Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.18

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 281-314).

CHAPITRE XVIII.

CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

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Équations à second membre.

190.Nous avons vu au n^o 177 que l’équation (6 b) du n^o 169 pouvait, par un changement convenable de variables, être ramenée à la forme

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\varphi (t).$

Dans cette expression, $\varphi (t)$ est une fonction connue de $t$ et cette expression est une somme de termes de la forme

$\beta \cos \lambda t$ ou $\beta \sin \lambda t.$

Dans le Chapitre précédent, nous avons appris à intégrer l’équation sans second membre, c’est-à-dire l’équation (1) où l’on a fait $\varphi (t)=0,$ et nous savons, d’autre part, que l’intégration d’une équation linéaire à second membre peut toujours se ramener à celle de l’équation privée de second membre.

La question est donc résolue ; nous avons même au n^o 184 envisagé l’équation (1) en y faisant

$\varphi (t)=\beta \cos \lambda t,$

et nous avons vu qu’on y pouvait satisfaire en y faisant

(2)

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t,$

et que les $\mathrm {B} _{n}$ étaient définis par les relations (4) et (4 bis) du n^o 184.

De même, si nous faisons

$\varphi (t)=\beta \sin \lambda t,$

on satisfera à l’équation (1) en faisant

(2 bis )

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\sin(\lambda +2n)t,$

pourvu que les $\mathrm {B} _{n}$ soient encore définis par les relations (4) et (4 bis).

Il est clair alors que, si $\varphi (t)$ est une somme de termes de la forme $\beta \cos \lambda t$ et $\beta \sin \lambda t,$ on aura une solution particulière de l’équation (1) qui sera une somme de termes de la forme

$\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t$ ou $\mathrm {B} _{n}\sin(\lambda +2n)t,$

et l’on obtiendra la solution générale en ajoutant à cette solution particulière la solution générale de l’équation sans second membre.

Il y aurait exception dans le cas où l’un des coefficients $\mathrm {B} _{n},$ définis par les équations (4) et (4 bis) du n^o 184, serait infini ; c’est ce qui arrive, comme il est aisé de le voir, si λ est égal à $h+2n,$ $n$ étant un entier.

Dans ce cas, on peut toujours intégrer l’équation (1), mais le temps $t$ sort des signes sinus et cosinus, de sorte que la solution ne conserve pas sa forme purement trigonométrique.

Si l’on suppose, par exemple,

$\varphi (t)=\beta \cos ht,$

la solution générale sera de la forme

${\begin{aligned}x&=t\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t+{\textstyle \sum }\,(\mathrm {B} _{n}+\mathrm {C} _{1}\mathrm {A} _{n})\cos(h+2n)t\\&+\mathrm {C} _{2}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t.\end{aligned}}$

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la solution conserve sa forme trigonométrique, c’est qu’aucun des $\lambda$ correspondant aux divers termes de $\varphi (t)$ ne soit égal à $h+2n.$

Si maintenant $\lambda ,$ sans être rigoureusement égal à $h+2n,$ était très voisin de $h+2n,$ l’un des $\mathrm {B} _{n},$ sans être infini, deviendrait très grand.

Cela n’aurait pas d’inconvénient si l’équation (1), c’est-à-dire l’équation (6 b) du n^o 169, était rigoureusement exacte ; mais il n’en est pas ainsi : elle n’est qu’approchée, ainsi que nous l’avons vu au Chapitre XVI, et, pour qu’elle soit suffisamment approchée, Il faut que $\rho ,$ que nous appelons ici $x,$ reste toujours très petit.

Si donc l’un des coefficients $\mathrm {B} _{n}$ était très grand, $x$ ne resterait pas très petit ; les termes négligés pourraient devenir assez grands pour que la méthode d’approximation devînt illusoire.

On doit donc éviter qu’à aucun moment, dans la suite des approximations, on ne voie apparaître dans le second membre de (1) des termes dont l’argument $\lambda t$ soit très peu différent de $(h+2n)t.$

Considérons d’une manière plus générale l’équation

(5)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=\varphi (t),$

où $f(t)$ et $\varphi (t)$ sont des fonctions de $t$ développables en séries trigonométriques.

Soit $\beta \cos \lambda t$ ou $\beta \sin \lambda t$ un terme de $\varphi (t),$ soit $\alpha \cos \mu t$ ou $\alpha \sin \mu t$ un terme de $f(t).$

Considérons l’équation sans second membre

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=0.$

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ deux solutions indépendantes de cette équation, $x_{1}'$ et $x_{2}'$ leurs dérivées par rapport à $t\,;$ on aura

$x_{1}x_{2}'-x_{2}x_{1}'=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1.

La solution générale de l’équation à second membre sera alors

(6)

$x=-x_{1}\int x_{2}\varphi (t)\,dt+x_{1}\int x_{1}\varphi (t)\,dt.$

D’après le n^o 188, $x_{1}$ et $x_{2}$ sont une somme de termes de la forme

$\mathrm {A} {\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}\left(h+\gamma \right)t,$

$h$ étant une constante, qui est la même pour tous les termes, et $\gamma$ étant une combinaison linéaire à coefficients entiers des coefficients $\mu .$

Quelle est maintenant la condition pour que l’expression (6) conserve sa forme trigonométrique ? Il suffit que, $x_{1}\varphi (t)$ et $x_{2}\varphi (t)$ supposés développés en séries trigonométriques, il n’y ait pas de terme tout connu ;

Ou bien encore que le développement de $x_{1}$ ou de $x_{2}$ ne contienne pas de terme ayant même argument que l’un des termes de $\varphi (t)\,;$

Ou enfin que $\lambda t$ étant l’un quelconque des arguments des termes de $\varphi (t),$ $\lambda -h$ ne soit pas une combinaison linéaire des $\mu$ à coefficients entiers.

Si, en particulier, la fonction $f(t)$ est périodique de façon que

$\mu =n\alpha ,$

$n$ étant entier, le rapport ${\frac {\lambda -h}{\alpha }}$ ne devra pas être entier.

Si $f(t)$ est une fonction périodique de deux arguments $\alpha t$ et $\beta t,$ de telle façon que

$\mu =m\alpha +n\beta ,$

$m$ et $n$ étant entiers, on ne devra pas avoir de relations de la forme

$\lambda -h=m\alpha +n\beta .$

Ces conditions sont suffisantes, mais elles ne sont pas nécessaires ; si, en effet, un terme de $x_{1}$ et un terme de $\varphi (t)$ ont même argument, leur produit donnera dans le développement de $x_{1}\varphi (t)$ un terme tout connu. Nous obtiendrons donc ainsi autant de termes tout connus dans le produit $x_{1}\varphi (t)$ qu’il y a dans les deux facteurs de couples de termes ayant même argument. Mais il peut se faire que ces termes se détruisent mutuellement.

La condition nécessaire et suffisante est donc que le terme tout connu de $x_{1}\varphi (t)$ et celui de $x_{2}\varphi (t)$ soient nuls.

Équation de l’évection.

191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha \,\varphi (x,t).$

$\alpha$ est un coefficient très petit, $\varphi (x,t)$ est une fonction connue de $x$ et de $t$ dont les termes sont tous de la forme

$\mathrm {A} \,x^{p}\cos \lambda t+\mu ,$

$p$ est un entier, $\mathrm {A} ,\,\lambda$ et $\mu$ sont des constantes quelconques.

Je vais écrire cette équation sous la forme

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta +(-q_{1}+\gamma )\cos 2t\right]=\beta x+\gamma x\cos 2t+\alpha \varphi ,$

$\beta$ et $\gamma$ étant des constantes très petites dont je me réserve de déterminer plus loin la valeur en la modifiant à chaque approximation.

