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CHAPITRE XX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

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CHAPITRE XX.

SÉRIES DE M. BOHLIN.

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213.Dans le Chapitre précédent, nous avons montré comment on pouvait construire la fonction $\mathrm {S} \,;$ pour en déduire les coordonnées en fonctions du temps, il suffit d’appliquer la méthode de Jacobi.

Supposons, pour simplifier un peu, que l’entier que nous avons appelé $m_{1}$ soit égal à 1 et que les autres entiers $m_{i}$ soient nuls ; c’est ce que nous avons fait dans les n^os 205 et 206, et nous savons qu’on peut ramener le cas général à ce cas particulier par le changement de variables (3) de la page 339.

La fonction $\mathrm {S} ,$ définie dans les n^os 204 et suivants, dépend des $n$ variables $y_{i}\,;$ elle contient de plus $n$ constantes arbitraires $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0},$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}$ et $\mathrm {C} _{2}$ ; d’autres constantes pourraient s’introduire dans nos calculs ; à savoir $x_{1}^{0},$ les $\mathrm {C} _{p},$ les $\alpha _{i}^{p}\,;$ mais nous supposerons :

1^o Que $x_{1}^{0}$ est lié aux autres $x_{i}^{0}$ par la relation (4) de la page 344 ;

2^o Que les $\alpha _{i}^{p}$ satisfont à la condition (10) de la page 349 ;

3^o Que les $\mathrm {C} _{p}$ sont exprimés d’une manière quelconque, d’ailleurs arbitraire jusqu’à nouvel ordre, en fonctions des autres constantes.

Ainsi $\mathrm {S}$ sera fonction de

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n}\,;\qquad \mathrm {C} _{2},\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

Posons alors

(1)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\,;&w_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&w_{k}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}\end{aligned}}$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;\;k=2,\,3,\,\ldots ,\,n).$

On tirera de là les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en fonctions des $w,$ des $x_{k}^{0}$ et