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SPHÉRIQUE.
![{\displaystyle S'>S+C'Am'\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b57afc9e00943c1e79e65d9c630ef04044fcb67)
et
![{\displaystyle \qquad S'<S+CAm\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c889b626f240f3846fb831d8e1c869c0771c59)
mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que
sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux
et
font partie, nous aurons
![{\displaystyle CAm=i(1-\operatorname {Cos} .b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9821b8d9c50b4b7fd2e5f840bf9197ee5eedc94)
![{\displaystyle C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b')=i\left\{1-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .Mi+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .Mi\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34702426c7a8609ae599fd60216adebcc1c963d)
mais, on a d’ailleurs
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .Mi=1-{\frac {M^{2}i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \operatorname {Sin} .Mi={\frac {Mi}{1}}-{\frac {M^{3}i^{3}}{1.2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db30f83ed013c85cf4b55e26eb846ed83ff1e3e)
d’où, l’on voit qu’en substituant,
prendra cette forme
![{\displaystyle C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b+Ni).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b818d59d417c872c2f499ab2a48132814909162)
Ainsi, en résumé, l’on aura
![{\displaystyle S'<S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95456f143fe9f3970a070b59adf4e07bca338b14)
![{\displaystyle S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83af7ea2ad08b89db3b0200ec0c88a7769c65d9e)
![{\displaystyle S'>S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}}+2N{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ce5d62a7b43496ca1d6359478c7d8f40ed0d4d)
d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}=1-\operatorname {Cos} .b.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e183405c32e8d98edf88e5fdfb979335b946dcb8)
Présentement on a, par les formules connues
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .c={\frac {\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7483a0575eca490e709c6f4efc33ea6ca56d1b)
ce qui donne, à cause de
et
constans et de
fonction de ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A+(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b0b8ff89f161aa2d06e4a6a40eb63859d43c66)
Mais, on a aussi
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c368e6a8de401300c730fb28933bb183ab4707c7)
donc, en substituant et divisant par ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e021ed60001ec1c2d4fd6769d417886d9052def)