Comme première approximation je ferai

${\begin{aligned}\beta &=\gamma =0,&\varphi &=\varphi (0,t).\end{aligned}}$

J’obtiendrai ainsi une équation de même forme que l’équation (1) du numéro précédent et elle me donnera une première valeur approchée de $x$ que j’appellerai $\xi _{1}\,;$ je désignerai par $h_{1}$ la valeur correspondante du nombre $h.$

La fonction $\xi _{1}$ conservera sa forme trigonométrique et ne contiendra pas de terme séculaire, parce qu’en général aucune des différences ${\frac {\lambda -h_{1}}{2}}$ ne sera entière.

Pour la seconde approximation il faut faire

$\varphi =\varphi (\xi _{1},t).$

Mais si l’on conservait à $\beta$ et à $\gamma$ la valeur zéro, les développements de $x_{1}\varphi$ et de $x_{2}\varphi$ contiendraient des termes tout connus et le temps sortirait, d’après ce que nous avons vu plus haut, des signes trigonométriques.

Il convient donc d’attribuer à $\beta$ et à $\gamma$ de nouvelles valeurs $\beta _{2}$ et $\gamma _{2}$ que nous choisirons de telle sorte que l’intégrale générale de l’équation

(2 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+x\left[q^{2}+\beta +(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]\\&=\beta _{2}\xi _{1}+\gamma _{2}\xi _{1}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{1},t)=\psi _{1}\end{aligned}}$

ne contienne pas de termes séculaires. Nous savons quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi. Soient $x_{1}^{(1)}$ et $x_{2}^{(1)}$ deux intégrales indépendantes de l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.$

Il faut que les développements de $x_{1}^{(1)}\psi _{1}$ et de $x_{2}^{(1)}\psi _{1}$ ne contienne pas de terme tout connu. Il est clair que l’on peut toujours disposer de $\beta _{2}$ et de $\gamma _{2}$ pour qu’il en soit ainsi.

Cela posé, envisageons l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=0.$

Soient $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ deux intégrales de cette équation et $h_{2}$ la valeur correspondante du nombre $h\,;$ $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ seront alors développés suivant les cosinus et les sinus de $(h_{2}+2n)t,$ $n$ étant un entier.

Observons maintenant que $\xi _{1}$ contient des termes de deux sortes. Ceux de la première sorte dépendent des sinus et des cosinus de

$(h_{1}+2n)t\,;$

ceux de la seconde sorte dépendent des sinus et des cosinus de

$(\lambda +2n)t,$

$\lambda t$ étant un des arguments dont dépend $\varphi .$

Soit alors $\xi _{1}'$ ce que devient $\xi _{1}$ quand on y remplace $h_{1}$ par $h_{2}$ dans les termes de la première sorte ; et soit $\psi _{1}'$ ce que devient $\psi _{1}$ quand on y remplace $\xi _{1}$ par $\xi _{1}'.$

Au lieu de l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1},$

qu’il pourrait paraître naturel d’envisager, puisqu’elle s’obtient en faisant dans les deux membres de (2)

${\begin{aligned}\beta &=\beta _{2},&\gamma &=\gamma _{2}\end{aligned}}$

et dans le second membre

$x=\xi _{1}\,;$

au lieu de cette équation, dis-je, nous envisagerons la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1}'.$

En effet $h_{2}$ diffère très peu de $h_{1},$ de sorte que la différence $\psi _{1}-\psi _{1}'$ est bien de l’ordre des termes que nous négligeons. Considérons une solution quelconque de cette équation (3). Comme $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ diffèrent peu de $x_{1}^{(1)}$ et $x_{2}^{(1)}$ et $\psi _{1}'$ de $\psi _{1},$ les termes tout connus de

$x_{1}^{(2)}\psi _{1}'$et$x_{2}^{(2)}\psi _{1}'$

différeront peu de ceux de

$x_{1}^{(1)}\psi _{1}$et$x_{2}^{(2)}\psi _{1},$

qui sont nuls ; ils seront donc très petits ; donc, dans la solution envisagée de l’équation (3), les termes séculaires seront très petits et nous pourrons les négliger ; j’appellerai alors $\xi _{2},$ non pas la solution de l’équation (3) elle-même, mais ce que devient cette solution quand on en a retranché ces termes séculaires.

Soit alors

$\psi _{2}=\beta _{2}\xi _{2}+\gamma _{3}\xi _{2}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{2},t).$

Nous déterminerons β₂ et γ₃ de telle façon que les termes tout connus de

$x_{1}^{(2)}\psi _{2}$et$x_{2}^{(2)}\psi _{2}$

soient nuls.

Formons maintenant l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=0.$

Soient $x_{1}^{(3)}$ et $x_{2}^{(3)}$ deux solutions de cette équation et $h_{3}$ la valeur correspondante de $h.$

Soit $\xi _{2}'$ ce que devient $\xi _{2}$ quand on y remplace $h_{2}$ par $h_{3},$ c’est-à-dire que $\xi _{2}'$ est déduit de $\xi _{2}$ comme $\xi _{1}'$ de $\xi _{1}.$ Soit $\psi _{2}'$ ce que devient $\psi _{2}$ quand on y remplace $\xi _{2}$ par $\xi _{2}'.$

Envisageons l’équation

(4)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=\psi _{2}',$

et soit $\xi _{3}$ ce que devient une des solutions de cette équation quand on en retranche les termes séculaires, de telle sorte que $\xi _{3}$ se déduise d’une solution de (4) par la même loi que $\xi _{2}$ d’une solution de (3).

Il est aisé de voir en effet que ces termes séculaires sont du même ordre que ceux que nous avons négligés dans cette troisième approximation.

Ayant ainsi défini $\xi _{3},$ on procéderait d’après la même règle aux approximations suivantes.

Il me reste quelques observations à faire.

Pour former l’équation (3), nous avons remplacé plus haut dans $\xi _{1}$ et dans $\psi _{1}$ le coefficient $h_{1}$ par $h_{2},$ c’est-à-dire que nous avons remplacé $\xi _{1}$ et $\psi _{1}$ par $\xi _{1}'$ et $\psi _{1}'\,;$ et de même aux approximations suivantes.

Si nous ne l’avions pas fait, nous aurions introduit un beaucoup plus grand nombre d’arguments qu’il n’est nécessaire, ce qui aurait été un très grave inconvénient.

Mais en revanche il semble d’abord que nous aurions ainsi évité complètement les termes séculaires ; en effet, $\psi _{1}$ contiendrait des termes d’argument $(h_{1}+2n)t,$ $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ des termes d’argument $(h_{2}+2n)t,$ de sorte que les produits $x_{1}^{(2)}\psi _{1},$ $x_{2}^{(2)}\psi _{1}$ ne contiendraient plus de termes tous connus, mais seulement des termes en

$\cos(h_{1}-h_{2})t,\quad \sin(h_{1}-h_{2})t.$

Mais ce serait là une illusion ; car, la différence $h_{1}-h_{2}$ étant très petite, ces termes sont à très longue période ; l’intégration introduirait de très petits diviseurs et la convergence des approximations deviendrait illusoire.

D’autre part, il semble que le succès de la méthode tient à la circonstance suivante. À chaque approximation nous avons deux conditions à remplir, puisque nous devons annuler les termes tout connus de

$x_{1}^{(i+1)}\psi _{i}',x_{2}^{(i+1)}\psi _{i}'\,;$

et nous disposons précisément de deux arbitraires $\beta _{i+1}$ et $\gamma _{i+1}.$

On pourrait être tenté de croire que c’est pour cela que M. Gyldén a fait passer dans le premier membre le terme

$q_{1}x\cos 2t,$

malgré la petitesse du coefficient $q_{1},$ et qu’il a simplement voulu avoir deux termes dans le premier membre afin de disposer de deux coefficients indéterminés.

