férences du cinquième ordre, on aura cinq nouvelles équations, entre lesquelles et (), on peut éliminer les cinq constantes considérées comme arbitraires. Et en faisant
on trouve pour équation générale, délivrée de toutes les constantes :
c’est cette équation qui appartient à toutes les courbes du second degré, et qui les exprime toutes, quelles que puissent être les cinq constantes.
Cela posé, soit proposée une équation aux différences ordinaires, qui n’excède pas le quatrième ordre : il est facile de reconnoître si elle appartient à une courbe du deuxième degré : pour cela, il suffit de la différencier successivement jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux cinquièmes différences, et de s’assurer si la proposée, au moyen de ses différentielles, satisfait à l’équation générale . Si cela a lieu, la proposée appartient en effet à une courbe du second degré, et son intégrale complète est l’équation dans laquelle il y a autant de constantes de trop qu’il a fallu différencier de fois pour arriver aux cinquièmes différences ; il faut donc déterminer les constantes surnuméraires pour que l’intégrale ne soit plus l’équation de toutes les sections coniques, mais seulement celle des sections coniques auxquelles appartient la proposée.
Pour cela, il faut différencier l’intégrale plusieurs fois successivement, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à l’ordre de la proposée ; ensuite, au moyen de ces différentielles successives, éliminer de la proposée toutes les quantités etc. ; il ne restera plus qu’une équation en et il faudra trouver entre les cinq constantes les relations qui satisferont à cette équation. Sur quoi il faut observer que si cette équation avoit plusieurs facteurs, le facteur utile sera celui qui, pour devenir nul par lui-même, exigera précisément le nombre de relations entre les constantes, égal au nombre des constantes surnuméraires.
L’équation générale des cercles est dont la différentielle délivrée des trois constantes et du troisième ordre est :
Pour s’assurer si cette équation, considérée comme la pro-
