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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

On a, dans le cas du n^o 125 et s’il n’y a que deux degrés de liberté, de petits diviseurs de la forme

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}\,;$

remplaçons-y $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$ par des développements analogues aux développements (2) du numéro précédent. Soit, par exemple,

${\begin{aligned}n_{2}^{0}&=\alpha _{2},&n_{1}^{0}&=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}.\end{aligned}}$

Nos petits diviseurs deviendront

$m_{2}\alpha _{2}+m_{1}\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}.$

L’expression

${\frac {1}{m_{2}\alpha _{2}+m_{1}\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}}}$

peut se développer suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et l’on trouve

(5)

${\frac {1}{m_{2}\alpha _{2}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {m_{1}\alpha _{1}}{(m_{2}\alpha _{2})^{2}}}+\mu \,{\frac {(m_{1}\alpha _{1})^{2}}{(m_{2}\alpha _{2})^{3}}}+\ldots .$

Aucun des termes de ce développement ne contient au dénominateur un très petit diviseur ; car $m_{2}\alpha _{2}$ n’est jamais très petit.

Il est clair pourtant que, quelque petit que soit $\mu ,$ on pourra trouver des nombres entiers $m_{1}$ et $m_{2}$ tels que

${\sqrt {\mu }}\,{\frac {m_{1}\alpha _{1}}{m_{2}\alpha _{2}}}>1$

et tels par conséquent que le développement (5) diverge. On s’explique donc comment, en substituant, comme je l’ai fait au numéro précédent, à la place des moyens mouvements leurs développements (2) et ordonnant ensuite suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ on arrive à des séries divergentes.

On rapprochera ce que je viens de dire de ce que j’ai dit aux n^os 109 et suivants.