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CHAPITRE XXI.
Considérons d’abord le cas ordinaire où
alors
étant
une fonction périodique de
sera également une fonction périodique
de
dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale
elliptique de
Je pourrai donc écrire
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}e^{im\lambda u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6151d93a19536355aaf0448ba9650e2be9c71764)
étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale
et
étant un entier.
On en déduit
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}{\frac {e^{im\lambda u}}{\alpha +im\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e5a5e5e804684625cea3bb65ea910af985710e)
ou
![{\displaystyle \psi =\sum {\frac {\mu \,\mathrm {A} _{m}}{i}}{\frac {e^{im\lambda u}}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0477c4370b9a177b631f314fd829c1c209340939)
et enfin, si
et
sont le module et l’argument de ![{\displaystyle \mathrm {A} _{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d97eecdf944b466e26f038effc30b8c065e2c8)
(8)
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On voit que chacun des termes de
est développable suivant
les puissances de
On peut chercher à effectuer le développement
puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en
facteur une même puissance de
on obtiendra ainsi,
au point de vue formel, le développement de
suivant les puissances
de
soit
(9)
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On a
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}=\left(-\lambda {\sqrt {8}}\right)^{p}{\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}\sin(m\lambda u+x+\omega _{m}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5da75cbd743f463840655699b85ae19884d7d0b)
C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la
méthode de M. Bohlin. On aurait développé
suivant les puissances
de
et l’on aurait trouvé
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\mathrm {S} _{2}'\mu +\ldots +\mathrm {S} _{p}'\mu ^{\frac {p}{2}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c20650a76108d1e8808cffa5ffabc1f6c6b186e)
La fonction
aurait été à son tour développable suivant les
puissances croissantes de
et le coefficient de
n’aurait été autre
chose que