Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.31

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 331-361).

CHAPITRE XXXI.

PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

---

Les solutions du deuxième genre et le principe de moindre action.

371.Je ne puis passer sous silence les rapports entre la théorie des solutions du deuxième genre et le principe de moindre action ; et c’est même à cause de ces rapports que j’ai écrit le Chapitre XXIX. Mais, pour les faire bien comprendre, quelques préliminaires sont encore nécessaires.

Supposons deux degrés de liberté ; soient $x_{1}$ et $x_{2}$ les deux variables de la première série, que l’on pourra considérer comme les coordonnées d’un point dans un plan ; les courbes planes qui satisferont à nos équations différentielles constitueront ce que nous avons appelé des trajectoires.

Soit $\mathrm {M}$ un point quelconque du plan. Considérons l’ensemble des trajectoires issues du point $\mathrm {M}$ et soit $\mathrm {E}$ leur enveloppe. Soit $\mathrm {F}$ le $n$^ième foyer cinétique de $\mathrm {M}$ sur la trajectoire $(\mathrm {T} )\,;$ cette trajectoire touchera l’enveloppe $\mathrm {E}$ au point $\mathrm {F} ,$ d’après la définition même des foyers cinétiques ; je rappelle que le $n$^ième foyer de $\mathrm {M} ,$ ou son foyer d’ordre $n$ est le $n$^ième point d’intersection de $(\mathrm {T} )$ avec la trajectoire infiniment voisine passant par $\mathrm {M} .$ Mais les circonstances de ce contact peuvent varier. Il peut se faire que $\mathrm {F}$ ne soit pas un point singulier de la courbe $\mathrm {E}$ et que le contact soit du premier ordre ; c’est là le cas le plus général.

Soient

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi (x_{2})\\x_{1}&=\varphi (x_{2})+\psi (x_{2})\end{aligned}}$

les équations de la trajectoire $(\mathrm {T} )$ et d’une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ très voisine, issue du point $\mathrm {M} .$

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ les coordonnées du point $\mathrm {M} ,$ $u_{1}$ et $u_{2}$ celles de $\mathrm {F} .$ Comme $(\mathrm {T} )$ passe par $\mathrm {M}$ et $\mathrm {F}$ et $(\mathrm {T} ')$ par $\mathrm {M} ,$ on aura

${\begin{aligned}z_{1}&=\varphi (z_{2}),&u_{1}&=\varphi (u_{2}),&\psi (z_{2})&=0.\end{aligned}}$

La trajectoire $(\mathrm {T} ')$ étant très voisine de $(\mathrm {T} )$ la fonction $\psi$ sera très petite ; je pourrai appeler $\alpha$ l’angle sous lequel les deux trajectoires se coupent au point $\mathrm {M} \,;$ ce sera cet angle qui définira la trajectoire $(\mathrm {T} ')\,;$ alors la fonction $\psi$ dépendra de l’angle $\alpha \,;$ elle sera très petite si, comme nous le supposons, cet angle $\alpha$ est lui-même très petit, et elle s’annulera avec $\alpha$.

La valeur de $\psi '(z_{2})$ (en désignant par $\psi '$ la dérivée de $\psi$) sera de même signe que $\alpha .$ Quant à $\psi '(u_{2})$ [si nous supposons $\alpha$ très petit et si le système de coordonnées a été défini de telle sorte que la fonction $\varphi (x_{2})$ soit uniforme, ce qui est toujours possible] il est de même signe que $\alpha ,$ si $\mathrm {F}$ est un foyer d’ordre pair, et de signe contraire si $\mathrm {F}$ est un foyer d’ordre impair.

Ce qui caractérise le cas qui nous occupe, c’est que $\psi (u_{2})$ est du même ordre que $\alpha ^{2}$ et toujours du même signe.

Supposons par exemple que $\psi (u_{2})$ soit positif.

Alors si le signe de $\alpha$ est tel que $\psi '(u_{2})$ soit positif, la trajectoire $(\mathrm {T} ')$ coupera $(\mathrm {T} )$ en un point $\mathrm {F} ',$ voisin du point $\mathrm {F}$ et moins éloigné de $\mathrm {M}$ que le point $\mathrm {F}$ (en supposant $u_{2}>z_{2}$). Dans ce cas, $(\mathrm {T} ')$ touche $\mathrm {E}$ avant $\mathrm {F} ',$ tandis que $(\mathrm {T} )$ touche $\mathrm {E}$ après $\mathrm {F} '\,;$ d’après un raisonnement bien connu, l’action est plus grande (au moins dans le mouvement absolu) quand on va de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F} '$ en parcourant $(\mathrm {T} ')$ que quand on va de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F} '$ en suivant $(\mathrm {T} ).$

Si le signe de $\alpha$ est tel que $\psi '(u_{2})$ soit négatif, $(\mathrm {T} ')$ coupe $(\mathrm {T} )$ en un point $\mathrm {F} ',$ plus éloigné de $\mathrm {M}$ que $\mathrm {F} \,;$ alors $(\mathrm {T} ')$ touche $\mathrm {E}$ après $\mathrm {F} '$ et $(\mathrm {T} )$ touche $\mathrm {E}$ avant $\mathrm {F} '\,;$ l’action, quand on va de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F} ',$ est plus grande le long de $(\mathrm {T} )$ que le long de $(\mathrm {T} ').$

Les résultats seraient renversés si $\psi (u_{2})$ était négatif ; mais en tous cas parmi les trajectoires $(\mathrm {T} ')$ voisines de $(\mathrm {T} )$ il y en a qui coupent $(\mathrm {T} )$ près de $\mathrm {F}$ et au delà de $\mathrm {F}$ et d’autres qui coupent $(\mathrm {T} )$ près de $\mathrm {F}$ et en deçà de $\mathrm {F} .$

Dans ce cas nous dirons que $\mathrm {F}$ est un foyer ordinaire.

Il ne peut pas arriver que $\mathrm {F}$ soit un point ordinaire de $\mathrm {E}$ et que le contact soit d’ordre supérieur au premier.

Développons $\psi (x_{2})$ suivant les puissances de $\alpha$ et soit

$\psi (x_{2})=\alpha \psi _{1}(x_{2})+\alpha ^{2}\psi _{2}(x_{2})+\ldots .$

La condition pour qu’il y eût un contact d’ordre supérieur, serait

$\psi _{1}'(u_{2})=0.$

Mais nous avons déjà

$\psi _{1}(u_{2})=0$

et la fonction $\psi _{1}(x_{2})$ satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, dont les coefficients sont des fonctions finies et données de $x_{2},$ le coefficient de la dérivée seconde se réduisant à l’unité.

Si pour $x_{2}=u_{2},$ l’intégrale $\psi _{1}(x_{2})$ s’annulait ainsi que sa dérivée première, elle serait identiquement nulle, ce qui est absurde.

Il n’y a donc jamais de contact d’ordre supérieur.

Mais il peut arriver que $\mathrm {F}$ soit un point de rebroussement de la courbe $\mathrm {E} ,$ soit qu’il présente sa pointe du côté de $\mathrm {M}$ de façon qu’un mobile allant de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F}$ le prenne en pointe, soit qu’il présente sa pointe du côté opposé de façon que le mobile le prenne en talon. Dans le premier cas je dirai que $\mathrm {F}$ est un foyer en pointe et dans le second cas que c’est un foyer en talon.

Dans l’un et l’autre cas, $\psi (u_{2})$ est de l’ordre de $\alpha ^{3}\;;$ dans le cas d’un foyer en pointe il est du signe de $\alpha ,$ si $\mathrm {F}$ est un foyer d’ordre impair et de signe contraire à $\alpha$ si $\mathrm {F}$ est un foyer d’ordre pair ; c’est le contraire dans le cas d’un foyer en talon.

Dans le cas d’un foyer en pointe, toutes les trajectoires $(\mathrm {T} ')$ coupent $(\mathrm {T} )$ en un point $\mathrm {F} '$ voisin de $\mathrm {F}$ et au delà de $\mathrm {F} \,;$ l’action en allant de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F} '$ est plus grande le long de $(\mathrm {T} )$ que le long de $(\mathrm {T} ').$

Dans le cas d’un foyer en talon, toutes les trajectoires $(\mathrm {T} ')$ coupent $(\mathrm {T} )$ en un point $\mathrm {F} '$ voisin de $\mathrm {F}$ et en deçà de $\mathrm {F} \,;$ l’action de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {F} '$ est plus grande le long de $(\mathrm {T} ')$ que le long de $(\mathrm {T} ).$

Soit alors $\mathrm {F} '$ un point de $(\mathrm {T} )$ suffisamment voisin de $\mathrm {F} .$ Dans le cas d’un foyer en pointe, je puis joindre $\mathrm {M}$ à $\mathrm {F} '$ par une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ si $\mathrm {F} '$ est au delà de $\mathrm {F} \,;$ dans le cas d’un foyer en talon, je puis joindre $\mathrm {M}$ à $\mathrm {F} '$ si $\mathrm {F} '$ est en deçà de $\mathrm {F} .$

Il pourrait arriver enfin que $\mathrm {F}$ fût un point singulier de $\mathrm {E}$ plus compliqué qu’un point de rebroussement ordinaire ; je dirais alors que c’est un foyer singulier.

