par une seule face latérale, elle aura lieu également, si la coïncidence a lieu pour un plus grand nombre de faces de la nouvelle pyramide introduite.
En supposant, en effet, que cette coïncidence s’opère par faces latérales consécutives, au lieu de s’opérer par une seule ; il en résultera, dans le solide total, une diminution de faces, de angles solides et de arêtes ; se changeront donc respectivement en ce qui ne changera rien à l’équation Ce raisonnement s’appliquant évidemment au cas où la dernière pyramide coïnciderait avec l’avant-dernier solide par toutes ses faces latérales, en remplissant un creux pyramidal qui y serait resté ; je me dispenserai de transcrire ici ce que M. Lhuilier dit en particulier, relativement à ce cas. Je ne dirai rien non plus du cas on la réunion de deux pyramides amènerait leurs bases à ne plus former qu’un seul plan ; d’autant qu’en complétant, comme je l’ai fait, la démonstration de la deuxième proposition de M, Lhuilier, l’examen particulier de ce cas devient absolument superflu.
6. De tout ce qui précède résulte évidemment que, dans tout polyèdre, le nombre des faces augmenté du nombre des angles solides, surpasse de deux unités le nombre des arêtes, toutes les fois, du moins, que ce polyèdre pourra être considéré comme composé de pyramides ayant un sommet commun ; ce qui aura lieu pour tout polyèdre convexe, et plus généralement pour tout polyèdre dans l’intérieur duquel il y aura au moins un point par lequel il sera impossible de faire passer une droite qui rencontre sa surface en plus de deux points. Mais, en appliquant à la proposition (2) un raisonnement analogue à celui qui a été fait (3), pour les polygones, on parviendra aisément à se convaincre que le Théorème d’Euler est vrai généralement, pour les polyèdres convexes ou non convexes, sauf les exceptions dont il sera parlé ci-après.
7. Ce théorème est, au surplus, susceptible d’une démonstration qui, sans être plus longue que celle de M. Legendre, a sur elle l’avan-
