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ET DU PLAN.
trémités par une droite on formera un triangle reetiligne, dans lequel on aura, par ce qui précède,
![{\displaystyle r^{2}+r'^{2}-rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&(x-x')^{2}+2(y-y')(z-z')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&(y-y')^{2}+2(z-z')(x-x')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&(z-z')^{2}+2(x-x')(y-y')\operatorname {Cos} .(x,y)\\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0367d8388a5636301280b5f67f66ddca8f6d8c)
En substituant pour
leurs valeurs
ayant égard aux relations (R), (R′), réduisant et divisant par
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&aa'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&bb'+(ca'+ac')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&cc'+(ab'+ba')\operatorname {Cos} .(x,y)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21715f2ab2783593ddcc658e1b83782f14f6e629)
(1)
Si, au moyen des conditions (1), on fait successivement coïncider la droite
avec chacun des axes, on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(r,x)=&a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x),\\\operatorname {Cos} .(r,y)=&b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y),\\\operatorname {Cos} .(r,z)=&c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z),\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fe98c5922067ddbf38cd08a25046b2ea83bd64)
(2)
mais l’équation de relation (R) peut être écrite ainsi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&a\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&b\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&c\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5cf6b5860f0661f941e538d55629ca47f891ab3)
elle pourra donc (2) être remplacée par celle-ci
![{\displaystyle a\operatorname {Cos} .(r,x)+b\operatorname {Cos} .(r,y)+c\operatorname {Cos} .(r,z)=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340618090034cd192c5c6f046d964d07ab970bc4)
(3)
Pareillement, on peut écrire ainsi la formule (1)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&a'\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&b'\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&c'\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa45545fc7df066a90f8753ede3443759d1f812e)
on pourra donc (2) lui substituer celle-ci