Je ferai seulement observer qu’on ne peut passer d’un foyer en pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier ; car, au moment du passage, $\psi (u_{2})$ doit être de l’ordre de $\alpha ^{4}.$

372.Considérons maintenant une solution périodique quelconque ; elle correspondra à une trajectoire $(\mathrm {T} )$ fermée. Soit $\alpha$ l’exposant caractéristique et $\mathrm {T}$ la période. Nous avons vu au Chapitre XXIX comment on parvient à déterminer les foyers cinétiques successifs (n^o 347).

Supposons que $\alpha$ soit égal à ${\frac {2in\pi }{\mathrm {T} }},$ $n$ étant un nombre commensurable dont le numérateur est $p.$ Dans ce cas l’application de la règle du n^o 347 montre que chaque point de $(\mathrm {T} )$ coïncide avec son $2p$^ième foyer.

Si en effet on prend comme au n^o 347 une unité de temps telle que la période $\mathrm {T}$ soit égale à $2\pi ,$ il vient $\alpha =in.$ Si l’on désigne par $\tau _{0}$ la valeur de la fonction $\tau$ au point $\mathrm {M} ,$ soient $\tau _{1},$ $\tau _{2},\,\ldots ,$ $\tau _{2p}$ les valeurs de cette fonction $\tau$ au premier, au second, $\ldots ,$ au $2p$^ième foyer de $\mathrm {M} \,;$ nous aurons d’après la règle du n^o 347,

$\tau _{1}-\tau _{0}={\frac {i\pi }{\alpha }},\quad \tau _{2}-\tau _{0}={\frac {2i\pi }{\alpha }},\quad \ldots ,\quad \tau _{2p}-\tau _{0}={\frac {2pi\pi }{\alpha }}={\frac {2p\pi }{n}}\cdot$

Si $p$ est le numérateur de $n,$ on voit que $\tau _{2p}-\tau _{0}$ est un multiple de $2\pi ,$ c’est-à-dire que $\mathrm {M}$ et son $2p$^ième foyer coïncident.

La trajectoire issue du point $\mathrm {M}$ et infiniment voisine de $(\mathrm {T} )$ viendra donc repasser par le point $\mathrm {M}$ après avoir fait $k+2$ fois le tour de la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ si $k+2$ est le dénominateur de $n.$

Le point $\mathrm {M}$ est donc son $2p$^ième foyer ; mais on peut se demander à quelle catégorie de foyers il appartient, au point de vue de la classification du numéro précédent.

Adoptons un système de coordonnées analogues au coordonnées polaires de telle sorte que l’équation de la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ soit

$\rho =1$

et que $\omega$ varie de $0$ à $2\pi$ quand on fait le tour de cette trajectoire fermée. Les courbes $\rho =\mathrm {const.}$ sont alors des courbes fermées s’enveloppant mutuellement à la façon de cercles concentriques, et les courbes $\omega =\mathrm {const.}$ forment un faisceau de courbes divergentes qui viennent couper toutes les courbes $\rho =\mathrm {const.} \,;$ et de telle façon que la courbe $\omega =a+2\pi$ coïncide avec la courbe $\omega =a.$

Soit alors $\omega _{0}$ la valeur de $\omega$ qui correspond au point de départ $\mathrm {M} \,;$ la valeur de $\omega$ qui correspondra à ce même point $\mathrm {M} ,$ considéré comme le $n$^ième foyer du point de départ, sera

$\omega _{0}+2(k+2)\pi .$

Soit

$\rho =1+\psi (\omega )$

l’équation d’une trajectoire $(\mathrm {T} '),$ voisine de $(\mathrm {T} )$ et passant par $\mathrm {M} .$ La fonction $\psi (\omega )$ correspondra à la fonction $\psi (x_{2})$ du numéro précédent. Nous aurons $\psi (\omega _{0})=0$ et ce qu’il s’agit de discuter c’est le signe de

$\psi \left[\omega _{0}+2(k+2)\pi )\right].$

Il s’agit donc de former la fonction $\psi (\omega )$ et pour cela nous n’avons qu’à appliquer, soit les principes du Chapitre VII, soit ceux du n^o 274. Si nous appliquons par exemple ces derniers, voici ce que nous trouverons : La fonction $\psi (\omega )$ est développable suivant les puissances des deux quantités

$\mathrm {A} e^{\alpha \omega },\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }.$

Les coefficients du développement sont des fonctions périodiques de période $2\pi \,;$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont deux constantes d’intégration ; quant à $\alpha ,$ c’est une constante qui est développable suivant les puissances du produit $\mathrm {AA} '$

$\alpha =\alpha _{0}+\alpha _{1}(\mathrm {AA} ')+\alpha _{2}(\mathrm {AA} ')^{2}+\ldots .$

D’ailleurs $\alpha _{0}$ est égal à l’exposant caractéristique de $(\mathrm {T} )$ c’est-à-dire à $in.$

Si $(\mathrm {T} ')$ diffère peu de $(\mathrm {T} ),$ les deux constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont très petites ; elles sont de l’ordre de l’angle que j’appelais $\alpha$ dans le numéro précédent et qu’il ne faut pas confondre avec l’exposant que je désigne par la même lettre dans le présent numéro.

Si nous poussons l’approximation jusqu’au troisième ordre inclusivement par rapport à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$ $\psi (\omega )$ se réduira à un polynôme du troisième ordre par rapport à ces deux constantes et je pourrai écrire

$\psi (\omega )=\mathrm {A} e^{\alpha \omega }\sigma +\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }\sigma '+f(\mathrm {A} e^{\alpha \omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega })$

$f$ étant un polynôme entier par rapport à $\mathrm {A} e^{\alpha \omega },$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }$ ne contenant que des termes du second et du troisième degré. Les coefficients du polynôme $f,$ de même que $\sigma$ et $\sigma ',$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi .$

Cela posé, comme $\alpha$ est égal à $\alpha _{0},$ à des quantités près du second ordre, et à $\alpha _{0}+\alpha _{1}(\mathrm {AA} ')$ à des quantités près du quatrième ordre, nous pouvons écrire, en négligeant toujours les quantités du quatrième ordre par rapport à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$

$\psi (\omega )=\mathrm {A} \sigma e^{\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+\mathrm {A} '\sigma 'e^{-\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })$

ou bien encore

${\begin{aligned}\psi (\omega )&=\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma '\\&+\alpha _{1}\omega \mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ')+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })\end{aligned}}$

Quand $\omega$ augmente de $(2k+4)\pi ,$ les coefficients de $f,$ non plus que $\sigma$ et $\sigma '$ ne changent pas. Il en est de même de $e^{\alpha _{0}\omega },$ puisque ${\frac {\alpha _{0}}{i}}=n$ a pour dénominateur $k+2\,;$ il en est donc encore de même de

$\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma ,\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ',\quad f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }).$

Il vient donc enfin

$\psi (\omega +2k\pi +4\pi )-\psi (\omega )=(2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ').$

Or $\psi (\omega _{0})$ est nulle ; la quantité dont nous devons déterminer le signe est donc

$(2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}-\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}').$

Je désigne par $\sigma _{0}$ et $\sigma _{0}'$ les valeurs de $\sigma$ et $\sigma '$ pour $\omega =\omega _{0}.$

J’observe d’abord que cette quantité est du troisième ordre, ce qui, d’après le numéro précédent, nous montre que nos foyers seront en général des foyers en pointe ou en talon. Je dis maintenant que cette quantité est toujours de même signe et que son coefficient ne peut s’annuler.

En effet, les deux constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont liées par la relation

$\psi (\omega _{0})=0$

ce qui peut s’écrire, puisque $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont des quantités infiniment petites

(1)

$\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega _{0}}\sigma _{0}+\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega _{0}}\sigma _{0}'=0.$

D’autre part $\alpha _{0}$ est purement imaginaire, $\sigma _{0}$ et $\sigma _{0}'$ sont imaginaires conjuguées ; il en est de même de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {A} '.$

Le produit $\mathrm {AA} '$ est donc essentiellement positif et ne peut s’annuler ; car $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ ne peuvent être nuls à la fois.

D’autre part on ne peut avoir

(2)

$\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega _{0}}\sigma _{0}-\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega _{0}}\sigma _{0}'=0.$

car les équations (1) et (2) entraîneraient

$\sigma _{0}=\sigma _{0}'=0.$

Mais ces équations sont impossibles ; elles signifieraient que toutes les trajectoires très voisines de $(\mathrm {T} )$ vont passer par le point $\mathrm {M} ,$ ce qui est évidemment faux.