Ce serait là une erreur.

Les principes du Chapitre IX nous montrent en effet que, quand même $q_{1}$ et $\gamma$ seraient nuls, on pourrait poursuivre les approximations sans introduire de termes séculaires ; nous aurions, il est vrai, deux conditions à remplir, mais quand nous aurions disposé du seul coefficient arbitraire qui nous reste de façon à satisfaire à la première de ces conditions, la seconde, ainsi que nous l’avons vu au n^o 127, serait remplie d’elle-même.

On le comprendra mieux d’ailleurs, quand j’aurai modifié la méthode d’approximations successives du présent numéro de façon à lui donner la forme suivante.

192.Soit $\xi _{i}$ la valeur de $x$ obtenue dans la $i$^ième approximation par la méthode du numéro précédent ; ce sera une somme de termes dépendant du sinus ou du cosinus d’angles tels que le suivant

$\varphi =(m_{1}h_{1}+2m_{2}+m_{3}\lambda _{3}+m_{4}\lambda _{4}+\ldots +m_{n}\lambda _{n})t.$

$m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n}$ sont des entiers ; $h_{i}$ est la $i$^ième valeur approchée du nombre $h\,;$ $\lambda _{3}t,$ $\lambda _{4}t,$ $\lambda _{n}t$ sont les arguments des divers termes de $\varphi (x,t).$

Posons $h_{i}t=w_{i},$ il viendra

$\varphi =m_{1}w_{i}+(2m_{2}+m_{3}\lambda _{3}+\ldots +m_{n}\lambda _{n})t.$

Alors $\xi _{i}$ pourra être considérée comme une fonction de deux variables $w_{i}$ et $t\,;$ de plus, cette fonction sera développable suivant les puissances du petit paramètre $\alpha$ qui entre dans le second membre de (1) ; de même, $h_{i}$ sera développable suivant les puissances de $\alpha .$

Ainsi le problème dont nous nous sommes occupés au numéro précédent peut s’énoncer comme il suit. Nous avons cherché à satisfaire formellement à l’équation (1) en y remplaçant $x$ par une série développable suivant les puissances de $\alpha$ et suivant les cosinus et les sinus des multiples de

$w,\quad 2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.$

La variable auxiliaire $w$ doit elle-même être égale à $ht,$ le nombre $h$ étant développable suivant les puissances de $\alpha .$

On peut donner la solution de ce problème sous une forme plus satisfaisante pour l’esprit en dirigeant les approximations comme je vais le faire.

Si nous mettons en évidence ce fait que $x$ dépend de $t$ de deux manières, d’abord directement, puis parce que $x$ est aussi fonction de $w$ et $w$ fonction de $t,$ l’équation (1) s’écrira

(5)

$h^{2}{\frac {d^{2}x}{dw^{2}}}+2h\,{\frac {d^{2}x}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha \,\varphi (x,t).$

Comme $x$ doit être développé suivant les puissances de $\alpha ,$ nous écrirons

(6)

$x=x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}+\ldots ,$

et de même pour $h$

(7)

$h=h_{0}+\alpha h_{1}+\alpha ^{2}h_{2}+\ldots$

($h_{i}$ n’a donc plus le même sens que dans le numéro précédent).

Substituons les développements (6) et (7) dans l’équation aux dérivées partielles (5). Les deux membres de cette équation sont alors développés suivant les puissances de $\alpha .$ Égalons dans les deux membres de (5) les termes indépendants de $\alpha ,$ puis les coefficients de $\alpha ,$ puis ceux de $\alpha ^{2},\,\ldots ,$ nous obtiendrons une série d’équations que j’appellerai $\mathrm {E} _{0},$ $\mathrm {E} _{1},$ $\mathrm {E} _{2},\,\ldots ,$ de telle façon que l’équation $\mathrm {E} _{i}$ s’obtienne en égalant les coefficients de $\alpha ^{i}.$

L’équation $\mathrm {E} _{0}$ devra servir à déterminer $h_{0}$ et $x_{0},$ l’équation $\mathrm {E} _{1}$ à déterminer $h_{1}$ et $x_{1},\,\ldots ,$ et enfin l’équation $\mathrm {E} _{i}$ à déterminer $h_{i}$ et $x_{i}.$

Pour écrire plus facilement nos équations, nous conviendrons, comme dans le Chapitre XV, de représenter par $\Phi$ toute fonction connue.

Alors $\mathrm {E} _{0}$ s’écrit

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+x_{0}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.$

De même, $\mathrm {E} _{1}$ s’écrit (en se souvenant que $h_{0}$ et $x_{0}$ sont supposés avoir été préalablement déterminés à l’aide de $\mathrm {E} _{0}$)

${\begin{aligned}2&h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi ,\end{aligned}}$

et, en général, $\mathrm {E} _{i}$ s’écrira

${\begin{aligned}2&h_{0}h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+x_{i}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .\end{aligned}}$

L’équation $\mathrm {E} _{0}$ est facile à intégrer ; elle se ramène en effet à l’équation (1) du n^o 190 qui a fait l’objet du Chapitre précédent. Nous aurons une intégrale en faisant

$x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),$

les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ étant les mêmes que dans le n^o 178 et $h_{0}$ étant égal au nombre que nous avons appelé $h$ dans le Chapitre XVII.

Nous en aurons une encore en faisant

$x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt).$

Si donc nous posons

${\begin{aligned}\xi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),&\eta &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt)\end{aligned}}$

et si $\beta$ et si $\gamma$ sont des constantes arbitraires, nous aurons encore une intégrale en faisant

$x_{0}=\beta \xi +\gamma \eta .$

C’est la seule d’ailleurs qui soit périodique en $w$ et en $t.$

Passons à l’équation $\mathrm {E} _{1}$ ; si $h_{1}$ était connu, on pourrait l’écrire

(8)

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .$

Comment intégrerions-nous alors l’équation (8) ?

Posons

${\begin{aligned}\xi '&=h_{0}\,{\frac {d\xi }{dw}}+{\frac {d\xi }{dt}}=-{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt),\\[0.75ex]\eta '&=h_{0}\,{\frac {d\eta }{dw}}+{\frac {d\eta }{dt}}=+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt).\end{aligned}}$

Le déterminant $\xi \eta '-\xi '\eta$ sera une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1, puisque les rapports des coefficients $\mathrm {A} _{n}$ sont seuls déterminés et que l’on peut choisir arbitrairement $\mathrm {A} _{0}.$

Appliquons maintenant la méthode de la variation des constantes. Si nous désignons par $\beta$ et $\gamma ,$ non plus deux constantes, mais deux fonctions de $w$ et de $t,$ nous pourrons définir ces deux fonctions par les équations

${\begin{aligned}x_{1}=\beta \xi &+\gamma \eta ,\\[0.75ex]h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\beta \xi '+\gamma \eta '.\end{aligned}}$

Si nous posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\beta '&=h_{0}\,{\frac {d\beta }{dw}}+{\frac {d\beta }{dt}},\\[0.75ex]\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\end{aligned}}$

l’équation (8) pourra alors être remplacée par les deux suivantes

${\begin{alignedat}{5}\beta '\xi \,&{}+{}&\gamma '\eta \,&=0\\\beta '\xi '&{}+{}&\gamma '\eta '&=\Phi ,\end{alignedat}}$

d’où

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\beta '&=-\Phi \eta ,\\\gamma '&=\Phi \xi .\end{aligned}}\right.$

Ces équations (9) sont faciles à intégrer.

