Si donc nous représentons généralement par
la somme des termes du
me degré de ce développement, nous aurons
(16)
Supposons présentement que toutes les lettres
deviennent égales entre elles et à
que les facteurs du premier membre sont au nombre de
et représentons généralement par
le nombre des produits de
facteurs que l’on peut faire avec
sortes de facteurs donnés, en admettant dans chaque produit la répétition d’une même sorte de facteur autant de fois qu’on voudra ; on aura ainsi
![{\displaystyle S_{1}=P_{1}z,\quad S_{2}=P_{2}z^{2},\quad S_{3}=P_{3}z^{3},\ldots S_{n}=P_{n}z^{n},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cd8f5bb7c5e7c8decdd68e9ed09efe18679bc9)
et en conséquence l’équation (16) deviendra
![{\displaystyle \left(1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots \right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f208dc7f27f5ec403e3c6661a4e9e9f3ee79a455)
ou
![{\displaystyle \quad \left({\frac {1}{1-z}}\right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b7583160f90934d21094b2f80e8c8233230d1d)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{(1-z)^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb60db6a81a483fd7a448c3346fc6e599745c8f5)
ou enfin
![{\displaystyle (1-z)^{m}=1+P_{1}z^{1}+P_{2}z^{2}+P_{3}z^{3}+\ldots +P_{n}z^{n}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c8ebae984eaabdb2f30ee6963369160ecf54e1)
(17)
voyons quelles sont les valeurs de
en fonction de
et pour cela cherchons d’abord comment
peut se déduire de ![{\displaystyle P_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a8a098ef0809446ff6d5474ad26722c08379f4)
Distinguons dans
les termes qui contiennent un ou plusieurs facteurs égaux à
et ceux qui sont indépendans de cette lettre. Si dans ceux de la première sorte on supprime un facteur
on obtiendra évidemment
de sorte que l’ensemble de ces termes revient à
et que conséquemment leur nombre est
Si, dans ces mêmes termes affectés de
on met tour à tour à la place de
ou de ses puissances, les mêmes puissances de chacune des
autres lettres, on formera un nombre de termes