+1)$ par sa valeur approchée, le second membre devient

$\mathrm {K} \,e^{{\frac {3n}{2}}-n\mu }\left({\frac {3}{2\alpha }}\right)^{\frac {3n}{2}}n^{n\mu -{\frac {3n}{2}}}\left(2\pi n\right)^{\frac {\mu }{2}}.$

Il s’agit de démontrer que, pour une valeur de $\mu >1,$ cette expression reste limitée. Or, si

$\mu <{\tfrac {3}{2}},$

elle tend vers zéro, quand $n$ croît indéfiniment.

Il suffira donc de prendre

$1<\mu <{\tfrac {3}{2}}\cdot$

Il résulte de là que la fonction $\nabla (z)$ peut se développer en un produit de la forme

[5]

$\nabla (z)=\mathrm {A} \prod \left(1-{\frac {z^{2}}{b_{n}}}\right)\cdot$

Il reste donc à connaître les zéros de la fonction $\nabla (x)\,;$ d’après la nature même de la question, ces zéros seront

$x=\pm (h+2n),$

$n$ étant un entier. En effet, c’est pour ces valeurs, et pour elles seulement, que les équations (2) et (2 bis) du n^o 186 et par conséquent l’équation (3) du n^o 186 pourront être satisfaites.

Les zéros de $\nabla (x)$ sont donc les mêmes que ceux de

$\cos \pi x-\cos \pi h\,;$

comme ces deux fonctions sont toutes deux développables en produits infinis de la forme (5) et que les facteurs de ces deux produits, sauf la constante $\mathrm {A} ,$ sont les mêmes, les deux fonctions ne pourront différer que par un facteur constant et l’on aura

(6)

$\nabla (x)=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi h).$

Mais $\nabla (x)$ n’est pas seulement fonction de $x,$ c’est une fonction entière de $q^{2}$ et de $q_{1},$ et l’on démontrerait absolument de la même manière que c’est une fonction de genre zéro tant par rapport à $q^{2}$ que par rapport à $q_{1}.$

Il y a plus ; soit, par exemple,

${\begin{aligned}\nabla (x)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}q_{1}^{n},\\\mathrm {A} &={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}'q_{1}^{n},\\\mathrm {A} \cos \pi h&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}''q_{1}^{n},\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {D} _{n}=\mathrm {D} _{n}'\cos \pi x-\mathrm {D} _{n}''.$

On peut démontrer, absolument de la même manière que plus haut, que

$|\mathrm {D} _{n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n)^{-\mu },$

si $\mu$ est compris entre 1 et 3/2. Comme cette inégalité doit avoir lieu quel que soit $x,$ $\mathrm {D} _{n}'$ devra satisfaire à une inégalité de même forme, de sorte que $\mathrm {A}$ sera une fonction de genre zéro par rapport à $q_{1}$ et l’on verrait de la même façon que c’est une fonction de genre zéro par rapport à $q^{2}.$

Mais $\mathrm {A}$ ne peut jamais s’annuler ; car $\nabla (x)$ ne s’annule jamais identiquement (je veux dire quel que soit $x$). Or une fonction de genre zéro qui ne s’annule pas se réduit à une constante.

Donc $\mathrm {A}$ est indépendant à la fois de $q^{2}$ et de $q_{1}.$

Écrivons l’égalité (6) pour mettre en évidence la valeur de $q_{1}$ sous la forme

$\nabla (x,q_{1})=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi h).$

Pour $q_{1}=0,$ $h$ est égal à $q\,;$ il vient donc

$\nabla (x,0)=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi q),$

d’où, en divisant et faisant $x=0,$

${\frac {1-\cos \pi h}{1-\cos \pi q}}={\frac {\nabla (0,q_{1})}{\nabla (0,0)}}={\frac {\square \,(0,q_{1})}{\square \,(0,0)}}$

ou enfin

(7)

$1-\cos \pi h=\square \,(0,q_{1})(1-\cos \pi q),$

car

$\square \,(0,0)=1\,;$

c’est de l’égalité (7) que M. Hill a tiré la valeur de $h.$

Grâce aux considérations qui précèdent, la légitimité de sa méthode est désormais rigoureusement établie.

Remarques diverses.

188.Dans le cas particulier que nous traitons, on pourrait arriver à quelques-uns de ces résultats sans avoir recours au théorème de M. Hadamard.