Prenons, par exemple, la deuxième de ces équations (9) ; $\Phi \xi$ sera développable en une série de la forme

(10)

$\Phi \xi =\mathrm {B} _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \cos(mw+\mu t+k)\,;$

les $\mathrm {B}$ et les $k$ sont des constantes, $m$ est un entier ; $\mu$ est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $2$ et des $\lambda _{i}\,;$ j’ai mis en évidence le terme tout connu $\mathrm {B} _{0}.$

L’équation

$h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}}=\Phi \xi$

nous donne alors

$\gamma =\mathrm {B} _{0}t+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {B} \sin(mw+\mu t+k)}{mh_{0}+\mu }}+\psi (w-h_{0}t),$

$\psi$ étant une fonction arbitraire de $w-h_{0}t.$

Si nous voulons que $\gamma$ soit développable en série trigonométrique, de même forme que la série (10), il faut :

1^o Que cette fonction $\psi$ soit nulle (car je ne suppose pas que l’on ait de relation de la forme $mh_{0}+\mu =0$). Nous prendrons donc $\psi =0\,;$

2^o Que $\mathrm {B}$ soit nul.

Pour que nous puissions résoudre le problème que nous nous sommes proposé, il faut donc remplir deux conditions :

Le terme tout connu de $\Phi \xi ,$ de même que celui de $\Phi \eta ,$ devra être nul.

Nous choisirons $h,$ de façon à satisfaire à l’une de ces conditions et l’autre devra être remplie d’elle-même, à moins que le problème proposé ne soit impossible.

On se servirait de même de l’équation $\mathrm {E} _{i}$ pour déterminer $x_{i}$ et $h_{i}\,;$ pour que $x_{i}$ conserve la forme trigonométrique, il faut deux conditions ; on satisfera à l’une en choisissant convenablement $h_{i}$ et la seconde devra être remplie d’elle-même.

Ainsi :

Ou bien le problème proposé est impossible ;

Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.

193.Pour démontrer que ces conditions sont effectivement remplies d’elles-mêmes, il me reste à établir la possibilité du problème. C’est ainsi que la méthode du n^o 127 n’aurait pas été légitime si je n’avais démontré préalablement au n^o 125 la possibilité du développement.

Considérons un système d’équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

Je suppose que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances d’un paramètre $\mu ,$ sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ;$

mais je ne suppose plus, comme au n^o 125, que $\mathrm {F} _{0}$ soit indépendant des $y_{i}.$

Je suppose que $\mathrm {F}$ soit périodique de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Je suppose, enfin, que l’on ait su intégrer les équations

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\end{aligned}}$

et que la solution satisfasse aux conditions suivantes :

1^o Les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ seront des fonctions de $n$ constantes d’intégration

$x_{1}',\quad x_{2}',\quad \ldots ,\quad x_{n}',$

et de $n$ arguments

$y_{1}',\quad y_{2}',\quad \ldots ,\quad y_{n}',$

2^o Ces $n$ arguments seront eux-mêmes des fonctions du temps, de sorte que l’on aura

$y_{i}'=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;$

les $\lambda _{i}$ seront des constantes qui dépendront des $n$ premières constantes d’intégration $x_{i}'\,;$ les $\varpi _{i}$ seront $n$ nouvelles constantes d’intégration.

3^o Les $x_{i}$ et les $y_{i}-y_{i}'$ seront des fonctions périodiques des $y_{i}'$, de période $2\pi .$

4^o L’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'$

sera une différentielle exacte.

On aura évidemment

(3)

$\mathrm {F} _{0}(x_{i},y_{i})=\mathrm {const.} ,$

c’est-à-dire que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des constantes d’intégration $x_{i}'.$

On se rappelle le théorème du n^o 4, qui pourrait d’ailleurs s’énoncer ainsi.

Quand on fait un changement de variables, en passant d’un système de variables conjuguées $(x_{i},y_{i})$ à un autre système de variables conjuguées $(x_{i}',y_{i}')$ la condition pour que la forme canonique ne soit pas altérée, c’est que l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'-{\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

soit une différentielle exacte.

Il en résulte que, si dans le cas qui nous occupe, nous prenons pour variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ les équations (1) conserveront leur forme canonique et deviendront

(5)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

Il est évident :

1^o Que $\mathrm {F}$ sera périodique par rapport aux $y_{i}'\,;$

2^o Que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des $x_{i}',$ à cause de l’équation (3).

Les équations (5) satisfont donc aux conditions des n^os 125 et 127 et il en résulte qu’on pourra y satisfaire formellement de la manière suivante :

Les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ seront développables suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

${\begin{alignedat}{5}x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=y_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ seront des fonctions de $n$ constantes d’intégrations et de $n$ arguments

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}',$

les $n_{i}$ étant des constantes développables suivant les puissances de $\mu$ et les $\varpi _{i}'$ des constantes arbitraires.

Les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ seront périodiques par rapport aux $w_{i},$ à l’exception de $y_{i}'^{0}$ qui se réduira à $w_{i}\,;$ j’ajoute que $x_{i}'^{0}$ est une constante.

Nous n’avons plus qu’à substituer ces valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ dans les équations qui donnent les variables anciennes en fonctions de ces variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ et nous verrons ainsi qu’on peut satisfaire formellement aux équations (5) de la façon suivante :

Les $x_{i}$ et les $y_{i}$ seront développables suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}$

Les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ seront périodiques par rapport aux $w_{i},$ à l’exception de $y_{i}^{0}\,;$ mais $y_{i}^{0}-w_{i}$ sera périodique ; il n’arrivera pas toutefois que $x_{i}^{0}$ se réduira à une constante et $y_{i}^{0}$ à $w_{i}.$

194.Appliquons ces principes à l’équation (1) du n^o 191, que j’écrirai ainsi en lui donnant un nouveau numéro Cherchons à la ramener à la forme canonique.

(6)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha \varphi (x,t).$

Cherchons à la ramener à la forme canonique.

Soit $\psi$ une fonction de $x$ et de $t$ telle que

$\varphi (x,t)={\frac {d\psi }{dx}}\cdot$

$\varphi$ sera, comme $\psi ,$ développable suivant les puissances de $x$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de

$2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.$

Posons pour plus de symétrie

$2=\lambda _{2}.$

Posons ensuite

${\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t&(i&=2,\,3,\,\ldots ,n),\end{aligned}}$

et supposons que dans $\varphi ,$ dans $\psi$ et dans le terme $q_{1}\cos 2t$ on ait remplacé partout $\lambda _{i}t$ par $y_{i}$ de telle façon que les deux membres de (6) deviennent des fonctions de $x,$ de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ et des $y_{i},$ périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Introduisons $n-1$ variables auxiliaires

$x_{2},\quad x_{3},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

et posons

$\mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}-\alpha \psi +{\frac {x^{2}}{2}}(q^{2}-q_{1}\cos y_{2})+{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.$

Nous pourrons remplacer l’équation (6) par le système d’équations canoniques

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i&=2,\,3,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}\right.$

Si nous posons ensuite (Cf. n^o 181)

${\begin{aligned}c&={\frac {1}{q}}{\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{1},&y&=q{\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{1},\end{aligned}}$

l’expression

$x\,dy-x_{1}\,dy_{1}$

sera une différentielle exacte ; la forme canonique des équations ne sera donc pas altérée si nous prenons pour variables $x_{i},y_{i}$ $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

$\mathrm {F}$ sera d’ailleurs périodique par rapport à $y_{1},$ $y_{2},\,\ldots ,$ $y_{n},$ et il viendra

