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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

membres, il viendra

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[x_{i}^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p}\right],\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}+\mathrm {V} _{i}^{p}\right]-n_{i}^{p},\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[x_{i}'^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {X} _{i}'^{p}+\mathrm {Z} _{i}'^{p}+\mathrm {U} _{i}'^{p}\right],\\{\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}\,{\frac {d[y_{i}'^{p-1}]}{dw'_{k}}}&=\left[\mathrm {Y} _{i}'^{p}+\mathrm {T} _{i}'^{p}+\mathrm {V} _{i}'^{p}\right]-n_{i}'^{p}.\end{aligned}}\right.$

Les premiers membres doivent être supprimés pour $p=1.$

Voyons comment ces équations (6) et (7) nous permettront le calcul des coefficients du développement (2).

Dans les équations (6) faisons d’abord $p=0.$ Il vient (puisque

$\mathrm {Z} _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{0},\quad \ldots ,\quad$ sont nuls

et que les premiers membres doivent être supprimés, ainsi que je l’ai dit plus haut)

${\begin{aligned}0&=0,&\mathrm {Y} _{i}^{0}&=n_{i}^{0},&\mathrm {Y} _{i}'^{0}&=n_{i}'^{0}.\end{aligned}}$

Ces équations nous donnent les valeurs des $n_{i}^{0}$ qui, d’ailleurs, nous sont déjà connues et nous apprennent que les $n_{i}'^{0}$ sont nuls, puisque les $\mathrm {Y} _{i}'^{0}$ le sont.

Considérons maintenant les équations (7) en y faisant $p=1,$ il viendra (en observant que $\mathrm {Z} _{i}^{1},$ $\mathrm {U} _{i}^{1},\,\ldots$ sont nuls)

(8)

$\left\{{\begin{array}{c}{\big [}\mathrm {X} _{i}^{1}{\big ]}={\big [}\mathrm {X} _{i}'^{1}{\big ]}=0,\\{\big [}\mathrm {Y} _{i}^{1}{\big ]}=n_{i}^{1},\qquad {\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{1}{\big ]}=n_{i}'^{1}.\end{array}}\right.$

Pour interpréter ces équations, il convient de rechercher ce que c’est que les quantités $\left[\mathrm {X} _{i}^{1}\right],\,\ldots .$ Pour avoir $\mathrm {X} _{i}^{1},$ $\mathrm {X} _{i}'^{1},$ et $\mathrm {Y} _{i}'^{1},$, il faut envisager les dérivées

${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy'_{i}}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}},$

et y remplacer les $x_{i},$ les $x'_{i},$ les $y_{i}$ et les $y'_{i},$ par $x_{i}^{0},$ $x_{i}'^{0},$ $w_{i},\,w'_{i}.$

Soit $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ le résultat de cette substitution dans $\mathrm {F} _{1},$ on aura

${\begin{aligned}x_{i}^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw_{i}}},&x_{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw'_{i}}},&\mathrm {Y} _{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}'^{0}}},\\&&\left[\mathrm {F} _{1}^{\star }\right]&=\mathrm {R} ^{\star },&&\end{aligned}}$

$\mathrm {R} ^{\star }$ étant le résultat de la même substitution dans $\mathrm {R} .$