307
FONCTIONS.
![{\displaystyle u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c6d491a469e31c51fa316d39118d7e076896de)
On trouverait absolument de la même manière
![{\displaystyle u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r'}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r'}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r'}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d959d87566d5611f0078f92947b55c3edc2a084)
![{\displaystyle u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r''}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r''}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r''}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2a39e107ca8e531b33465590f109e5e7b81742)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En suivant donc la marche qui, des équations (1), nous a déjà conduit à la formule (2), nous déduirons de celles-ci
![{\displaystyle u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-(r+r')}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbb6dd2f0dbb4161570a03c1c6dc46ce63c367a)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r'}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-(r+r'+r'')}u+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0d6481213972c64ed45d08db5f7186a39f3d0)
en ayant du moins égard aux propriétés commutatives des caractéristiques qu’elles renferment.
En donnant à
des valeurs particulières, on parviendrait à une infinité de formules différentes qui, combinées entre elles, conduiraient à une infinité d’autres, dont quelques-unes se trouvent déjà dans les divers traités de calcul aux différences finies.
En général,
étant toujours une fonction de
si l’on fait
![{\displaystyle \bigtriangledown u=au+a_{1}{\frac {\operatorname {E} }{y}}u+a_{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{2}u+\ldots +a_{m}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{m}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87d56dc03467e977ba6705e9abc583c49b42bf9)