$q^{2}x^{2}+y^{2}=2qx_{1}.$

C’est le petit paramètre $\alpha$ qui joue ici le rôle de $\mu$ et l’on voit que $\mathrm {F}$ est développé suivant les puissances de $\alpha .$

Si nous faisons $\alpha =0,$ $\mathrm {F}$ se réduira à

$\mathrm {F} _{0}=qx_{1}-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\,x_{1}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i}.$

Nous pourrons trouver une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n$ constantes arbitraires $x_{1}',$ $x_{2}',\,\ldots ,$ $x_{n}'$ qui satisfasse à l’équation

(8)

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\left(q-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}\right)-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=\mathrm {const.}$

C’est, avec quelques différences de notations, l’équation du n^o 181 ; nous avons vu, dans ce n^o 181, qu’en regardant $q_{1}$ comme un coefficient très petit analogue au paramètre $\mu$ du n^o 125, on peut appliquer à cette équation les méthodes de ce n^o 125. La fonction $\mathrm {S} -x_{1}'y_{1}-x_{2}'y_{2}-\ldots -x_{n}'y_{n}$ est une fonction de $x_{1}',$ $y_{1}$ et $y_{2}$ seulement périodique en $y_{1}$ et $y_{2}$ (Cf. n^o 181) ; on n’a pour s’en convaincre qu’à appliquer à l’équation (8) la méthode du n^o 125 en faisant jouer à $q_{1}$ le rôle de $\mu .$

Il résulte de là que l’on peut satisfaire aux équations

(9)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},\end{aligned}}$

en faisant, comme au n^o 3,

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

et, d autre part,

$y_{i}=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;$

$\lambda _{i}$ et $\varpi _{i}$ sont des constantes, la seconde arbitraire.

Nous aurons simplement

$x_{i}=x_{i}'$et$y_{i}=y_{i}',$

pour $i>2.$

Nous aurons également $y_{2}=y_{2}'.$

Quant à $y_{1}',$ il sera égal à

$-ht+\varpi _{i},$

de sorte que le coefficient $\lambda _{1}$ ne sera autre chose que le nombre $h$ changé de signe.

Il est aisé de trouver la fonction $\mathrm {S} ,$ ou bien encore l’expression des $x_{i}$ et des $y_{i}$ en fonctions des $x_{i}',\,y_{i}'\,;$ on les trouvera sans peine, en effet, quand on connaîtra le nombre $h$ et les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ déterminés au Chapitre précédent.

J’observerai seulement que, d’après la définition même des variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ l’expression

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'$

et par conséquent la suivante

${\textstyle \sum }\,(x_{i}\,dy_{i}-x_{i}'\,dy_{i}')$

seront des différentielles exactes.

D’autre part, les $x_{i}'$ et les $y_{i}-y_{i}'$ seront des fonctions périodiques des $y_{i}'.$

Enfin il viendra

$\mathrm {F} _{0}=+hx_{1}'-\lambda ^{2}x_{2}'-\lambda ^{3}x_{3}'-\ldots -\lambda ^{n}x_{n}'.$

Si donc nous prenons pour variables nouvelles les $x_{i}'$ et les $y_{i}',$ la forme canonique des équations (7) ne sera pas altérée et elles pourront s’écrire

(10)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

D’ailleurs $\mathrm {F}$ sera périodique par rapport aux $y_{i}'$ et, pour $\alpha =0,$ $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des $x_{i}'.$

Nous serons donc dans les conditions des n^os 125 et 127 et nous pourrons conclure que les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ et par conséquent les $x_{i}$ et les $y_{i}$ pourront s’exprimer formellement en fonctions de $\alpha ,$ de $n$ constantes arbitraires et de $n$ variables $w_{k},$ de telle façon que les fonctions $x_{i}',$ $y_{i}'-w_{i},$ $x_{i},$ $y_{i}-w_{i}$ soient développables suivant les puissances de $\alpha$ et périodiques par rapport aux $w_{k}\,;$ ils seront de la forme

$w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k},$

les $\varpi _{k}$ étant de nouvelles constantes d’intégration, et les $n_{k}$ des constantes développables suivant les puissances de $\alpha .$

Il est d’ailleurs aisé de voir que, dans le cas particulier qui nous occupe, on a pour $k>1$

$y_{k}=y_{k}'=w_{k},$$n_{k}=\lambda _{k}.$

Pour satisfaire non seulement aux équations (7), mais à l’équation (6) d’où nous les avons déduites, il faut prendre

$\varpi _{k}=0,$$w_{k}=\lambda _{k}t.$

Il résulte de tout cela que le problème que nous nous sommes proposé au numéro précédent est possible, et par conséquent que les conditions dont nous avons parlé à la fin de ce numéro doivent être remplies d’elles-mêmes.

195. Comme cela doit avoir lieu quel que soit $q_{1}$ et même pour $q_{1}=0,$ et que ce fait n’a pu échapper à M. Gyldén, ce n’est pas pour éviter les termes séculaires que cet astronome a fait passer dans ce premier membre le terme en $q_{1}x\cos 2t,$ bien que ce coefficient $q_{1}$ soit très petit : c’est pour une autre raison dont je vais chercher à rendre compte.

Si l’on se reporte au Chapitre précédent, on verra que les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ deviennent infinis quand le nombre $h$ est entier ; ils sont donc très grands quand le nombre $h$ est voisin d’un entier ou encore, puisque $h$ diffère peu de $q,$ quand le nombre $q$ est voisin d’un entier.

Si donc, écrivant l’équation du Chapitre précédent sous la forme

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=+q_{1}x\cos 2t,$

on eût appliqué les procédés du n^o 127 en faisant jouer à $q_{1}$ le rôle de $\mu ,$ la convergence aurait été très lente dans le cas où $q$ serait voisin d’un entier.

Considérons maintenant l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=\alpha \,\varphi (x,t).$

Soit

$\mathrm {A} \,x^{m}\cos \lambda t$ou$\mathrm {A} \,x^{m}\sin \lambda t$

un terme quelconque de $\varphi (x,t)\,;$ $m$ sera un entier positif ou nul. Si $m=0,$ ce terme sera indépendant de $x$ et pourra rester sans inconvénient dans le second membre ; si $m>1,$ le terme contiendra en facteur $x^{2}$ qui sera généralement très petit et ne pourra avoir beaucoup d’influence.

Reste le cas où $m=1.$

D’après ce que nous venons de voir, on peut appliquer les procédés du n^o 127 à l’équation

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=\alpha \,\mathrm {A} \,x\cos \lambda t,$

et, si l’on fait jouer à $\alpha$ le rôle de $\mu ,$ la convergence sera lente ou rapide suivant que ${\frac {2q}{\lambda }}$ sera ou ne sera pas voisin d’un entier. Elle sera lente surtout si ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisin de 1 ; et, en effet, d’après ce que nous avons vu au n^o 179, l’expression de $\mathrm {F} _{1}(t)$ contient en dénominateur $q^{2}-1.$

Il en résulte que la fonction $\mathrm {F} (t),$ développée comme dans ce n^o 179 suivant les puissances de $q_{1},$ contient des termes en

${\frac {q_{1}}{q^{2}-1}}\cdot$

La fonction $\mathrm {F} (t)$ qui satisfait à l’équation

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$

est donc très grande si $q$ est voisin de 1. Or l’équation (2) se ramène à l’équation (3) en y changeant $t$ en ${\frac {2t}{\lambda }},$ $q$ en ${\frac {\lambda q}{2}},$ $\alpha \mathrm {A}$ en ${\frac {\lambda ^{2}q_{1}}{4}}\cdot$

L’intégrale de (2) pourra donc devenir grande et sa convergence sera lente si ${\frac {2q}{l}}$ est voisin de 1, ainsi que je viens de l’énoncer.

