259
CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
fraction continue sera
![{\displaystyle {\frac {\mu \mathrm {R} +\mu '\mathrm {R} '}{\mu _{1}\mathrm {R} +\mu _{1}'\mathrm {R} '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e7504a8e361374f7e69a635eb1a04d552ea740)
Pour certaines valeurs de
et
par conséquent, pour
certaines valeurs des coefficients
il peut arriver que cette fraction
soit nulle ou infinie ; mais elle ne se présentera jamais sous
la forme indéterminée
Dans le cas où
et où, par conséquent,
il n’y a presque rien à changer à ce qui précède. Si, par exemple,
on avait
notre fraction continue deviendrait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{1+{\dfrac {\dfrac {\mathrm {M} _{1}}{\mathrm {M} _{3}}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06629a857478a503c9cb1ea7900ceaf49725ab60)
La limite de notre fraction continue étant une fonction de
nous
pouvons l’appeler
et écrire
![{\displaystyle \alpha _{1}=\psi (\lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3d959efa1859087f9a6c0589d1f3fd15c339b6)
On trouverait de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{-1}&=\psi (-\lambda ),&\alpha _{2}&=\psi (\lambda +2),&\alpha _{3}&=\psi (\lambda +4),&\alpha _{n}&=\psi (\lambda +2n-2),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2105b0c6c5bf59fcea408d9789a29e1d755607b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{-2}&=\psi (2-\lambda ),&\alpha _{-n}&=\psi (2n-2-\lambda ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542a16c2f04cac3b1f16156232aa5a88ebbf25be)
ce qui met en évidence la propriété caractéristique de la fonction
à savoir que
![{\displaystyle \psi (\lambda )+{\frac {1}{\psi (\lambda -2)}}={\frac {2(q^{2}-\lambda ^{2})}{q_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7a58110a5a5fcdfca74c82cfd07b4e43e898d7)
Quand on a calculé
et
il est facile de calculer tous
les rapports
et
Si alors on avait la valeur de
on en
déduirait facilement celle de tous les coefficients
Or il est
évident que
satisfera à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {\mathrm {B} _{0}q_{1}}{2}}\left[\psi (\lambda )+\psi (-\lambda )\right]+\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07eeeeb5f9919a58c36fac17d24d4d813055c15)
ce qui détermine ![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094cef709e1302f623cbba5562943ff504dc1e7)
Pour
doit se réduire à
et
à 0 ; d’où l’équation