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DÉVELOPPEMENT

$z=z_{0}\left[1-a\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}1+a^{2}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-2}1-a^{3}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-3}1+\ldots \right.$

$+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u-a\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-2}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u+a^{2}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-3}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u-\ldots \,;$

d’où, en comparant avec le développement de l’équation (h), ordonné suivant les puissances de $a,$ on conclura

$(-1)^{n-1}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-n}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u$

$=\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left\{{\frac {y-k}{2}}.{\frac {y-k+1}{2}}\ldots {\frac {y-k+n-2}{n-1}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u\right\}\,;$

d’où, enfin,

$u=u_{0}+{\frac {y}{1}}{\frac {\Delta }{x}}u_{0}+{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{2}u_{0}+{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}.{\frac {y-2}{3}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{3}u_{0}+\ldots$

$+{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}\ldots {\frac {y-n+2}{n-1}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n-1}u_{0}$

$+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left\{{\frac {y-k}{2}}.{\frac {y-k+1}{2}}\ldots {\frac {y-k+n-2}{n-1}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u\right\}(-1)^{n-1}$

ce qui achève de compléter l’analogie qu’on avait déjà remarquée entre la formule ordinaire d’interpolation et le théorème de Taylor.

Reprenons l’équation

$u=u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}u\,;$

l’on en déduira

$\left({\frac {\rm {E}}{y}}\right)^{r}\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u=\left({\frac {\rm {E}}{y}}\right)^{r}\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u_{0}+\left({\frac {\rm {E}}{y}}\right)^{-r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u\,;$

ou encore, en observant que, dans le cas actuel, on a

$\left({\frac {\rm {E}}{y}}\right)^{r}\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u=u\quad$et$\quad \left({\frac {\rm {E}}{y}}\right)^{r}\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u_{0}=\left({\frac {\rm {E}}{x}}\right)^{-r}u_{0},$