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FONCTIONS

ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques ;

Par M. Gergonne.

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Le théorème dont je vais m’occuper ici, et que Newton a donné le premier, sans démonstration, peut être énoncé en ces termes :

Il y a entre les sommes de puissances semblables de plusieurs quantités et leurs sommes de produits deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., des relations soumises à une loi régulière, et telles que les premières peuvent être exprimées en fonctions rationnelles et entières des dernières, et réciproquement.

Ce théorème étant proprement du domaine de la théorie des combinaisons, je vais en donner une démonstration fondée uniquement sur cette théorie, et qui me paraît plus courte et plus simple que celles que l’on déduit de la théorie des équations.

Soit $a,b,c,\ldots$ des quantités quelconques, au nombre de $m.$ Soient généralement désignées par $S_{n}$ la somme de leurs n^mes puissances, et par $P_{n}$ la somme de leurs produits $n$ à $n$ ; on aura $S_{0}=m,\ S_{1}=P_{1},\ P_{m+k}=0.$ Soient, en outre, désignées par $A_{n}$ la somme de ceux de leurs produits $n$ à $n$ où $a$ n’entre pas, par $B_{n}$ la somme de ceux de ces produits ou $b$ n’entre pas, et ainsi de suite, ce qui donnera $A_{m}=0,\ B_{m}=0,\ldots$

Ces notations admises, il est facile de se convaincre qu’on doit avoir généralement