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PROBLÈMES.

Supposons présentement que $m$ soit impair, il sera de l’une de ces trois formes $6k+1,6k+3,6k+5.$

Dans le premier cas, la dernière colonne du tableau n’aura qu’une seule ligne, qui sera

$2k,2k,2k+1,\quad$ou$\quad {\frac {m-1}{3}},{\frac {m-1}{3}},{\frac {m+2}{3}}\,;$

la série aura donc ${\frac {m-1}{3}}$ termes, et son dernier terme sera l’unité ou ${\frac {2}{2}}\,;$ cette série sera donc

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots +6+2\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-7)+(m-13)+(m-19)+\ldots +6\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-5)+(m-11)+(m-17)+(m-23)+\ldots +2\right\},$

c’est-à-dire, en deux progressions par différences, ayant, l’une et l’autre, ${\frac {m-1}{6}}$ termes, et dont la raison commune est $6$ : on aura donc, pour la réunion de leurs sommes de termes

${\frac {1}{2}}.{\frac {m-1}{6}}\left\{{\frac {m+5}{2}}+{\frac {m-3}{2}}\right\}={\frac {(m-1)(m+1)}{12}}={\frac {m^{2}-1}{12}}\,;$

et ce sera là le nombre des solutions du problème.

Si $m,$ toujours impair, est de la forme $6k+3,$ la dernière colonne n’aura qu’une ligne, qui sera

$2k+1,2k+1,2k+1,\quad$ou$\quad {\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}}\,;$

la série aura donc ${\frac {m}{3}}$ termes, dont le dernier sera l’unité ou ${\frac {2}{2}}\,;$ cette série sera donc