Notre quantité $\psi (\omega _{0}+2k\pi +4\pi )$ a donc toujours le même signe. Nos foyers sont donc tous en pointe, ou tous en talon ; tout dépend du signe de $\alpha _{1}.$

373.Nous avons dû laisser de côté le cas où $\alpha _{1}$ serait nul, cas exceptionnel où tous les foyers seraient singuliers ; et celui où $k+2$ serait égal à 2, 3 ou 4 ; voici pourquoi :

On a vu que, dans les calculs du Chapitre VII, s’introduisent de petits diviseurs

$\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta -\alpha _{i}$

(Cf. n^o 104, t. I, p. 338).

Le calcul se trouve arrêté et des termes séculaires apparaissent si l’un de ces diviseurs s’annule.

Or, on constate aisément que, si $k+2$ est égal à 2, 3 ou 4, on pourra se trouver arrêté ainsi dans le calcul des termes des trois premiers ordres qui sont ceux dont nous avons été obligés de tenir compte. Si au contraire $k+2>4,$ on ne sera arrêté que dans le calcul des termes d’ordre supérieur qui n’interviennent pas dans l’analyse précédente.

374.Supposons, par exemple, que tous les foyers soient en pointe ; soit $\mathrm {M}$ un point quelconque de $(\mathrm {T} )\,;$ ce point sera à lui-même son $n$^ième foyer. Soit $\mathrm {M} '$ un point situé un peu au delà du point $\mathrm {M}$ dans la direction où l’on parcourt la trajectoire $(\mathrm {T} )$ et les trajectoires voisines de $(\mathrm {T} ').$ Je pourrai tracer une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ issue du point $\mathrm {M} ,$ qui s’écartera très peu de $(\mathrm {T} ),$ qui fera $k+2$ fois le tour de $(\mathrm {T} )$ et viendra finalement aboutir au point $\mathrm {M} '$ et qui aura $2p+1$ points d’intersection avec $(\mathrm {T} ),$ en comptant les points d’intersection $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '.$

En effet, le foyer étant en pointe, les trajectoires $(\mathrm {T} ')$ voisines de $(\mathrm {T} )$ viennent toutes recouper $(\mathrm {T} )$ au delà du foyer. Nous pourrons donc tracer la trajectoire $(\mathrm {T} ')$ qui satisfait aux conditions que je viens d’énoncer, pourvu que la distance $\mathrm {MM} '$ soit plus petite que $\delta .$ Il est clair que la limite supérieure que ne doit pas dépasser la distance $\mathrm {MM} '$ dépend de la position de $\mathrm {M}$ sur $(\mathrm {T} )\,;$ mais elle ne s’annule jamais puisqu’il n’y a pas de foyer singulier. Il me suffira alors d’égaler $\delta$ à la plus petite valeur que puisse prendre cette limite supérieure et je pourrai regarder $\delta$ comme une constante.

Si donc la distance $\mathrm {MM} '$ est plus petite que $\delta ,$ nous pouvons mener une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ satisfaisant à nos conditions ; nous pouvons même en mener deux, l’une coupant $(\mathrm {T} )$ en $\mathrm {M}$ sous un angle positif, l’autre sous un angle négatif.

Cela posé, supposons que nos équations différentielles canoniques dépendent d’un paramètre $\lambda \,;$ pour $\lambda =0,$ la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ a pour exposant caractéristique $\alpha _{0}=in.$ Supposons que, pour $\lambda >0,$ l’exposant caractéristique, divisé par $i,$ soit plus grand que $n$ et que, pour $\lambda <0,$ il soit au contraire plus petit que $n.$

Alors, pour $\lambda \gtrless 0$ le point $\mathrm {M}$ ne sera plus son propre $2p$^ième foyer ; son $2p$^ième foyer sera situé en deçà de $\mathrm {M}$ pour $\lambda >0,$ et au delà de $\mathrm {M}$ pour $\lambda <0.$ Soit $\mathrm {F}$ ce foyer. La distance $\mathrm {MF}$ dépendra naturellement de la position de $\mathrm {M}$ sur $(\mathrm {T} )\,;$ j’appelle $\varepsilon$ la plus grande valeur de cette distance ; il est clair que $\varepsilon$ sera une fonction continue de $\lambda$ et qu’elle s’annulera avec $\lambda \,;$ remarquons que, pour $\lambda \gtrless 0,$ d’après les principes du n^o 347, le foyer $\mathrm {F}$ est toujours au delà de $\mathrm {M} ,$ ou toujours en deçà, suivant la valeur de l’exposant caractéristique, et la distance $\mathrm {MF}$; ne peut jamais s’annuler.

Soit $\mathrm {F} '$ un point situé un peu au delà de $\mathrm {F} \,;$ nous pourrons joindre $\mathrm {M}$ à $\mathrm {F} '$ par une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ pourvu que la distance $\mathrm {FF} '$ reste inférieure à une certaine quantité $\delta '.$ Il est clair que $\delta '$ est une fonction continue de $\lambda$ et elle se réduit à $\delta$ pour $\lambda =0.$

Prenons $\lambda >0,$ de façon que $\mathrm {M}$ soit au delà de $\mathrm {F} \,;$ nous pourrons faire jouer à $\mathrm {M}$ le rôle de $\mathrm {F} '$ et joindre $\mathrm {M}$ à lui-même par une trajectoire $(\mathrm {T} '),$ pourvu que la distance $\mathrm {MF}$ soit plus petite que $\delta ',$ ou pourvu que

$\varepsilon <\delta '\,;$

pour $\lambda =0,$ $\varepsilon$ est nul et $\delta '=\delta >0\,;$ donc on peut prendre $\lambda$ assez petit pour que l’inégalité soit satisfaite.

On peut alors joindre le point $\mathrm {M}$ à lui-même par une trajectoire $(\mathrm {T} ')$ s’écartant peu de $(\mathrm {T} ),$ faisant $k+2$ fois le tour de $(\mathrm {T} )$ et coupant $2p+1$ fois $(\mathrm {T} ).$

Fig. 12.

Sur la figure, $\mathrm {BA}$ représente un arc de $(\mathrm {T} )$ sur lequel se trouve $\mathrm {M} .$ $\mathrm {MC}$ est un arc de $(\mathrm {T} ')$ partant de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {DM}$ est un autre arc de cette même trajectoire aboutissant à $\mathrm {M} .$ Des flèches indiquent le sens dans lequel les trajectoires sont décrites.

Le point $\mathrm {M}$ peut être ainsi joint à lui-même, non pas par une, mais par deux trajectoires $(\mathrm {T} ')\,;$ pour l’une, comme l’indique la figure, l’angle $\mathrm {CMA}$ est positif, de telle façon que $\mathrm {CM}$ est au-dessus de $\mathrm {MA} \,;$ pour l’autre, l’angle $\mathrm {CMA}$ serait négatif.

La trajectoire $(\mathrm {T} ')$ ne doit pas être regardée comme une trajectoire fermée ; elle part bien du point $\mathrm {M}$ pour revenir au point $\mathrm {M} ,$ mais la direction de la tangente n’est pas la même au point de départ et au point d’arrivée, de sorte que les arcs $\mathrm {MC}$ et $\mathrm {DM}$ ne se raccordent pas.

La trajectoire $(\mathrm {T} '),$ allant ainsi de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {M}$ avec un point anguleux en $\mathrm {M} ,$ formera ainsi ce qu’on pourra appeler une boucle. En faisant la même construction pour tous les points $\mathrm {M}$ de $(\mathrm {T} ),$ on obtiendra une série de boucles ; on en obtiendra même deux, la première correspondant au cas où l’angle $\mathrm {CMA}$ est positif, et la seconde au cas où cet angle est négatif. Ces deux séries sont bien séparées l’une de l’autre ; et en effet, le passage de l’une à l’autre ne pourrait se faire que si l’angle $\mathrm {CMA}$ devenait infiniment petit.

Alors, la trajectoire $(\mathrm {T} '),$ devenue infiniment voisine de $(\mathrm {T} ),$ irait passer par le foyer $\mathrm {F} ,$ d’après la définition même des foyers ; mais, comme elle doit aboutir au point $\mathrm {M} ,$ les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {F}$ se confondraient ; cela ne peut arriver d’après les principes du n^o 347.

Ainsi donc, si tous les foyers sont en pointe, nous avons deux séries de boucles pour $\lambda >0,$ et nous n’en avons plus pour $\lambda <0.$

Si tous les foyers étaient en talon, on pourrait répéter les mêmes raisonnements ; on trouverait qu’il y a deux séries de boucles pour $\lambda <0,$, et qu’il n’y en a plus pour $\lambda >0.$

375.Considérons une des séries de boucles définies dans le numéro précédent ; l’action calculée le long d’une de ces boucles variera avec la position du point $\mathrm {M} \,;$ elle aura au moins un maximum ou un minimum.