Si donc, dans le second membre de (1), il y a un terme tel que $x$ y entre en facteur à la première puissance, et si son argument $\lambda t$ est tel que ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisin de 1, on augmentera beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier membre.

Voyons si ce cas se présente dans l’application de la méthode de M. Gyldén au Problème des trois Corps.

Reprenons l’équation (6 bis) du n^o 169

(6 bis)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho =\mathrm {B} .$

Les termes de $\mathrm {B}$ sont de l’ordre de grandeur des forces perturbatrices ; ils dépendent de $v_{0}+\chi ,$ $v_{0}'+\chi ',$ $\rho$ et $\rho '\,;$ nous pouvons supposer qu’on en ait fait disparaître $\chi ,$ $\chi '$ et $\rho '$ par les procédés des n^os 170 à 172 ou par des procédés analogues, qu’on ait remplacé $v_{0}'$ en fonction de $v_{0}.$

Alors $\mathrm {B}$ ne dépendra plus que de $\rho$ et de $v_{0}$ et ses termes seront de la forme

$\mathrm {A} \rho ^{m}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\lambda \,v_{0}.$

Quant à $\lambda ,$ il sera égal à

$m+\mu \,n,$

$m$ et $n$ étant des entiers et $\mu$ le rapport des moyens mouvements des deux planètes.

Distinguons dans $\mathrm {B}$ les deux termes suivants

$\alpha \rho$ et $\beta \rho \cos 2v_{0},$

et posons

$\mathrm {B} =\alpha \rho +\beta \rho \cos 2v_{0}+\mathrm {B} '.$

Nous pourrons faire passer $\alpha \rho$ dans le premier membre et écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1-\alpha )=\mathrm {B} '+\beta \rho \cos 2v_{0}.$

Cette équation est de même forme que l’équation (1). Pour savoir s’il convient de faire passer dans le premier membre le terme $\beta \rho \cos 2v_{0},$ il faut voir si la quantité qui correspond à ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisine de 1. Or cette quantité est égale à

${\sqrt {1-\alpha }},$

et $\alpha$ est de l’ordre de la fonction perturbatrice. On augmentera donc beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier membre et il n’y a pas les mêmes raisons pour y faire passer les autres termes de $\mathrm {B} '.$

Mais voyons maintenant la chose d’un peu plus près. La difficulté provient de ce que le coefficient de $\rho$ est voisin de 1 ; ou bien encore de ce que ce coefficient de $\rho$ se réduit à 1 quand les masses perturbatrices sont nulles.

Quand les masses perturbatrices sont nulles en effet, le mouvement devient képlérien et les équations du mouvement se réduisent à

${\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u&=0.\end{aligned}}$

Si les masses perturbatrices restant nulles, les deux planètes eussent été attirées par un astre central, mais suivant toute autre loi que celle de Newton, ces équations seraient devenues

${\begin{aligned}v&=v_{0},&{\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+\varphi (u)&=0,\end{aligned}}$

$\varphi (u)$ étant une fonction de $u$ dépendant de la loi d’attraction.

Posons ensuite, comme au n^o 169,

$u=u_{1}+\rho ,$

$u_{1}$ étant une fonction connue de $v_{0}$ peu différente de $u,$ et négligeons les puissances supérieures de $\rho ,$ l’équation deviendra

${\frac {d^{2}\varphi }{dv_{0}^{2}}}+\varphi '(u_{1})\rho =\mathrm {A} ,$

$\varphi '$ étant la dérivée de $\varphi$ et $\mathrm {A}$ une fonction connue de $v_{0},$ ainsi que $\varphi '(u_{1}).$

Si, par exemple, $u_{1}$ était une constante, ou si $\varphi (u)$ était une fonction linéaire, $\varphi '(u_{1})$ est une constante généralement différente de 1, de sorte que la difficulté que nous venons de rencontrer ne se présenterait pas.

Ainsi la difficulté qui nous a obligé à faire passer le terme en $q,$ dans le premier membre n’existe pas avec toute autre loi que celle de Newton.

Cela tient à ce que, si l’on adopte la loi de Newton et si les masses perturbatrices sont toujours supposées nulles, les périhélies sont fixes, ce qui n’est plus vrai avec toute autre loi d’attraction.

C’est ce que j’ai déjà fait observer au début du Chapitre XI.

Ainsi la difficulté dont M. Gyldén se tire en faisant passer le terme en $q_{1}$ dans le premier membre est précisément la même dont nous avons triomphé plus haut par les procédés du Chapitre XI.

Équation de la variation.

196.L’équation (5 a) du n^o 169, dite équation de la variation, s’écrit

(1)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}-\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k)=\mathrm {A} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante et $\mathrm {A}$ une suite de termes très petits que nous supposerons dépendre seulement de $\chi .$

Posons alors

$mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k=\mathrm {V} ,$

l’équation deviendra

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} }{m}},$

$\mathrm {A}$ étant une fonction très petite de $\mathrm {V}$ et de $v_{0}\,;$ comme $\mathrm {A}$ est très petit, je puis écrire

$\mathrm {A} =\alpha \,m\,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}),$

$\alpha$ étant un coefficient très petit, et me proposer de développer suivant les puissances croissantes de $\alpha .$

On a donc

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).$

Sous cette forme on voit que l’équation (1) rentre comme cas particulier dans la suivante

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t),$

$f$ et $\varphi$ étant des fonctions quelconques et $\alpha$ un coefficient très petit.

Il en est de même de l’équation (6 c) du n^o 169 qui peut s’écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {B}$ étant une somme de termes très petits, que l’on peut transformer par les procédés des n^os 170 à 172, de sorte que nous pouvons supposer qu’ils ne contiennent que $\rho$ et $v_{0}.$

C’est donc cette équation (2) que nous allons étudier.

Une remarque est nécessaire avant d’aller plus loin.

Considérons l’équation (1) du n^o 191 ; nous nous sommes efforcé de développer la solution de cette équation suivant les puissances de $\alpha \,;$ dans le Chapitre XVI nous n’avions pas posé le problème tout à fait de la même manière ; nous avions dit qu’il fallait dans le second membre de cette équation remplacer $x$ d’abord par 0, puis par sa première valeur approchée et ainsi de suite.

Mais il est aisé de voir que ces deux modes d’approximation reviennent au même ; si en effet nous faisons dans cette équation $\alpha =0,$ elle se réduit à

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0$

et elle admet alors pour solution particulière $x=0,$ ce qui est bien la valeur de $x$ que nous avions admise en première approximation ; de même avec l’équation (6 c) du n^o 169 que l’on peut écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {A} \,\rho -\mathrm {C} \,\rho ^{3}=\alpha f(\rho ,v_{0}).$

Si l’on fait $\alpha =0,$ l’équation admet comme solution particulière $\rho =0\,;$ or au Chapitre XVI nous avons précisément admis comme première approximation $\rho =0.$

Les deux modes d’approximation sont donc encore équivalents.

Il n’en est plus tout à fait de même en ce qui concerne l’équation (1) du présent numéro que nous avons écrite

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).$

Si l’on fait $\alpha =0,$ elle se réduit à

(3)

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =0$

et elle admet évidemment comme solution particulière $\mathrm {V} =0.$ Mais ce que nous avions admis au Chapitre XVI, comme première approximation, ce n’était pas

$\mathrm {V} =0,$

mais

$\chi =0,$

d’où

$\mathrm {V} =mv_{0}+n\mu v_{0}+k,$

ce qui n’est évidemment pas une solution de l’équation (3).