En effet, observons d’abord que, quand même $q^{2}$ et $q_{1}$ sont imaginaires, l’égalité fondamentale (α) subsiste encore, pourvu que

$\lambda =|q^{2}|+|q_{1}|.$

Si nous nous rappelons alors le développement connu

$\sin \pi x=\pi x{\,\textstyle \prod }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right),$

nous en déduirons

$\cos \pi x-\cos \pi y={\frac {\pi ^{2}}{2\,}}(y^{2}-x^{2}){\,\textstyle \prod }\left[{\frac {(y-2n)^{2}-x^{2}}{4n^{2}}}\right],$

d’où

$\mathrm {F} (x^{2})={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left[\cos \pi {\sqrt {-x^{2}-\lambda }}-\cos \pi y\right].$

L’inégalité (α) est vraie quels que soient $q^{2}$ et $q_{1},$ pourvu que $x$ et $y$ soient réels.

Nous savons maintenant que le rapport

${\frac {\cos ix}{e^{|x|}}}$

tend vers 1/2 quand $x$ croît indéfiniment par valeurs réelles. Il résulte de là qu’on peut trouver une constante numérique $\mathrm {B}$ telle que

$\mathrm {F} (x^{2})<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}}\,;$

on en déduit

$|\nabla (y+ix)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}},$

d’où

$|\nabla (z)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {|z^{2}|+\lambda }}}<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,e^{\pi |z|}.$

Considérons maintenant le rapport

${\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}\cdot$

Le numérateur s’annule toutes les fois que le dénominateur s’annule, et il en résulte que ce rapport est une fonction entière, tant en $z$ qu’en $q^{2}$ et en $q_{1}.$

Comme ce rapport est une fonction périodique de $z,$ nous pouvons toujours supposer que la partie réelle de $z$ reste comprise entre $-1$ et $+1\,;$ faisons donc tendre la partie imaginaire vers l’infini et voyons comment se comporte notre rapport

${\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}={\frac {\nabla (z)}{e^{\pi |z|}}}\,{\boldsymbol {:}}\,{\frac {\cos \pi z-\cos \pi h}{e^{\pi |z|}}}\cdot$

Le premier facteur du second membre reste inférieur en valeur absolue à $\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,;$ le second facteur tend vers 1/2 : notre rapport reste donc fini. C’est donc une fonction entière de $z$ qui reste constamment inférieure à une certaine limite ; cette fonction doit donc d’après un théorème connu se réduire à une constante indépendante de $z.$

Il faut toujours avoir recours au théorème de M. Hadamard pour

démontrer qu’elle est en outre indépendante de $q^{2}$ et de $q_{1}.$

Extension des résultats précédents.

189.Toutes ces méthodes, sauf celle de M. Gyldén, s’appliquent à toute équation de la forme

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\varphi (t)=0,$

où $\varphi (t)$ est une fonction périodique de $t,$ développable par conséquent en série trigonométrique.

Il n’y aurait à faire que des changements de détail que le lecteur pourra faire sans peine s’il veut traiter de cette manière une équation de la forme (1). La plupart des résultats sont encore vrais ; quelques-uns cependant ne le sont que si la fonction $\varphi$ est paire.

M. Gyldén, voulant rendre son procédé applicable à l’équation (1), a imaginé une méthode ingénieuse de tâtonnement sur laquelle je ne juge pas utile d’insister, car il n’a eu que rarement l’occasion d’en faire usage.

Supposons maintenant que la fonction φ(t) ne soit pas périodique, mais soit de la forme

$\varphi (t)=1+\mu \,\psi (t),$

$\mu$ étant un coefficient numérique très petit, et $\psi (t)$ étant la somme de $n$ termes de la forme

$\mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}),$

de sorte que

$\psi (t)=\sum _{i=1}^{i=n}\mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}).$

Les $\mathrm {A} _{i},$ les $\alpha _{i}$ et les $\beta _{i}$ sont des constantes ; mais les $\alpha _{i}$ ne sont pas commensurables entre eux, sans quoi la fonction serait périodique.

Dans ce cas, les procédés précédents sont encore applicables, mais les séries auxquelles on parvient ainsi, et qu’on peut ordonner suivant les puissances de $\mu ,$ ne sont plus convergentes, de sorte que ces procédés n’ont plus d’autre valeur que celle que peut posséder, d’après le Chapitre VIII, toute méthode de calcul formel.

