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SYMÉTRIQUES.
![{\displaystyle P_{n}=A_{n}+aA_{n-1}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feae9cc258026bf2e6af6a5b410474aeef3603d5)
(1)
car, en prenant, au hasard, un produit de
des lettres données,
s’il renferme
il se trouvera dans
et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas
il se trouvera dans
et ne s’y
trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que
contient,
et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits
à
et
est conséquemment égal à ![{\displaystyle P_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a9a5ad583cfce82782ab280c38516688dff442)
Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,
![{\displaystyle A_{n}+B_{n}+C_{n}+\ldots =(m-n)P_{n}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc08a0e0f24cf9916da2f8724e67947519bcef4)
(2)
en effet, si chacune des quantités
était précisément
la somme des produits des quantités
prises
à
leur
somme serait égale à
fois la somme de ces produits, c’est-à-dire,
à
; mais, parce que ces produits ont
facteurs, chacun d’eux
doit manquer, à son tour, dans
des quantités
La somme
doit donc renfermer
fois la somme
des produits
à
moins
fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle
doit être égale à
fois la somme de ces produits ou, ce qui revient
au même, à ![{\displaystyle (m-n)P_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2953ad309d31f499d0357535aafb56419b8a9eb5)
Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici,
lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre
que
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=A_{1}+a,\\P_{2}&=A_{2}+aA_{1},\\P_{3}&=A_{3}+aA_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\P_{n}&=A_{n}+aA_{n-1}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16481930009999ecbbfb70588c480b0b2dc714c5)
on en conclura facilement, en réduisant,
![{\displaystyle a^{n}-P_{1}a^{n-1}+P_{2}a^{n-2}-P_{3}a^{n-3}+\ldots \pm P_{n}=\pm A_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a8aa355ca711e13d2b8beb0c42bf9ab82b423)
on aurait pareillement