Je dis que, si l’action est maximum ou minimum, les deux arcs $\mathrm {MC}$ et $\mathrm {CD}$ se raccordent, de telle façon que la trajectoire $(\mathrm {T} ')$ est fermée et correspond à une solution périodique du deuxième genre.

En effet, supposons par exemple que la trajectoire $(\mathrm {T} ')$ corresponde au minimum de l’action et que l’angle $\mathrm {CMA}$ soit plus grand que l’angle $\mathrm {BMD}$ comme sur la figure ; prenons alors un point $\mathrm {M} _{1}$ à gauche de $\mathrm {M}$ et infiniment près de $\mathrm {M} ,$ construisons une boucle $(\mathrm {T} _{1}')$ infiniment peu différente de la boucle $(\mathrm {T} ')$ et ayant son point anguleux en $\mathrm {M} _{1}\,;$ soient $\mathrm {M} _{1}\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {M} _{1}\mathrm {D} _{1}$ deux arcs de cette boucle.

De $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {M} _{1},$ j’abaisse deux normales $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M} _{1}\mathrm {Q}$ sur $\mathrm {M} _{1}\mathrm {C} _{1}$ et sur $\mathrm {MD} .$

D’après un théorème bien connu, l’action le long de $(\mathrm {T} ')$ depuis le point $\mathrm {M}$ jusqu’au point $\mathrm {Q}$ sera égale à l’action le long de $(\mathrm {T} _{1}')$ depuis le point $\mathrm {P}$ jusqu’à $\mathrm {M} _{1}.$ On aura donc

$\operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')=\operatorname {action} (\mathrm {T} ')+\operatorname {action} (\mathrm {M} _{1}\mathrm {P} )-\operatorname {action} (\mathrm {MQ} )$

ou

$\operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')=\operatorname {action} (\mathrm {T} ')+\operatorname {action} (\mathrm {MM} _{1})(\cos \mathrm {CMA} -\cos \mathrm {BMQ} ),$

ou enfin

$\operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')<\operatorname {action} (\mathrm {T} '),$

ce qui est absurde, puisque $(\mathrm {T} ')$ a été supposé correspondre au minimum de l’action.

Si l’on supposait

$\mathrm {CMA} <\mathrm {BMD} ,$

on arriverait à la même absurdité en plaçant $\mathrm {M} _{1}$ à droite de $\mathrm {M} .$

On doit donc supposer

$\mathrm {CMA} =\mathrm {BMD} ,$

c’est-à-dire que les deux arcs se raccordent.

Le même raisonnement est applicable au cas du maximum.

Chaque série de boucles contient donc au moins deux trajectoires fermées.

Chacune de ces trajectoires fermées fait $k+2$ fois le tour de $(\mathrm {T} )$ et coupe $(\mathrm {T} )$ en $2p$ points. Pour $p$ d’entre eux, l’angle analogue à $\mathrm {CMA}$ est positif et, pour les $p$ autres, il est négatif ; et, en effet, la courbe $(\mathrm {T} ')$ étant fermée, doit couper $(\mathrm {T} )$ autant de fois dans un sens que dans l’autre.

Donc, cette trajectoire fermée peut être regardée comme une boucle de $2p$ manières différentes ; car nous pouvons regarder l’un quelconque de nos $2p$ points d’intersection comme le point anguleux ; pour $p$ de ces manières, la boucle ainsi définie appartiendra à la première série et pour les $p$ autres à la seconde.

Parmi les boucles de chaque série, il y en a donc non pas deux, mais au moins $2p$ qui se réduisent à des trajectoires fermées. Seulement on obtient ainsi non pas $4p,$ mais seulement deux trajectoires fermées distinctes.

Qu’il n’y en ait pas davantage en général, c’est ce qui ne résulte pas du raisonnement précédent, mais ce qu’on peut déduire des principes du Chapitre précédent.

La trajectoire $(\mathrm {T} ')$ ainsi définie aura ${\tfrac {1}{2}}(k+1)p$ points doubles si $k$ est impair et ${\tfrac {1}{2}}(k+2)p$ points doubles si $k$ est pair. Cela est vrai pour les petites valeurs de $\lambda \,;$ mais je dis que cela reste vrai quelque grand que soit $\lambda$ tant que $(\mathrm {T} ')$ existe. Et, en effet, le nombre des points doubles ne pourrait varier que si deux branches de la courbe $(\mathrm {T} ')$ venaient à être tangentes entre elles ; mais deux trajectoires ne peuvent être tangentes entre elles sans se confondre.

Pour la même raison, quelque grand que soit $\lambda ,$ tant que les deux trajectoires $(\mathrm {T} )$ et $(\mathrm {T} ')$ existeront, elles se couperont en $2p$ points.

376.Tous les raisonnements du numéro précédent supposent qu’il s’agit du mouvement absolu.

En voulant les étendre au cas du mouvement relatif, on rencontrerait des difficultés qui ne sont sans doute pas insurmontables, mais que je ne chercherai pas à surmonter.

Tout d’abord, il faudrait modifier la construction employée dans le numéro précédent. Au lieu de mener $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M} _{1}\mathrm {Q}$ normales à $\mathrm {M} _{1}\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {MD} ,$ voici ce qu’il faudrait faire. Pour construire $\mathrm {MP} ,$ par exemple, on construirait un cercle infiniment petit satisfaisant aux conditions suivantes : il coupe $\mathrm {M} _{1}\mathrm {C} _{1}$ en $\mathrm {P}$ et touche en ce point la droite $\mathrm {MP} ;$ la droite qui joint $\mathrm {M}$ au centre doit avoir une direction donnée et être dans un rapport donné avec le rayon. La droite $\mathrm {MP}$ ainsi construite jouit des mêmes propriétés qu’a la normale dans le mouvement absolu. Malheureusement cette construction peut dans certains cas entraîner une difficulté.

De plus l’action $(\mathrm {MM} _{1})$ n’est pas toujours positive ; si elle devenait nulle, le raisonnement se trouverait encore en défaut ; le maximum ou le minimum pourrait être atteint au point $\mathrm {M}$ tel que l’action $(\mathrm {MM} _{1})$ soit nulle, et cela sans que les arcs $\mathrm {MC}$ et $\mathrm {DM}$ aient besoin de se raccorder.

Nos raisonnements ne s’appliqueraient donc au cas du mouvement relatif que si l’action reste positive tout le long de $(\mathrm {T} ).$

Dans tous les cas, l’une des conclusions reste vraie ; la trajectoire fermée $(\mathrm {T} ')$ existe toujours puisque si le raisonnement du numéro précédent est en défaut, il n’en est pas de même de ceux des Chapitres XXVIII et XXX ; de plus $(\mathrm {T} ')$ coupe $(\mathrm {T} )$ en $2p$ points et possède ${\frac {p}{2}}(k+1)$ ou ${\frac {p}{2}}(k+2)$ points doubles.

Cela est vrai pour les petites valeurs de $\lambda ,$ mais je ne peux plus conclure que cela reste vrai quel que soit $\lambda \,;$ car deux trajectoires peuvent être tangentes sans se confondre, pourvu qu’elles soient parcourues en sens contraire.

Stabilité et instabilité.

377.Supposons qu’il y ait seulement deux degrés de liberté ; deux des exposants caractéristiques sont nuls, les deux autres sont égaux et de signes contraires.

L’équation qui a pour racines

$e^{\pm \alpha \mathrm {T} }$

est une équation du second ordre dont les coefficients sont réels ($\mathrm {T}$ représente la période et $\alpha$ l’un des exposants caractéristiques).

Ses racines sont donc réelles ou imaginaires conjuguées.

Si elles sont réelles et positives, les $\alpha$ sont réels et la solution périodique est instable.

Si elles sont imaginaires, les $\alpha$ sont imaginaires conjuguées ; comme le produit est égal à $+1,$ les $\alpha$ sont purement imaginaires et la solution périodique est stable.

Si elles sont réelles et négatives, les $\alpha$ sont imaginaires, mais complexes, la partie imaginaire étant égale à ${\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}\,;$ la solution périodique est encore instable.

