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obtient, au contraire, une loi très approchée en procédant de la façon suivante :

Ajoutant les séries (1) et (2), on obtient

$h+l=2a+{\frac {2m^{2}}{4\pi a}}-{\frac {2m^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}+{\frac {m^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}-\ldots$.

Multipliant cette série par la série (3), on a

$hl(h+l)=2a^{3}-{\frac {2(\pi -3)am^{2}}{4\pi }}-{\frac {(12\pi -30)m^{4}}{96\pi ^{2}a}}+\ldots$,

ou environ

$hl(h+l)=2a^{3}-0{,}0225a\,m^{2}-0{,}0081{\frac {m^{4}}{a}}+\ldots$.

On peut poser en seconde approximation

$hl(h+l)=2a^{3}$.

L’erreur est très faible lorsque $m$ n’a pas une grande valeur, ce qui est le cas ordinaire. Par exemple, si ${m=a}$, l’erreur du second membre est inférieure à 2/100.

La loi de seconde approximation peut s’énoncer en langage ordinaire d’une façon très simple :

On multiplie la prime par son écart. On additionne la prime et son écart.

Le produit des deux nombres est le même pour toutes les primes relatives à la même échéance.

44. Pour donner une idée de l’approximation obtenue par les formules précédentes, plaçons-nous dans les conditions les plus défavorables qu’on puisse rencontrer pratiquement, et supposons qu’il s’agisse de déterminer l’écart d’une très petite prime, ${h={\frac {a}{3}}}$.

La formule de première approximation du n^o 42 donne la valeur beaucoup trop grande ${l=3a}$.

La formule de seconde approximation du n^o 43 conduit à la valeur 2,28$a$.