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Les quantités $\mathrm {P} _{c,b}$ et $\mathrm {P} _{b,c}$ sont les probabilités du troisième genre.

78. La probabilité pour que le cours $-b$ soit atteint dans l’intervalle de temps $t$, les variations en hausse n’ayant jamais atteint le cours $c$, s’obtiendra en remplaçant dans la formule précédente $b$ par $c$ et $c$ par $b$. La probabilité pour que, jusqu’à l’époque $t$, le cours ne soit pas sorti de l’intervalle $-b,+c$, est

$1-\mathrm {P} _{b,c}-\mathrm {P} _{c,b}$.

79. Probabilité élémentaire. — En différentiant par rapport à $t$ la formule

$\mathrm {P} _{b,c}=\mathrm {P} _{b,\infty }-\mathrm {P} _{b+2c,\infty }+\mathrm {P} _{3b+2c,\infty }-\mathrm {P} _{3b+4c,\infty }+\ldots$,

on obtient la probabilité pour que le cours $-b$ soit atteint pour la première fois à l’époque $t$, les variations en hausse n’ayant pas précédemment atteint le cours $c$,

$\Pi _{b,c}=\Pi _{b,\infty }-\Pi _{b+2c,\infty }+\Pi _{3b+2c,\infty }-\Pi _{3b+4c,\infty }+\ldots$.

Les probabilités élémentaires $\Pi$ se calculent par la formule (n^o 67)

$\Pi _{b,\infty }={\frac {b\varphi '(t)\mathbf {e} ^{-{\frac {b^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}\,\varphi (t){\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} t$.

Les probabilités du troisième genre s’expriment donc par des séries de probabilités du second genre.

80. Si aucune limite n’est fixée pour le temps, c’est-à-dire si ${t=\infty }$ on a

$\mathrm {P} _{c,b}={\frac {b}{c+b}}$,$\mathrm {P} _{c,b}={\frac {c}{c+b}}$.

81. Applications. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d’un grand nombre d’applications intéressantes :

1^o Si l’on suppose ${b=c=a=k{\sqrt {t}}}$, $\mathrm {P} _{a,a}$ est égal à 0,498. La