Elles ne peuvent d’ailleurs être réelles et de signes contraires puisque le produit est égal à $+1.$

Il y a donc deux sortes de solutions instables, correspondant aux deux hypothèses

$e^{\alpha \mathrm {T} }>0,\quad e^{\alpha \mathrm {T} }<0.$

Le passage des solutions stables aux solutions instables de la première sorte se fait par la valeur

$\alpha =0.$

Le passage des solutions stables aux solutions instables de la seconde sorte se fait par la valeur

$\alpha ={\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}\cdot$

378.Étudions d’abord le passage aux solutions instables de la première sorte. Au moment du passage on a

$e^{\alpha \mathrm {T} }=1.$

Reprenons les quantités $\beta _{k}$ et $\psi _{k}$ définies au Chapitre III et envisageons l’équation

(1)

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{3}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{4}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0\,;$

cette équation a pour racines

$0,\quad 0,\quad e^{\alpha \mathrm {T} }\!-1,\quad e^{-\alpha \mathrm {T} }\!-1.$

Au moment du passage les quatre racines deviennent nulles.

Mais avant d’étudier ce cas simple où l’on a affaire à des équations de la Dynamique avec deux degrés de liberté, et où l’on suppose que la fonction $\mathrm {F}$ ne dépend pas du temps explicitement et que par conséquent les équations admettent l’intégrale des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$ avant, dis-je, d’étudier ce cas simple, il convient peut-être de nous arrêter un instant sur un cas plus simple encore.

Soit $\mathrm {F}$ une fonction quelconque de $x,\,y$ et $t,$ périodique de période $\mathrm {T}$ par rapport à $t\,;$ envisageons les équations canoniques

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,;\end{aligned}}$

ce sont les équations de la Dynamique avec un seul degré de liberté ; mais, $\mathrm {F}$ dépendant de $t,$ elles n’admettent pas l’équation des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

Supposons que ces équations (2) admettent une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ Les exposants caractéristiques nous seront donnés par l’équation suivante analogue à (1)

(3)

$\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

qui a pour racines

$e^{\alpha \mathrm {T} }-1,\quad e^{-\alpha \mathrm {T} }-1.$

Ces racines deviennent nulles toutes deux au moment du passage.

Supposons que $\mathrm {F}$ dépende d’un certain paramètre $\mu$ et que, pour $\lambda =0,$ les deux racines de l’équation (3) soient nulles. Les fonctions $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ dépendront non seulement de $\beta _{1}$ et de $\beta _{2},$ mais de $\mu .$ Nous supposerons que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de $\mu$ et que par conséquent $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ sont développables suivant les puissances de $\beta _{1},\,\beta _{2}$ et $\mu .$

Les solutions périodiques nous seront données par les équations

(4)

$\psi _{1}=0,\quad \psi _{2}=0.$

Pour $\mu =0,$ $\beta _{1}=\beta _{2}=0,$ le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est nul ; mais en général les quatre dérivées ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}$ ne s’annuleront pas à la fois. Supposons par exemple

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}\gtrless 0,$

on tirera de la première équation (4) $\beta _{1}$ en série développée suivant les puissances de $\beta _{2}$ et de $\mu$ et l’on substituera dans la seconde équation (4). Soit

(5)

$\Psi (\beta _{2},\mu )=0$

le résultat de la substitution. Notre déterminant fonctionnel étant nul, on aura

${\frac {d\Psi }{d\beta _{2}}}=0\,;$

mais deux cas sont à distinguer :

1^o La dérivée ${\frac {d\Psi }{d\mu }}$ n’est pas nulle, ou, en d’autres termes, le déterminant fonctionnel de $\psi _{1}$ et $\psi _{2},$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\mu ,$ n’est pas nul.

Dans ce cas, si l’on regarde $\beta _{2}$ et $\mu$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, la courbe représentée par l’équation (5) aura à l’origine un point ordinaire, où la tangente sera la droite $\mu =0.$

En général, la dérivée seconde

${\frac {d^{2}\Psi }{d\beta _{2}^{2}}}$

ne sera pas nulle, c’est-à-dire que l’origine ne sera pas un point d’inflexion pour la courbe (5).

Si nous coupons par la droite $\mu =\mu _{0},$ $\mu _{0}$ étant une constante assez petite, nous pourrons, suivant le signe de $\mu _{0},$ avoir deux points d’intersection de cette droite et de la courbe (5) dans le voisinage de l’origine ou n’en avoir aucun.

Si, par exemple, la courbe est au-dessus de sa tangente, nous aurons, pour $\mu _{0}>0,$ deux intersections et, par conséquent, deux solutions périodiques, pour $\mu _{0}<0$ nous n’en aurons aucune.

Nous voyons donc deux solutions périodiques se rapprocher l’une de l’autre, se confondre, puis disparaître.

Considérons les deux points d’intersection de la droite $\mu =\mu _{0}$ avec la courbe (5) ; ils correspondront à deux racines consécutives de l’équation (5) et, par conséquent, à deux valeurs de signes contraires de la dérivée ${\frac {d\Psi }{d\beta _{2}}},$ donc à deux valeurs de signes contraires du déterminant fonctionnel des $\psi _{i}$ par rapport aux $\beta \,;$ c’est-à-dire du produit

$\left(e^{\alpha \mathrm {T} }-1\right)\left(e^{-\alpha \mathrm {T} }-1\right)=2-e^{\alpha \mathrm {T} }-e^{-\alpha \mathrm {T} },$

c’est-à-dire de $\alpha ^{2}.$

Donc l’une des deux solutions périodiques qui se confondent ainsi pour disparaître, est toujours stable et l’autre instable.

2^o La dérivée ${\frac {d\Psi }{d\mu }}=0,$ ou, en d’autres termes, le déterminant fonctionnel de $\psi _{1}$ et $\psi _{2},$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\mu ,$ est nul.

La courbe (5) a alors à l’origine un point singulier qui, en général, sera un point double ordinaire.

Deux branches de courbe se coupent à l’origine, la droite $\mu =\mu _{0}$ rencontrera toujours la courbe en deux points ; nous aurons donc deux solutions périodiques, quel que soit le signe de $\mu _{0}.$

Les deux branches de courbe déterminent dans le voisinage de l’origine quatre régions ; dans deux de ces régions opposées par le sommet, $\Psi$ sera positif ; dans les deux autres, il sera négatif.

Soient $\mathrm {OP} _{1},\,\mathrm {OP} _{2},\,\mathrm {OP} _{3},\,\mathrm {OP} _{4}$ les quatre demi-branches qui aboutissent à l’origine ; $OP_{1}$ sera le prolongement de $\mathrm {OP} _{3}$ et $\mathrm {OP} _{2}$ de $\mathrm {OP} _{4}\,;$ $\mathrm {OP} _{1}$ et $\mathrm {OP} _{2}$ correspondront à $\mu _{0}>0\,;$ $\mathrm {OP} _{3}$ et $\mathrm {OP} _{4}$ à $\mu _{0}<0\,;$ la fonction $\Psi$ sera positive dans les angles $\mathrm {P} _{1}0\mathrm {P} _{2},$ $\mathrm {P} _{3}\mathrm {OP} _{4}$ et négative dans les angles $\mathrm {P} _{2}\mathrm {OP} _{3},$ $\mathrm {P} _{1}\mathrm {OP} _{4}.$

Nous venons de voir que la stabilité dépend du signe de la dérivée ${\frac {d\Psi }{d\beta _{2}}}\,;$ alors quand on franchira $\mathrm {OP} _{1},$ par exemple, $\Psi$ passera du négatif au positif ; la dérivée sera positive et la solution sera, par exemple, stable ; elle sera stable aussi quand on franchira $\mathrm {OP} _{4}\,;$ instable quand on franchira $0\mathrm {P} _{2}$ ou $\mathrm {OP} _{3}.$

Les solutions périodiques correspondant à $\mathrm {OP} _{1}$ sont stables et elles sont la suite analytique de celles qui correspondent à $\mathrm {OP} _{3}$ et qui sont instables.

Inversement celles qui correspondent à $0\mathrm {P} _{2}$ et qui sont instables sont la suite analytique de celles qui correspondent à $\mathrm {OP} _{4}$ et qui sont stables.

Nous avons donc deux séries analytiques de solutions périodiques qui, pour $\mu =0,$ se confondent, et à ce moment les deux séries échangent leur stabilité.

Nous venons d’étudier les deux cas les plus simples, mais une foule d’autres cas peuvent se présenter correspondant aux différentes singularités que peut présenter la courbe (5) à l’origine.

Mais, quelles que soient ces singularités, nous verrons rayonner autour de l’origine un nombre pair $p+q$ de demi-branches de courbes, à savoir $p$ du côté de $\mu >0,$ et $q$ du côté $\mu <0.$ Supposons qu’un petit cercle décrit autour de l’origine les rencontre dans l’ordre suivant

$\mathrm {OP} _{1},\quad \mathrm {OP} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p+q}.$

Soient

(6)

$\mathrm {OP} _{1},\quad \mathrm {OP} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p}$

celles qui correspondent à $\mu >0$ et

(7)

$\mathrm {OP} _{p+1},\quad \mathrm {OP} _{p+2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p+q}$

celles qui correspondent à $\mu <0.$

Alors les demi-branches (6) correspondent alternativement à des solutions périodiques stables et à des solutions instables ; je dirai pour abréger que ces demi-branches sont alternativement stables ou instables.

