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CHAPITRE XVII.

Considérons dans la série (6) les $p$ premiers termes qui suivent le $n$^ième

$\mathrm {M} _{n}\,\mathrm {M} _{n+1}+\mathrm {M} _{n+1}\,\mathrm {M} _{n+2}+\ldots +\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.$

Soit $\mathrm {S} _{n.p}$ la somme de ces $p$ termes, nous pourrons toujours prendre $n$ assez grand pour que $\mathrm {S} _{n.p}$ soit positif et plus petit que 1.

Considérons alors l’équation de récurrence

$\mathrm {R} _{n+p}=\mathrm {R} _{n+p-1}-\mathrm {R} _{n+p-2}\,\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.$

Cette équation montre que, si l’on a

${\begin{aligned}1>\mathrm {R} _{n+p-1}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-1}),\\1>\mathrm {R} _{n+p-2}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-2})>0,\end{aligned}}$

on aura également

(7)

$1>\mathrm {R} _{n+p}>(1-\mathrm {S} _{n.p}).$

Il suffit donc que l’on choisisse $\mathrm {R} _{n+1}$ et $\mathrm {R} _{n+2}$ de façon à satisfaire à l’inégalité (7) pour que tous les termes $\mathrm {R} _{n+p}$ y satisfassent. $\mathrm {R} _{n+p}$ est donc toujours plus grand que $1-\mathrm {S} _{n.p},$ et, par conséquent, positif. De plus, l’équation de récurrence montre que $\mathrm {R} _{n+p}$ va constamment en décroissant quand l’indice $n+p$ croît. Donc $\mathrm {R} _{n+p}$ tend vers une limite finie et déterminée. Choisissons donc $\mathrm {R} _{n+1}$ et $\mathrm {R} _{n+2},$ $\mathrm {R} _{n+1}'$ et $\mathrm {R} _{n+2}'$ de façon à satisfaire aux inégalités (7) et de façon que le déterminant

$\mathrm {R} _{n+1}\,\mathrm {R} _{n+2}'-\mathrm {R} _{n+2}\,\mathrm {R} _{n+1}'$

ne soit pas nul.

Alors $\mathrm {R} _{n+p}$ et $\mathrm {R} _{n+p}'$ tendront vers deux limites finies, déterminées et différentes de 0, $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '.$

Comme $\mathrm {P} _{n}$ et $\mathrm {Q} _{n}$ satisfont aux mêmes relations de récurrence que $\mathrm {R} _{n}$ et $\mathrm {R} _{n}'$ et que ces relations sont linéaires, nous aurons

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} _{n}&=\mu &&\mathrm {R} _{n}+\mu '&&\mathrm {R} _{n}',\\\mathrm {P} _{n}&=\mu _{1}&&\mathrm {R} _{n}+\mu _{1}'&&\mathrm {R} _{n}',\end{alignedat}}$

$\mu ,\,\mu ',\,\mu _{1},\,\mu _{1}'$ étant des coefficients constants et la limite de notre