Les deux modes d’approximation ne sont pas absolument équivalents ; mais, à cause de la petitesse du coefficient $\mathrm {C} ,$ on peut prendre comme première approximation une solution de l’équation (3) au lieu de faire $\chi =0,$ sans que la rapidité de la convergence s’en trouve sensiblement ralentie. C’est d’ailleurs ainsi qu’a opéré M. Gyldén.

Reprenons donc l’équation

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t)$.

Comme au n^o 191, je supposerai que $\varphi (x,t)$ soit une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport aux arguments

$\lambda _{2}t,\quad \lambda _{3}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t,$

et je poserai

${\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t,&\varphi ={\frac {d\psi }{dx}}\cdot \end{aligned}}$

Je poserai de même

$f={\frac {d\theta }{dx}}\cdot$

Si alors je pose

$\mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}+\theta -\alpha \,\psi -{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i},$

l’équation (2) peut être remplacée par les équations canoniques

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dx_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Nous nous proposons d’intégrer formellement ces équations sous la forme suivante ; nos variables devront être développées suivant les puissances de $\alpha$ et les coefficients seront des fonctions périodiques de période $2\pi$ de $n$ paramètres

$w,\quad w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},$

avec

${\begin{aligned}w&=ht+\varpi _{1},&w_{i}&=h_{i}t+\varpi _{i}.\end{aligned}}$

Il faudra d’ailleurs évidemment, comme au n^o 194, faire

${\begin{aligned}h_{i}&=\lambda _{i},&\varpi _{i}&=0,&y_{i}&=w_{i}.\end{aligned}}$

Quant au nombre $h,$ il sera développable suivant les puissances de $\alpha .$

Les résultats du n^o 193 peuvent se résumer comme il suit. Si un pareil problème est possible pour $\alpha =0,$ il sera encore possible quand on ne supposera plus $\alpha$ nul.

Or, si nous faisons $\alpha =0,$ notre équation se réduit à

(5)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=0.$

Elle s’intègre très aisément par quadratures, et l’on trouve

${\begin{aligned}x&=\omega (w),&y&=h\,\omega '(w),&w&=ht+\varpi _{1},\\[0.75ex]&&y_{i}&=w_{i}=\lambda _{i}t.\end{aligned}}$

$\varpi$ et $\varpi '$ sont des fonctions de $w$ et d’une constante d’intégration $\beta \,;$ elles sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w\,;$ le nombre $h$ est une fonction de $\beta ,$ et $\varpi _{1}$ est une nouvelle constante d’intégration.

Le problème que nous nous sommes proposé, étant possible pour $\alpha =0,$ le sera encore pour $\alpha \gtrless 0.$

Il reste à le résoudre effectivement.

Pour cela je récris l’équation (2), en mettant en évidence ce fait que $x$ dépend de $t$ d’abord directement et en outre par l’intermédiaire de $w.$ Je suis ainsi une méthode tout à fait pareille à celle du n^o 192. Je trouve ainsi

(6)

$h^{2}{\frac {d^{2}x}{dw^{2}}}+2h\,{\frac {d^{2}x}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t).$

Je substitue à la place de $x$ et de $h$ leurs développements suivant les puissances de $\alpha$

${\begin{aligned}x&=x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}+\ldots ,\\h&=h_{0}+\alpha h_{1}+\alpha ^{2}h_{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

et j’égale les coefficients des puissances semblables de $\alpha .$ J’obtiens ainsi les équations suivantes

(7)

$h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+f(x_{0})=0,$

(8)

$\left\{{\begin{aligned}2h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}&+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{1}=\Phi ,\end{aligned}}\right.$

(9)

$\left\{{\begin{aligned}2h_{0}h_{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}&+2h_{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{2}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{2}=\Phi .\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Je désigne par $\Phi$ toute fonction connue de $t$ et de $w\,;$ le second membre de (8) est connu parce que $h_{0}$ et $x_{0}$ ont été déterminés à l’aide de l’équation (7) ; le second membre de (9) est connu parce que $h_{0},$ $h_{1},$ $x_{0},$ $x_{i}$ ont été déterminés à l’aide de (7) et de (8), et ainsi de suite.

L’équation (7) se ramène à l’équation (5) ; on aura donc

$x_{0}=\omega (w,\beta ),$

$\omega$ étant une fonction de $w$ et de la constante $\beta ,$ périodique par rapport à $w.$

Considérons maintenant l’équation (8) ; si $h_{1}$ était connu, elle s’écrirait

(8 bis)

$h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{1}=\Phi .$

C’est là une équation linéaire à second membre. Nous sommes donc conduit à envisager l’équation sans second membre

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}z}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}z}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f'(x_{0})z=0.$

Cette équation admet évidemment comme solution particulière

${\begin{aligned}z&=z_{1}={\frac {d\omega }{d\beta }},&z&=z_{2}={\frac {d\omega }{dw}}\cdot \end{aligned}}$

Posons, comme au n^o 192,

${\begin{aligned}z_{1}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{1}}{dw}}+{\frac {dz_{1}}{dt}},&z_{2}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{2}}{dw}}+{\frac {dz_{2}}{dt}}\cdot \end{aligned}}$

Le déterminant $z_{1}z_{2}'-z_{2}z_{1}'$ sera une constante que j’appellerai $k.$ Observons en passant que j’ai écrit les équations comme si $x_{0},$ $z_{1},\,z_{2},$ $z_{1}',\,z_{2}'$ dépendaient à la fois de $w$ et de $t,$ tandis que ces fonctions ne dépendent en réalité que de $w$ et que par conséquent beaucoup des termes de ces équations sont nuls.

Soient alors $\gamma$ et $\delta$ deux quantités définies par les équations

${\begin{aligned}x_{1}&=\gamma z_{1}+\delta z_{2},\\h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\gamma z_{1}'+\delta z_{2}'.\end{aligned}}$

Posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\\\delta '&=h_{0}\,{\frac {d\delta }{dw}}+{\frac {d\delta }{dt}}\cdot \end{aligned}}$

L’équation (8 bis) pourra alors être remplacée par les deux suivantes

${\begin{aligned}\gamma 'z_{1}+\delta 'z_{2}&=0,\\\gamma 'z_{1}'+\delta 'z_{2}'&=\Phi ,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{alignedat}{5}\gamma '&=&{}-{}&\Phi \,z_{2},\\\delta '&=&&\Phi \,z_{1}.\end{alignedat}}$

Ces équations pourront s’intégrer par le même procédé que les équations analogues du n^o 192 et l’on ne rencontrera pas de difficulté, pourvu que les valeurs moyennes de $\Phi z_{1}$ et $\Phi z_{2}$ soient nulles.

On disposera alors de $h_{1}$ de façon à annuler l’une de ces valeurs moyennes et l’autre s’annulera d’elle-même, puisque nous savons d’avance que le problème est possible.

L’équation (9) et les équations suivantes se traiteraient de la même manière.

Dans certains cas particuliers, l’intégration de l’équation (5) se ramène aux fonctions elliptiques ; c’est ce qui arrive par exemple quand $f(x)$ est un polynôme du troisième degré en $x$ ou quand $f(x)$ se réduit à un facteur constant multiplié par $\sin x,$ c’est-à-dire dans le cas des équations (6 c) et (5 a) du n^o 169.

Résumé.

197.Dans les pages qui précèdent j’ai plutôt cherché à faire comprendre l’esprit des méthodes de M. Gyldén qu’à respecter scrupuleusement son mode d’exposition. Il me reste à dire ce qu’à mon sens on doit penser de ces méthodes.