Il en est de même des demi-branches (7).

D’autre part $\mathrm {OP} _{p}$ et $\mathrm {OP} _{p+1}$ sont toutes deux stables ou toutes deux instables.

Il en est de même par conséquent de $\mathrm {OP} _{p+q}$ et $\mathrm {OP} _{1}.$

Soient donc $p'$ et $p''$ le nombre des demi-branches stables et celui des demi-branches instables pour $\mu >0$ de sorte que

$p'+p''=p.$

Soient $q'$ et $q''$ les nombres correspondants pour $\mu <0$ de sorte que $q'+q''=q,$ Il n’y a alors que trois hypothèses possibles

${\begin{aligned}p'&=p'',&q'&=q'',\\p'&=p''+1,&q'&=q''+1,\\p'&=p''-1,&q'&=q''-1.\end{aligned}}$

Dans tous les cas on a

$p'-p''=q'-q''.$

Supposons que $p$ ne soit pas égal à $q,$ et par exemple que $p>q$ de telle façon qu’un certain nombre de solutions périodiques disparaissent quand on passe de $\mu >0$ à $\mu <0\,;$ on voit d’abord que ce nombre est toujours pair et de plus d’après l’équation précédente, il disparaît toujours autant de solutions stables que de solutions instables.

Supposons maintenant que nous ayons une série analytique de solutions périodiques et que, pour $\mu =0,$ on passe de la stabilité à l’instabilité ou inversement (et cela de façon que l’exposant $\alpha$ s’annule). Alors $q'$ et $p''$ (par exemple) sont au moins égaux à 1. Donc $p'+q''$ est au moins égal à 2. D’où il suit qu’il y aura au moins une autre série analytique de solutions périodiques réelles se confondant avec la première pour $\mu =0.$

Donc si, pour une certaine valeur de $\mu ,$ une solution périodique perd la stabilité ou l’acquiert (et cela de telle façon que l’exposant $\alpha$ soit nul) c’est qu’elle se sera confondue avec une autre solution périodique, avec laquelle elle aura échangé sa stabilité.

379.Revenons maintenant au cas que je m’étais d’abord proposé de traiter, celui où le temps n’entre pas explicitement dans les équations, où par conséquent on a l’intégrale des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$ où enfin il y a deux degrés de liberté.

Je raisonnerai alors comme au n^o 317, je supposerai que la période de la solution périodique qui est $\mathrm {T}$ pour la solution qui correspond à $\mu =0,\,\beta _{i}=0,$ est égale à $\mathrm {T} +\tau$ et peu différente de $\mathrm {T}$ pour les solutions périodiques voisines ; et j’écrirai les équations

(1)

${\begin{aligned}\psi _{1}&=0,&\psi _{2}&=0,&\psi _{3}&=0,&\mathrm {F} &=\mathrm {C} _{0},&\beta _{1}&=0,\end{aligned}}$

où entrent les variables

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \mu ,\quad \tau .$

D’après nos hypothèses, le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ doit s’annuler ainsi que tous ses mineurs du premier ordre ; mais les mineurs du second ordre ne seront pas en général tous nuls à la fois.

Faisons donc $\beta _{1}=0$ dans les équations (1) et envisageons le déterminant fonctionnel $\Delta$ de

$\psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \psi _{3},\quad \mathrm {F}$

par rapport à

$\beta _{2},\quad \beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \tau .$

Ce déterminant s’annule quand les $\beta ,$ $\mu$ et $\tau$ s’annulent ; mais en général les mineurs du premier ordre ne s’annuleront pas.

Considérons en effet les déterminants fonctionnels de $\mathrm {F}$ et de deux des quatre fonctions $\psi ,$ par rapport à $\tau$ et à deux des quatre variables $\beta .$ Peuvent-ils être tous nuls à la fois ?

D’après la théorie des déterminants cela ne pourrait arriver :

1^o Que si tous les mineurs des deux premiers ordres du déterminant des $\psi$ par rapport aux $\beta$ étaient nuls, à la fois, ce qui n’arrive pas en général et ce que nous ne supposerons pas.

2^o Ou si les dérivées de $\mathrm {F}$ étaient toutes nulles à la fois ; nous avons vu au n^o 64 qu’elles devraient l’être tout le long de la solution périodique ; nous ne supposerons pas cela non plus.

3^o Ou enfin si les dérivées des $\psi$ et de $\mathrm {F}$ par rapport à $\tau$ étaient toutes nulles à la fois ; alors les valeurs

$\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=0$

correspondraient non pas à une solution périodique proprement dite, mais à une position d’équilibre (Cf. n^o 68).

Nous ne supposerons pas cela non plus.

Nous pouvons donc toujours supposer que tous les mineurs du premier ordre de $\Delta$ ne sont pas nuls.

Éliminons alors quatre de nos inconnues $\beta$ et $\tau$ entre les équations (1).

Éliminons par exemple $\beta _{1},\,\beta _{3},\,\beta _{4},\,\tau$ il restera une équation de la forme

$\Psi (\beta _{2},\mu )=0\,;$

cette équation étant tout à fait de même forme que l’équation (5) du numéro précédent se traiterait de la même manière et nous arriverions aux mêmes résultats :

1^o Quand des solutions périodiques disparaissent après s’être confondues, il en disparaît toujours un nombre pair et autant de stables que d’instables.

2^o Quand une solution périodique perd ou acquiert la stabilité quand on fait varier $\mu$ d’une façon continue (et cela de telle manière que $\alpha$ s’annule) on peut être certain qu’au moment du passage une autre solution périodique réelle de même période s’est confondue avec elle.

380.Passons au second cas, celui où

$\alpha ={\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}\cdot$

Alors, aucun des exposants caractéristiques ne s’annulant pour

$\mu =0,$

sauf les deux qui sont toujours nuls, il n’existe pas de solution périodique de période $\mathrm {T}$ se confondant avec la première pour

$\mu =0.$

Mais en revanche, en vertu des principes du Chapitre XXVIII, il existe des solutions périodiques du deuxième genre, de période $2\mathrm {T} ,$ qui, pour $\mu =0,$ se confondent avec la solution donnée dont la période est $\mathrm {T} .$

Que dirons-nous de leur stabilité ? Pour $\mu >0,$ nous aurons par exemple une solution stable de période $\mathrm {T}$ qui deviendra instable pour $\mu <0.$

Pour $\mu >0,$ soient $p'$ et $p''$ le nombre des solutions stables et celui des solutions instables qui admettent la période $2\mathrm {T}$ sans admettre la période $\mathrm {T} .$ Soient $q'$ et $q''$ les nombres correspondants pour $\mu <0.$

Considérant alors toutes les solutions de période $2\mathrm {T} ,$ qu’elles admettent ou non la période $\mathrm {T} ,$ et leur appliquant les principes du n^o 378, je reconnaîtrai que je puis faire au sujet de ces quatre nombres les trois hypothèses suivantes :

${\begin{aligned}p'+1&=p'',&q'&=q''+1,\\p'&=p'',&q'&=q''+2,\\2+p'&=p'',&q'&=q''.\end{aligned}}$

Mais si l’on se reporte aux principes du Chapitre XXVIII on verra que ces quatre nombres ne peuvent pas prendre toutes les valeurs compatibles avec les trois hypothèses. On trouvera au n^o 335 l’étude des cas les plus simples et les plus fréquents.

Application aux orbites de Darwin.

381.Dans le Tome XXI des Acta mathematica, M. G.-H. Darwin a étudié en détail certaines solutions périodiques. Il se place dans les hypothèses du n^o 9 et considère une planète troublante qu’il appelle Jupiter et à laquelle il attribue une masse dix fois plus petite que celle du Soleil. Cette planète fictive décrit autour du Soleil une orbite circulaire, et une petite planète troublée de masse nulle se meut dans le plan de cette orbite.

Il a reconnu ainsi l’existence de certaines solutions périodiques qui rentrent dans celles que j’ai appelées de première sorte et dont il a fait une étude détaillée. Ces orbites sont rapportées à des axes mobiles, tournant autour du Soleil avec la même vitesse angulaire que Jupiter ; dans le mouvement relatif par rapport à ces axes mobiles, ces orbites sont des courbes fermées.

La première classe d’orbites périodiques est celle que M. Darwin appelle celle des planètes $\mathrm {A} .$ L’orbite est une courbe fermée entourant le Soleil, mais n’entourant pas Jupiter. L’orbite est stable quand la constante de Jacobi est plus grande que 39 et instable dans le cas contraire. L’instabilité correspond à un exposant caractéristique ayant pour partie imaginaire ${\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}\cdot$

Donc pour les valeurs de la constante de Jacobi voisines de 39, il existe des solutions périodiques de deuxième genre dont la période est double.

