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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui n’est autre que celui qui est connu sous le nom de clefs algébriques.

Soit à développer le déterminant

$\mathrm {D} =\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right|$

Développons le produit

${\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}a_{pn}\right),$

puis affectons chacun des termes du produit développé, suivant les cas, de l’un des coefficients $+1,$ $-1$ ou $0\,;$ nous obtiendrons ainsi $\mathrm {D} .$

Il est aisé d’en déduire l’inégalité suivante : formons le produit

$\Pi ={\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}|a_{pn}|\right),$

on aura

(6)

$|\mathrm {D} |<\Pi .$

Supposons maintenant qu’on remplace dans le déterminant $\mathrm {D}$ un certain nombre d’éléments par zéro, le déterminant $\mathrm {D}$ deviendra $\mathrm {D} '$ et $\Pi$ deviendra $\Pi '\,;$ un certain nombre de termes s’annuleront dans le développement de $\Pi ,$ et les termes correspondants s’annuleront aussi dans le développement de $\mathrm {D} .$ On aura alors

(7)

$|\mathrm {D} -\mathrm {D} '|<\Pi -\Pi '.$

Telles sont les deux inégalités très simples qui vont nous servir de point de départ.

Pour que le déterminant $\Delta$ d’ordre infini converge, il suffit que le produit $\Pi$ correspondant, qui s’écrit

(8)

$\left\{{\begin{aligned}(1+|a_{21}|+|a_{31}|&+\ldots +|a_{n1}|+\ldots )(1+|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{n2}|+\ldots )\\(1+|a_{13}|+|a_{23}|&+\ldots +)\ldots \end{aligned}}\right.$

converge lui-même ou, d’après un théorème bien connu, que la série

$|a_{21}|+|a_{31}|+|a_{41}|+\ldots +|a_{n1}|+\ldots +|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{13}|+\ldots$

converge elle-même.