131
LOXODROMIE.
![{\displaystyle b\operatorname {d} t\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {\operatorname {d} r.{\sqrt {(a^{2}-b^{2})r^{2}+b^{4}}}}{r{\sqrt {b^{2}-r^{2}}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402c1647b670a0f94ec7bf6f8095726161e0961)
(IX)
équation séparée, qu’il s’agit présentement d’intégrer.
Pour faire disparaître le radical du numérateur, posons d’abord
![{\displaystyle {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2484fb6ed533446c8ef8f635369350fa4c783d7f)
ce qui donnera, en quarrant et réduisant
![{\displaystyle \left(a^{2}-b^{2}\right)r=rx^{2}+2b^{2}x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e34776d7555096bd4d2d1655515be01396d9768)
d’où on tirera
![{\displaystyle r={\frac {2b^{2}x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b892f84745ce21c41b9380c1b22855c97041044e)
donc
![{\displaystyle {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}=b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdc1d67c50f674a0ab4615aee68b875e4990cf4)
![{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-r^{2}}}={\frac {b{\sqrt {(a^{2}-b^{2})^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a5687b7951a4344ce0a2a81b3bcf7cf3910741)
![{\displaystyle \operatorname {d} r=2b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left[\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right]^{2}}}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f3f7e69234c11bab7b436ab9820b324b2a4cfc)
Substituant ces valeurs dans l’équation (IX), elle pourra être mise
alors sous la forme
![{\displaystyle 2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {2x\operatorname {d} x.\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}\right\}^{2}}{x^{2}\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right\}{\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094626748e03bd58fc3aca5f3ea4109d8f68e1cb)
posant ensuite
d’où
elle se réduira à
![{\displaystyle 2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+y\right\}^{2}\operatorname {d} y}{y\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-y\right\}{\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633d509662b889fd06ecd20e1034e198c3125ecd)
(X)
Pour rendre cette dernière formule rationnelle, nous poserons