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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

Les corrections sont expliquées en page de discussion

Supposons maintenant que l’on ait déterminé

{\begin{array}{rrrr}\sigma _{i}^{0.1},&\sigma _{i}^{0.2},&\ldots ,&\sigma _{i}^{0.q-1},\\\tau _{i}^{0.1},&\tau _{i}^{0.2},&\ldots ,&\tau _{i}^{0.q-1},\\n_{i}'^{1.0},&n_{i}'^{1.1},&\ldots ,&n_{i}'^{1.q-2},\end{array}}

et que l’on se propose de déterminer

\sigma _{i}^{0.q},\quad \tau _{i}^{0.q},\quad n_{i}'^{1.q-1}

Égalons dans les deux membres des deux dernières équations (19) les termes de degré $q.$ Ces termes seront :

Dans la troisième équation :

Premier membre.	$2\mathrm {A} _{i}\tau _{i}^{0.q}+{}$ quantités connues.
Second membre..	$\Delta ''\sigma _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.q-1}{\frac {d\sigma _{i}^{0.1}}{dw_{i}'}}+{}$ quantités connues.

Dans la quatrième équation :

Premier membre.	$-2\mathrm {A} _{i}\sigma _{i}^{0.q}+{}$ quantités connues.
Second membre..	$\Delta ''\tau _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.q-1}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{i}'}}+{}$ quantités connues.

Nous pouvons donc écrire

(21)

\left\{{\begin{aligned}\Delta ''\sigma _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.0}\tau _{i}^{0.q}&=\varphi _{1}+n_{i}'^{1.q-1}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta ''\tau _{i}^{0.q}+n_{i}'^{1.0}\sigma _{i}^{0.q}&=\varphi _{2}+n_{i}'^{1.q-1}x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\end{aligned}}\right.

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant des fonctions périodiques connues des $w'.$

L’analogie de ces équations avec les équations (9) est évidente. On passe des unes aux autres en changeant ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},$ ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},$ $n_{k}'^{1},$ $n_{i}'^{1},$ en $\sigma _{i}^{0.q},$ $\tau _{i}^{0.q},$ $n_{k}'^{1.0},$ $n_{i}'^{1.q-1}.$

On traitera donc les équations (21) comme les équations (9). La condition du succès de la méthode [à savoir que dans les équations analogues à (10 bis) $\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{2}$ soit nul] doit être remplie d’elle-même, puisque nous avons démontré d’avance la possibilité du développement.

Quand on aura satisfait aux deux dernières équations (19), $\mathrm {R}$ sera une constante (puisque ces deux équations admettent comme intégrale, analogue à celle des forces vives, $\mathrm {R} =\mathrm {const.}$ ) et comme cela doit être vrai quelles que soient les constantes $\Lambda _{0}$