L’orbite correspondante sera une courbe fermée avec un point double faisant deux fois le tour du Soleil. Les deux boucles de cette courbe sont très peu différentes l’une de l’autre et toutes deux peu différentes d’un cercle.

Nous étudierons plus loin, plus en détail, ces solutions du deuxième genre.

M. Darwin a trouvé également des satellites oscillants qu’il appelle $a$ et $b$ et qui sont ceux dont nous avons parlé au n^o 52. Ils sont toujours instables.

Enfin, il a trouvé des satellites proprement dits qui, par rapport au système d’axes mobiles envisagés, décrivent des courbes fermées entourant Jupiter, mais n’entourant pas le Soleil.

Pour C=40 (C est la constante de Jacobi), on n’a qu’un satellite $\mathrm {A}$ qui est stable. Pour C=39,5, le satellite $\mathrm {A}$ est devenu instable avec un exposant $\alpha$ réel ; mais nous avons deux satellites nouveaux $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ le second stable, le premier instable avec un exposant $\alpha$ réel. Pour C=39, on retrouve le même résultat ; pour C=38,5, le satellite $\mathrm {C}$ est devenu instable avec un exposant $\alpha$ complexe ${\Big (}$dont la partie imaginaire est ${\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}{\Big )}\,;$ enfin, pour C=38, on retrouve le même résultat.

Nous avons donc à envisager trois passages :

1^o Le passage du satellite $\mathrm {A}$ de la stabilité à l’instabilité ;

2^o L’apparition des satellites $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ;

3^o Le passage du satellite $\mathrm {C}$ de la stabilité à l’instabilité.

Les deux derniers passages ne soulèvent aucune difficulté.

Nous voyons apparaître simultanément deux solutions périodiques $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ d’abord très peu différentes l’une de l’autre ; l’une est stable et l’autre instable ; l’exposant $\alpha$ pour la solution instable est réel. Tout cela est conforme aux conclusions du n^o 378.

Le passage de la stabilité à l’instabilité du satellite $\mathrm {C}$ ne soulève pas non plus de difficulté ; car l’exposant $\alpha$ dans le cas de l’instabilité est complexe ; on se trouve donc dans les conditions du n^o 380. Il existe donc des solutions périodiques du deuxième genre, correspondant à des courbes fermées faisant deux fois le tour de Jupiter.

382.En revanche, le passage du satellite $\mathrm {A}$ de la stabilité à l’instabilité présente de grandes difficultés puisque dans le cas de l’instabilité, l’exposant $\alpha$ est réel. Il devrait donc y avoir, d’après le n^o 378, échange de stabilité, avec d’autres solutions périodiques correspondant à des courbes fermées faisant une seule fois le tour de Jupiter. C’est ce qui ne parait pas résulter des calculs de Darwin.

On est naturellement conduit à penser que les satellites $\mathrm {A}$ instables découverts par Darwin ne sont pas la continuation analytique de ses satellites $\mathrm {A}$ stables.

D’autres considérations conduisent au même résultat.

Les satellites $\mathrm {A}$ stables ont pour orbites des courbes fermées ordinaires ; les satellites $\mathrm {A}$ instables ont des orbites en forme de huit.

Comment aurait-on pu passer d’un cas à l’autre ? Ce ne peut être que par une courbe présentant un point de rebroussement ; mais au point de rebroussement la vitesse devrait être nulle, et, par raison de symétrie, ce point de rebroussement ne pourrait se trouver que sur l’axe des $x\,;$ il ne peut être entre le Soleil et Jupiter. En effet, dans la fig. 1, Darwin donne les courbes de vitesse nulle ; pour C>40,18, ces courbes coupent l’axe des $x$ entre le Soleil et Jupiter ; mais cela n’a plus lieu pour C<40,18 et le passage a lieu entre C=40 et C=39,5.

Il reste l’hypothèse que le point de rebroussement se trouve au delà de Jupiter ; mais celle-là non plus n’est pas satisfaisante. Comparons les deux orbites correspondant à C=40 et à C=39,5 ; la première coupe deux fois l’axe des $x$ à angle droit, une fois au delà de Jupiter, une fois en deçà ; soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ les deux points d’intersection ; de même, la seconde orbite, si on laisse de côté le point double, coupe deux fois l’axe des $x$ à angle droit, une fois au delà et une fois en deçà de Jupiter ; soient $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ les deux points d’intersection. Considérons le point d’intersection $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {P} '$ qui est au delà de Jupiter et voyons le signe de ${\frac {dy}{dt}}\,;$ nous verrons que pour une orbite comme pour l’autre ce signe est positif. Or ${\frac {dy}{dt}}$ aurait dû changer de signe au moment du passage par le point de rebroussement.

Le point $\mathrm {P} ,$ le point de rebroussement hypothétique, et le point $\mathrm {P} '$ ne peuvent donc pas être regardés comme la continuation analytique l’un de l’autre. Il faudrait alors supposer qu’à un moment donné, il y a eu échange entre les deux points d’intersection de l’orbite du satellite $\mathrm {A}$ et de l’axe des $x,$ celui qui est à droite passant à gauche et inversement. Rien dans l’allure des courbes construites par M. Darwin n’autorise une semblable supposition.

Donc, je conclus que les satellites $\mathrm {A}$ instables ne sont pas la continuation analytique des satellites $\mathrm {A}$ stables. Mais alors que sont devenus les satellites $\mathrm {A}$ stables ?

Sur ce point, je ne puis faire que des hypothèses et, pour pouvoir faire autre chose, il faudrait reprendre les quadratures mécaniques de M. Darwin. Mais si l’on examine l’allure des courbes, il semble qu’à un certain moment l’orbite du satellite $\mathrm {A}$ a dû passer par Jupiter et qu’ensuite il est devenu ce que M. Darwin appelle un satellite oscillant.

383.Étudions de plus près les planètes $\mathrm {A}$ et le passage de ces planètes de la stabilité à l’instabilité.

Les orbites de ces planètes correspondent à ce que nous avons appelé solutions périodiques de la première sorte (n^o 40). L’orbite à point double qui fait deux fois le tour du Soleil et qui diffère peu de celle de la planète $\mathrm {A}$ au moment où l’orbite de cette planète vient de devenir instable ; cette orbite à point double, dis-je, correspond à ce que nous avons appelé solutions périodiques de la deuxième sorte (47).

Et, en effet, si l’on applique aux solutions de la première sorte le procédé par lequel nous avons déduit les solutions périodiques du deuxième genre de celles du premier genre, on retombe précisément sur les solutions de la deuxième sorte.

Dans les solutions de la deuxième sorte, les moyens mouvements anomalistiques, peu différents des moyens mouvements proprement dits, sont dans un rapport commensurable. Nous devons donc nous attendre à ce que pour notre solution de la deuxième sorte (et, par conséquent, pour la planète $\mathrm {A}$ au moment du passage de la stabilité à l’instabilité), le rapport des moyens mouvements soit voisin d’un nombre commensurable simple et même ici, puisque l’orbite doit faire deux fois le tour du Soleil, il sera voisin d’un multiple de ${\tfrac {1}{2}}.$

En d’autres termes, au moment du passage, la quantité que M. Darwin appelle $n\mathrm {T} ,$ doit être voisine d’un multiple de $\pi .$

C’est, en effet, ce qui arrive ; les tableaux de M. Darwin nous donnent

C = 40	$\quad \mathrm {A}$ stable,	$\quad n\mathrm {T} {}$ = 154°,
C = 39,5	$\quad \mathrm {A}$ stable,	$\quad n\mathrm {T} {}$ = 165°,
C = 39	$\quad \mathrm {A}$ instable,	$\quad n\mathrm {T} {}$ = 177°,
C = 38,5	$\quad \mathrm {A}$ instable,	$\quad n\mathrm {T} {}$ = 191°.

On voit que le passage a dû se faire environ pour $n\mathrm {T} ={}$170°, et ce nombre est voisin de 180°.

Le moyen mouvement de la planète $\mathrm {A}$ est donc à peu près trois fois celui de Jupiter.

On pourrait songer à appliquer à l’étude de ces solutions de la deuxième sorte les principes du Chapitre XXX ; mais on rencontrerait des difficultés parce qu’on se trouve dans un cas d’exception. Il vaut mieux reprendre cette étude directement.

384.Reprenons les notations du n^o 313 et posons, comme dans ce numéro

${\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {R} +\mathrm {G} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots ,\\\mathrm {F} _{0}&={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\cdot \end{aligned}}$

La quantité $\mathrm {L}$ doit être de même signe que $\mathrm {G}$ (Cf. p. 200, in fine) et l’excentricité très petite ; comme $x_{1}$ est de l’ordre du carré de l’excentricité, cette variable sera également très petite.

