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CHAPITRE XIV.
D’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathrm {X} _{i}^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw_{i}}}=0,&\left[\mathrm {X} _{i}'^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a47d69c75431d5064a1294cec8565366096a51)
![{\displaystyle \left[\mathrm {Y} _{i}'^{1}\right]=-{\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74f72158283922049898e492abffc69d88d53fd)
D’après nos hypothèses, 
ne dépend pas des 
et des 
ni par
conséquent 
des 
et des 
Donc ![{\displaystyle [\mathrm {X} _{i}^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d65b9755e30487c15fd68412b112e485b87599)
et ![{\displaystyle [\mathrm {X} _{i}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddeb5b24727af6787d12059e902f3f6a9a47a5f5)
sont nuls, et ![{\displaystyle [\mathrm {Y} _{i}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248a79794fe9f87dbbf92dfdd33f239b4e6a0208)
ne dépend que des 
et
des 
et est, par conséquent, une constante.
Des quatre équations (8), les deux premières sont donc satisfaites
d’elles-mêmes ; la quatrième peut nous donner 
puisque
le premier membre est une constante.
Il vient ensuite (en appelant 
le résultat de la substitution
des à la place des 
dans 
)
d’où
| (9)
|
![{\displaystyle n_{i}^{1}=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{1}\right]-{\frac {d\mathrm {R} \star }{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fb3a6d0f2d83de59b8f8d42cef60c5d4e80fc7)
|
|
Les 
doivent être des constantes, et il en est de même des 
il doit donc en être de même des ![{\displaystyle [x_{k}^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b1f3bacc51a1b92ea06e7d2233dedaa4537168)
En effet, pour avoir 
il faut, dans 
(no 134), remplacer
les et les 
par les et les 
ou, ce qui revient au même, si
l’on fait cette substitution dans 
on aura
Or
étant périodique par rapport aux et aux et les 
étant
des constantes ; on aura donc
d’où
![{\displaystyle \left[x_{k}^{1}\right]=\alpha _{1.k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7105b4a8cc2e5f62d4eb87b0d860898450a13ce7)
C.Q.F.D.
