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CHAPITRE XVII.

suivante qui détermine $h$

$q^{2}-h^{2}={\frac {q_{1}}{2}}\left[\psi (h)+\psi (-h)\right].$

Une fois $h$ déterminé (et cela se fera en général plus aisément par l’une des méthodes exposées plus haut), on calculerait comme nous venons de l’expliquer les $\alpha _{n}$ et les $\mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}.$

Méthode de M. Hill.

185.Reprenons les équations (1), (2), (3), (4) et (4 bis) du numéro précédent ; ces équations sont linéaires et, bien qu’elles soient en nombre infini, M. Hill a eu la hardiesse de les traiter par les procédés ordinaires de résolution des équations linéaires en nombre fini, c’est-à-dire par les déterminants.

Cette hardiesse est-elle justifiée ? C’est ce que j’ai essayé de faire voir dans une discussion que j’ai publiée dans le Tome XIV du Bulletin de la Société mathématique de France et dont je vais rappeler ici les principaux résultats.

Considérons un Tableau à double entrée, indéfini,

(5)

$\left\{{\begin{array}{ccccccc}1&a_{21}&a_{31}&a_{41}&\ldots \ldots &a_{n1}&\ldots \ldots ,\\a_{12}&1&a_{32}&a_{42}&\ldots \ldots &a_{n2}&\ldots \ldots ,\\a_{13}&a_{23}&1&a_{43}&\ldots \ldots &a_{n3}&\ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots ,\\a_{1n}&a_{2n}&\ldots &\ldots &a_{n-1,n}&1&a_{n+1,n},\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots ,\\\end{array}}\right.$

Dans ce Tableau les termes de la diagonale principale sont tous égaux à 1.

Soit $\Delta _{n}$ le déterminant formé en prenant les $n$ premières lignes et les $n$ premières colonnes du Tableau (5). Je dirai que le Tableau (5) est un déterminant d’ordre infini et que ce déterminant convergé si $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée $\Delta$ quand $n$ croît indéfiniment.

Pour nous rendre compte des conditions de convergence d 'un déterminant, appuyons-nous sur le mode suivant de génération,