Comme il ne s’agit que de déterminer le nombre des solutions périodiques et leur stabilité, nous pouvons nous contenter d’une approximation.

Nous négligerons donc $\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}$ et les termes suivants. Dans le terme $\mu \mathrm {F} _{1},$ nous ne tiendrons compte que des termes séculaires et des termes à très longue période et nous négligerons, en outre, les puissances supérieures de $x_{1}.$ Nous aurons ainsi

$\mathrm {F} _{1}=a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega ,$

où $a,\,b,\,c$ sont des fonctions de $x_{2}$ seulement et où $cx_{1}\cos \omega$ est le terme à très longue période conservé.

Les termes à très longue période sont les termes en $l+3g-3t,$ c’est-à-dire les termes en $2y_{2}-y_{1}\,;$ nous avons donc

$\omega =4y_{2}-2y_{1}.$

Il vient alors

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}+\mu (a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega )$

et nous pouvons appliquer la méthode de Delaunay.

Les équations canoniques admettent l’intégrale

$x_{2}+2x_{1}=k,$

d’où

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega ).$

Avec l’approximation adoptée, nous pouvons remplacer $a,\,b,\,c$ par

$a_{0}-2x_{1}a_{0}',\quad b_{0},\quad c_{0},$

en désignant par $a_{0},\,a_{0}',\,b_{0},\,c_{0}$ ce que deviennent $a,$ ${\frac {da}{dx_{2}}},$ $b,\,c$ quand on y remplace $x_{2}$ par $k.$

Ainsi

$\alpha =a_{0},\quad \beta =b_{0}-2a_{0}',\quad \gamma =c_{0}$

désignent des constantes dépendant de $k$ et nous avons

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (\alpha +\beta x_{1}+\gamma x_{1}\cos \omega ).$

Regardons $k$ comme une constante ; ${\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos {\frac {\omega }{2}},$ ${\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin {\frac {\omega }{2}}$ comme les coordonnées rectangulaires d’un point dans un plan et construisons la courbe

$\mathrm {F} '=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ désignant une seconde constante.

Cette courbe dépend ainsi des deux constantes $k$ et $\mathrm {C} .$ Si elle présente un point double, ce point- double correspondra à une solution périodique, qui sera stable si les deux tangentes au point double sont imaginaires, et instable si les deux tangentes sont réelles.

Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine ne correspondent pas à deux solutions périodiques véritablement distinctes.

Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l’un des axes de coordonnées, de telle sorte qu’on les trouvera tous en faisant

$\omega =0,\quad \omega =\pi .$

Si l’on fait

$\mathrm {C} ={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,$

la courbe $\mathrm {F} '=\mathrm {C}$ passe par l’origine et y présente un point double. Les tangentes au point double sont données par l’équation

${\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta +\mu \gamma \cos \omega =0.$

Si donc

(1)

${\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta >\mu \gamma$

les tangentes sont imaginaires. Si

(2)

$\mu \gamma >{\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta >-\mu \gamma ,$

les tangentes sont réelles. Si enfin

(3)

$-\mu \gamma >{\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta ,$

les tangentes sont de nouveau imaginaires.

Le coefficient $\beta$ est positif ; j’ai écrit les inégalités précédentes en supposant aussi $\gamma$ positif. Si $\gamma$ était négatif, on n’aurait d’ailleurs qu’à changer $\omega$ en $\omega +\pi .$

Le point double à l’origine correspond à la solution de la première sorte, c’est-à-dire à la planète $\mathrm {A}$ de M. Darwin. On voit que cette solution est stable quand les inégalités (1) ou (3) ont lieu et instable quand les inégalités (2) ont lieu.

Étudions maintenant les points doubles qui peuvent se trouver sur la droite $\omega =0.$

Si l’on fait $\omega =0,$ la fonction $\mathrm {F} '$ devient

(4)

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu \alpha +\mu x_{1}(\beta +\gamma )=\mathrm {C} .$

Si, laissant $k$ constant, on fait varier $x_{1}$ depuis $0$ jusqu’à $k,$ on voit que les maxima et minima de $\mathrm {F} '$ sont donnés par l’équation

(5)

${\frac {4}{(k-x_{1})^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu (\beta +\gamma )=0,$

laquelle admet une solution si l’inégalité (3) a lieu et n’en admet pas dans le cas contraire.

Si donc l’inégalité (3) n’a pas lieu, la fonction $\mathrm {F} '$ est constamment décroissante si elle a lieu ; la fonction $\mathrm {F} '$ d’abord croissante atteint un maximum et décroît ensuite.

Ce maximum correspond à un point double situé sur la droite $\omega =0,$ ou plutôt à deux points doubles symétriques par rapport à l’origine.

Mais il nous faut chercher combien nous trouvons de ces points doubles pour une valeur donnée de la constante $\mathrm {C} \,;$ l’équation (5) nous donne $x_{1}$ en fonction de $k\,;$ il faut en déduire $x_{1}$ en fonction de $\mathrm {C} .$

Or les équations (4) et (5) peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}&=0\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=0.\end{aligned}}$

Or on a, en négligeant les termes en $\mu ,$

${\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}=-1$

d’où

${\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}=-1,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&=0\,;&{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&={\frac {12}{(k-x_{1})^{4}}}=12\left({\frac {3}{8}}\right)^{\frac {4}{3}}\cdot \end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=1\,;&{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}$

d’où il résulte que $x_{1}$ est une fonction constamment décroissante de $\mathrm {C} .$

Donc pour une valeur de $\mathrm {C} ,$ nous avons seulement au plus un maximum, c’est-à-dire que nous avons au plus deux points doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine sur la droite $\omega =0.$

Soit donc $\mathrm {C} _{0}$ la valeur de $\mathrm {C}$ qui satisfait à la double égalité

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,\\{\frac {4}{k^{3}}}-&{\frac {3}{2}}+\mu (\beta +\gamma )=0\,;\end{aligned}}$

nous verrons que, pour $\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0},$ il n’y aura pas de point double sur la droite $\omega =0$ et que, pour $\mathrm {C} <\mathrm {C} _{0},$ il y en aura deux.

La même discussion est applicable au cas des points doubles situés sur la droite $\omega =\pi .$ Les valeurs de $x_{1}$ seront données par l’équation

(5 bis)

${\frac {4}{(k-x_{1})^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu (\beta -\gamma )=0,$

laquelle admet une solution si les inégalités (2) ou (3) ont lieu.

Si alors $\mathrm {C} _{1}$ est la valeur de $\mathrm {C}$ qui satisfait à la double égalité

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,\\{\frac {4}{k^{3}}}-&{\frac {3}{2}}+\mu (\beta -\gamma )=0,\end{aligned}}$

la condition pour qu’il existe deux points doubles sur la droite

$\omega =\pi ,$

c’est que $\mathrm {C} <\mathrm {C} _{1}.$

Nous remarquerons que $\mathrm {C} _{1}>\mathrm {C} _{0}\,;$ que $\mathrm {C} _{0}$ est la valeur de $\mathrm {C}$ pour laquelle on passe de l’inégalité (2) à l’inégalité (3) et que $\mathrm {C} _{1}$ est celle pour laquelle on passe de l’inégalité (1) à l’inégalité (2).

D’ailleurs en construisant les courbes, on reconnaît aisément que pour les points doubles situés sur $\omega =0$ les tangentes sont réelles et que, pour les points doubles situés sur $\omega =\pi ,$ elles sont imaginaires.

Nous pouvons donc résumer nos résultats comme il suit :

Premier cas

$\mathrm {C} >\mathrm {C} _{1}.$

L’inégalité (1) a lieu.

La solution de la première sorte (planète $\mathrm {A}$) est stable.

Il n’y a pas de solution de la deuxième sorte (orbite à point double).

Deuxième cas

$\mathrm {C} _{1}>\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0}.$

Les inégalités (2) ont lieu.

La solution de la première sorte est devenue instable. Il y a une solution de la deuxième sorte qui est stable.

Troisième cas

$\mathrm {C} <\mathrm {C} _{0}.$

L’inégalité (3) a lieu.

La solution de la première sorte est redevenue stable.

Il y a deux solutions de la deuxième sorte, l’une stable et l’autre instable : la première correspondant aux deux points doubles situés sur la droite $\omega =\pi ,$ et la seconde aux deux points doubles situés sur la droite $\omega =0.$

Ces conclusions sont vraies pourvu que $\mu$ soit suffisamment petit ; la valeur adoptée par M. Darwin, $\mu ={\tfrac {1}{10}},$ est-elle suffisamment petite ?

Je ne l’ai pas vérifié, mais cela semble très probable.

Il est donc vraisemblable que, si M. Darwin avait continué l’étude des planètes $\mathrm {A}$ pour des valeurs de $\mathrm {C}$ plus petites que 38, il aurait retrouvé des orbites stables.