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CORRESPONDANCE
SUR
L’ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,
Rédigée par M. Hachette.

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N°. I^er. Janvier 1810. (2^e. volume.)

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§. I^er
ANALYSE.

Sur les Équations différentielles des Courbes du second degré ;

Par M. Monge.

L’équation aux différences premières ordinaires à la ligne droite est toujours de la forme $\left({\text{faisant}}{\frac {dy}{dx}}=p.\right)$

$F(y-px,p)=0.$

et son intégrale se trouve en mettant dans cette équation la cons. tante arbitraire $a$ à la place de $p$, c’est-à-dire que l’intégrale complète est

$F(y-ax,a)=0.$

Ce seroit, je pense, une entreprise inutile de chercher de semblables résultats pour les courbes des différens degrés, principalement parce qu’à l’inspection d’une équation différentielle on ne peut reconnoître si elle appartient à une courbe algébrique, ni de quel degré est cette courbe. Mais les courbes du second dengré sont si simples, et se présentent si fréquemment dans la nature, qu’il peut être de quelqu’utilité de le faire pour elles.

L’équation générale des courbes du second ordre est de la forme

$(A)Ay^{2}+2Bxy+Cx^{2}+2Dy+2Ex+1=0$

et contient les cinq constantes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Si l’on différencie cette équation cinq fois consécutives, pour arriver aux dif-