Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/182

176

RECHERCHES

par l’application successive de ces polygones partiels les uns contre les autres ; en vertu du théorème démontré ; il devra jouir aussi de la même propriété.

De là résulte cette conséquence, savoir : que le plus petit nombre des triangles dans lesquels un polygone quelconque puisse être divisé, est toujours inférieur de deux unités au nombre de ses côtés.

4. Cette conséquence, et le principe d’où, elle dérive, ne sont vrais, au surplus, qu’autant que le polygone est terminé par une seule ligne continue. On ne pourrait l’appliquer, par exemple, au polygone annulaire ou couronne polygonale, c’est-à-dire, à l’espace plan compris entre deux polygones décrits l’un dans l’autre.

Soient $m$ et $m'$ les nombres de côtés des polygones extérieur et intérieur bornant la couronne. Tondis que la somme des angles du premier devra être estimée $2(m-2)\Delta ,$ la somme des angles du second devra être estimée $4m'\Delta -2(m'-2)\Delta$ ou $2(m'+2)\Delta$ ; la somme des angles intérieurs de la couronne sera donc $2(m+m')\Delta ,$ c’est-à-dire, autant de fois deux angles droits qu’elle aura de côtés ; elle ne pourra donc être divisée en un moindre nombre de triangles.

En général, un espace plan peut être compris entre $n$ polygones, extérieurs les uns aux autres, et un polygone qui les enferme tous. Si $M$ est le nombre total des lignes droites qui terminent cet espace, la somme de ses angles intérieurs sera $2[M+2(n-1)]\Delta .$

5. Je reviens au mémoire de M. Lhuilier. L’auteur établit pour troisième proposition que, si un corps est composé d’un nombre quelconque de pyramides, ayant un sommet commun ; de manière que ces pyramides soient appliquées, deux à deux, par des faces latérales communes ; le nombre des faces de ce corps augmenté du nombre de ses angles solides surpassera de deux unités le nombre de ses arêtes. Cette proposition est, en effet, une conséquence nécessaire et évidente de ce qui a été démontré (1 et 2).

M. Lhuilier observe ensuite que, bien que la démonstration de cette proposition suppose que chaque nouvelle pyramide qu’on introduit ne s’applique au corps formé de la réunion des autres que