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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

et enfin

(5)

$\psi =e^{-\alpha u}{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du.$

Si je pose $\alpha =\beta i,$ $\beta$ sera réel, et j’aurai

(6)

$\;\mathrm {S} _{1}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\left[\cos(\beta u-x)\!\int \!\varphi \cos \beta u\,du+\sin(\beta u-x)\!\int \!\varphi \sin \beta u\,du\right].$

Nous discuterons plus loin les expressions (5) et (6) ; montrons d’abord comment on conduirait les approximations suivantes.

On trouverait

(7)

${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy}}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction connue de $y$ et de $x,$ périodique par rapport à $x$ et que par conséquent nous pourrons mettre sous la forme

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\varphi _{n}e^{nix},$

$n$ étant un entier positif ou négatif et $\varphi _{n}$ une fonction connue de $y\,;$ dans la somme du second membre le nombre des termes est limité. Si nous posons alors

$\mathrm {S} _{2}={\textstyle \sum }\,\psi _{n}e^{nix},$

$\psi _{n}$ ne dépendant que de $y,$ la fonction $\psi _{n}$ devra satisfaire à l’équation différentielle

$in\psi _{n}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi _{n}}{dy}}=\varphi _{n}.$

Cette équation étant tout à fait de même forme que (4 ter) se traitera de la même manière.

Les fonctions $\mathrm {S} _{3},\,\mathrm {S} _{4},\,\ldots$ seraient données ensuite par une équation de même forme que (7) et qui se traiterait de la même manière.

Cette méthode a été employée sous une forme assez différente par M. Gyldén dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.

Discutons maintenant les expressions (5) et (6).