Toutes les fois que le rapport des moyens mouvements n’est pas très près d’être commensurable, les méthodes de M. Newcomb, que j’ai exposées dans les Chapitres IX à XV, paraîtront, surtout avec les perfectionnements que j’y ai introduits, plus simples et plus satisfaisantes pour l’esprit que celles de M. Gyldén.

Cependant l’étude de ces dernières n’en conserve pas moins toute son utilité. En effet, il y a bien des cas où le rapport des moyens mouvements est trop près d’être commensurable pour que les méthodes des Chapitres IX à XV soient encore applicables ; M. Gyldén a employé pour les traiter des procédés analogues à ceux qui lui avaient réussi dans des cas plus simples et il a obtenu le même succès.

Il importe donc de se pénétrer de l’esprit de ces méthodes, soit qu’on veuille les employer directement, soit qu’on veuille seulement s’en servir comme de moyens de découverte susceptibles de nous conduire à l’invention de théories nouvelles, qui pourront être plus satisfaisantes pour une raison ou pour une autre.

Cet esprit, d’ailleurs, peut se résumer d’un mot. Si un terme quelconque devient très grand et rend la convergence lente, on en tient compte dès la première approximation.

Généralisation des solutions périodiques.

198.A la théorie des équations que nous avons étudiées dans ce Chapitre se rattache une proposition dont M. Gyldén, sans l’énoncer expressément, a fait quelquefois usage. Je ne puis la passer sous silence.

Considérons l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\alpha x=\mu \,f(x,t,\mu ).$

$\alpha$ est une constante quelconque ; $\mu$ est un paramètre très petit ; $f$ est une fonction de $x,\,t$ et $\mu$ développable suivant les puissances de $x$ et de $\mu$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $n$ arguments

$\lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.$

S’il n’y avait qu’un seul argument $\lambda _{1}t,$ la fonction $f$ serait une fonction périodique de $t$ de période ${\frac {2\pi }{\lambda _{1}}}\cdot$ L’équation (1) admettrait alors une solution périodique de même période. Et en effet, pour $\mu =0,$ cette équation, quelle que soit la constante $\alpha ,$ admettra évidemment une solution périodique qui sera

$x=0.$

Donc, en vertu des principes du Chapitre III, elle en admettra encore une pour les petites valeurs de $\mu .$

Ce résultat peut-il se généraliser pour le cas où $f$ contient $n$ arguments différents

$\lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t\,?$

L’équation (1) admet-elle alors une solution de la forme suivante

(2)

$x=x_{1}\mu +x_{2}\mu +x_{3}\mu +\ldots ,$

où $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,.$ sont développables suivant les sinus et le cosinus des multiples des $\lambda _{i}t\,?$

Pour nous en rendre compte, nous allons employer une méthode qui rappellera celle du n^o 45 et qui, quoique plus générale, sera plus simple, parce que, dans ce n^o 45, j’avais introduit à dessein, en supposant $\alpha =0,$ une difficulté qui ne se présente pas dans le cas général.

Supposons le problème résolu et substituons, à la place de $x$ dans $f,$ le développement (2) ; après cette substitution, $f$ sera développable suivant les puissances de $\mu ,$ d’abord parce que cette fonction était déjà développable suivant les puissances de cette variable avant la substitution et, ensuite, parce que la valeur de $x$ donnée par l’équation (2) est elle-même développée suivant les puissances de $\mu .$ Nous aurons donc

$f=\varphi _{0}+\mu \,\varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\ldots .$

$\varphi _{0}$ ne dépendra que de $t\,;$ $\varphi _{1}$ de $t$ et de $x_{1}\,;$ $\varphi _{2}$ de $t,$ de $x_{1}$ et de $x_{2}\,;$ et ainsi de suite.

L’équation (1) nous donnera alors, en égalant les coefficients des diverses puissances de $\mu ,$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}-\alpha x_{1}&=\varphi _{0},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}-\alpha x_{2}&=\varphi _{1},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}x_{3}}{dt^{2}}}-\alpha x_{3}&=\varphi _{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..;\end{aligned}}\right.$

ce qui nous permettra de déterminer par récurrence les diverses fonctions $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},\,\ldots .$

Les équations (3) sont de la forme

${\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-\alpha x_{i}=\varphi _{i-1}.$

Si $\varphi _{i-1}$ est développable suivant les sinus et cosinus des multiples des $\lambda t$ et s’écrit

$\varphi _{i-1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right],$

les $m_{i}$ étant des entiers et $k$ et $\mathrm {A}$ des constantes quelconques, nous pourrons prendre

(4)

$x_{i}=-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right]}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}$

et $x_{i}$ sera de la forme voulue.

Il reste à reconnaître si le développement (2) est convergent. C’est ce qui arrive toutes les fois que $\alpha$ est positif.

Supposons, en effet, $\alpha$ positif ; nous aurons alors

${\frac {1}{\alpha }}>{\frac {1}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}$

Reprenons la notation du Chapitre II et introduisons une nouvelle fonction de $t$ de même forme que $\varphi _{i-1}$ et que nous appellerons $\varphi _{i-1}'\,;$ supposons qu’elle soit telle que

$\varphi _{i-1}\ll \varphi _{i-1}'\quad \left(\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right).$

Définissons ensuite $x_{i}'$ par l’équation

$\alpha x_{i}'=\varphi _{i-1}$

et $x_{i}$ par l’équation (4), nous aurons évidemment

$x_{i}\ll x_{i}'.$

Soit alors une fonction $f'(x,t,\mu )$ de même forme que $f(x,t,\mu )$ et telle que

$f\ll f'\quad \left(\mathrm {arg} \,x,\,\mu ,\,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right)$

Envisageons l’équation (5) qui définira une nouvelle fonction $x'$

(5)

$\alpha x'=\mu f'(x',t,\mu ).$

On peut tirer de cette équation $x',$ en une série convergente ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$

$x'=x_{1}'\mu +x_{2}'\mu ^{2}+x_{3}'\mu ^{3}+\ldots ;$

les coefficients en sont ordonnés suivant les sinus et cosinus des multiples des $\lambda _{i}t.$

Si nous substituons ce développement à la place de $x'$ dans $f',$ il vient

$f'=\varphi _{0}'+\mu \varphi _{1}'+\mu ^{2}\varphi _{2}'+\ldots ,$

$\varphi _{0}'$ dépendant seulement de $t,$ $\varphi _{1}'$ de $t$ et de $x_{1}',$ $\varphi _{2}'$ de $t,$ de $x_{1}'$ et de $x_{2}',\,\ldots .$

Nous aurons d’ailleurs

${\begin{array}{c}\varphi _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t)\ll \varphi _{k}'(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t),\\\left(\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,e^{\pm i\lambda t}\right).\end{array}}$

J’écris, pour abréger, $e^{\pm i\lambda t}$ pour les $n$ arguments $e^{\pm i\lambda _{1}t},$ $e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots ,$ $e^{\pm i\lambda _{n}t},$

L’équation (5) nous donnera

${\begin{aligned}\alpha x_{1}'&=\varphi _{0}',&\alpha x_{2}'&=\varphi _{1}',&&\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera successivement

${\begin{aligned}\varphi _{0}&\ll \varphi _{0}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{1}&\ll x_{1}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1}',t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{2}&\ll x_{2}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1},x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1}',x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{3}&\ll x_{3}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

et enfin

$x\ll x'\quad (\mathrm {arg} \,\mu ,e^{\pm i\lambda t}),$

ce qui montre que le développement (2) est bien convergent.

Ainsi ce développement converge dans deux cas :

1^o Quel que soit $\alpha ,$ quand il n’y a qu’un seul argument $\lambda _{1}t\,;$

2^o Quel que soit le nombre des arguments, quand $\alpha$ est positif.