Nous pourrons donc satisfaire formellement à l’équation (1), en faisant

(2)

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+\gamma _{m})t+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{m}\sin(h+\gamma _{m})t.$

Dans cette formule, $h,$ $\mathrm {B} _{m}$ et $\mathrm {C} _{m}$ sont des séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des constantes. Les $\gamma _{m}$ sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers des $\alpha _{i},$ de sorte que

$\gamma _{m}=\mathrm {N} _{1}\alpha _{1}+\mathrm {N} _{2}\alpha _{2}+\ldots +\mathrm {N} _{n}\alpha _{n}$

et les sommations doivent être étendues à toutes les combinaisons des valeurs entières des $\mathrm {N} _{1},$ $\mathrm {N} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {N} _{n}.$

La divergence de la série (2) pourra causer quelque étonnement. Supposons, en effet, que les $\alpha _{i}$ sont de la forme

$\alpha _{i}=m_{i}\lambda +m_{i}',$

les $m_{i}$ et les $m_{i}'$ étant des entiers et une $\lambda$ constante qui est la même pour tous les $\alpha _{i}.$

Faisons varier $\lambda ,$ en conservant à $\mu ,$ aux $\mathrm {A} _{i},$ aux $\beta _{i},$ aux $m_{i}$ et aux $m_{i}'$ des valeurs invariables.

Pour toutes les valeurs commensurables de $\lambda ,$ les $\alpha _{i}$ seront commensurables entre eux et la fonction $\varphi$ sera périodique. Nous savons alors, par le n^o 29, que l’équation (1) admet une solution de la forme (2) et de plus que cette solution n’est pas purement formelle et que les séries sont convergentes.

Comme, dans tout intervalle, il y a une infinité de nombres commensurables, on s’étonnera que les séries auxquelles on parvient, quand $\lambda$ varie dans un intervalle si petit qu’il soit, puissent être ainsi une infinité de fois convergentes et une infinité de fois divergentes.

On comprendra mieux ce fait paradoxal si l’on étudie l’exemple simple qui va suivre.

Soit l’équation du premier ordre

(3)

${\frac {dx}{dt}}=x\,\varphi .$

Je supposerai que $\varphi$ est une série de la forme

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m.n}\mu ^{|m|+|n|}\cos(m\lambda -n)t.$

Les $m$ et les $n$ prennent toutes les valeurs entières possibles, $\lambda$ est une constante, les $\mathrm {A} _{m.n}$ sont des coefficients constants, et $\mu$ est un paramètre très petit, par rapport aux puissances duquel nous développerons.

L’intégration donne alors

(4)

$\log x=\mathrm {A} _{0.0}t+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m.n}\mu ^{|m|+|n|}}{m\lambda -n}}\sin(m\lambda -n)t,$

Cette solution doit être modifiée quand $\lambda$ est commensurable ; soit en effet $\lambda ={\frac {p}{q}},$ $p$ et $q$ étant premiers entre eux, $m\lambda -n$ sera nul quand on aura

${\begin{aligned}m&=hq,&n&=hp,\end{aligned}}$

$h$ étant entier.

Il viendra alors

(5)

$\log x=\mathrm {B} \,t+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m.n}\mu ^{|m|+|n|}}{m\lambda -n}}\sin(m\lambda -n)t,$

où sous le signe ${\textstyle \sum }$ on ne donne à $m$ et à $n$ que les valeurs qui n’annulent pas $m\lambda -n$ et où

$\mathrm {B} =\sum _{h=-\infty }^{h=+\infty }\mathrm {A} _{hq.hp}\,\mu ^{|hq|+|hp|}.$

Si dans les formules (4) et (5) on passe des logarithmes aux nombres, on trouvera dans un cas comme dans l’autre

$x=e^{\mathrm {C} t}\psi (t),$

$\psi (t)$ étant une série ordonnée suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont formés d’un nombre fini de termes en

$\sin(n\lambda -n)t$

ou

$\cos(n\lambda -n)t$

Seulement il y a entre les deux cas deux différences :

1^o Si $\lambda$ est commensurable, la série $\psi (t)$ est convergente ; si au contraire $\lambda$ est incommensurable, la série $\psi (t)$ pourra être divergente et la solution deviendra purement formelle.

2^o La valeur de l’exposant $\mathrm {C}$ n’est pas la même dans les deux cas. Si $\lambda$ est incommensurable, $\mathrm {C}$ est égal à $\mathrm {A} _{0.0},$ si $\lambda$ est commensurable, $\mathrm {C}$ est égal à $\mathrm {B} .$ Donc $\mathrm {C}$ n’est pas une fonction continue de $\lambda .$

Il doit en être de même de $h$ dans le cas de l’équation (1) et c’est ce qui nous explique pourquoi dans ce genre de questions il n’est pas permis de raisonner par continuité.