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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Or on a évidemment

$\delta \mathrm {A} e^{\alpha t}=e^{\alpha t}\left(\delta \mathrm {A} +t\;\delta \alpha \right).$

D’autre part

${\begin{alignedat}{5}\delta x_{i}&={\frac {dx_{i}}{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&{\frac {dx_{i}}{dh}}\,\delta h+\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t}\\[0ex]&&&\qquad \quad +\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{-\alpha _{i}t},\\\delta \alpha &={\frac {d\alpha }{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&\sum {\frac {d\alpha }{d(\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}')}}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}').\end{alignedat}}$

On voit ainsi que $\delta x_{i}$ et $\delta y_{i}$ sont de la forme suivante

${\begin{aligned}\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\,\eta _{1.i}\,;&\delta '\!y_{i}&=\eta _{i}'+t\,\eta _{1.i}'\\\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\,\xi _{1.i}\,;&\delta '\!x_{i}&=\xi _{i}'+t\,\xi _{1.i}',\end{aligned}}$

où $\xi _{i},\,\xi _{1.i},$ $\eta _{i},\,\eta _{1.i}$ sont linéaires par rapport à $\delta \mathrm {C} ,$ $\delta h,$ et aux $\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t}\,;$ et d’autre part développables suivant les puissances des $\textstyle \mathrm {A} e^{\alpha t},$ et des $\textstyle \mathrm {A} 'e^{-\alpha t}$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).$ On trouverait aisément les expressions de $\delta '\!x_{i},$ $\delta '\!y_{i}\,;$ il suffit de changer $\delta$ en $\delta '$ dans celles de $\delta x_{i}$ et $\delta y_{i}.$ On voit alors que l’on pourra écrire l’équation (3) sous la forme

$\mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {D} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{i}'-\xi _{i}'\eta _{i}),\\\mathrm {E} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{1.i}'-\xi _{i}'\eta _{1.i}+\xi _{1.i}\eta _{i}'-\xi _{1.i}'\eta _{i}),\\\mathrm {F} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{1.i}\eta _{1.i}'-\xi _{1.i}'\eta _{1.i})\end{aligned}}$

sont développés suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ et les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)$ et sont d’autre part bilinéaires par rapport aux

${\begin{array}{cccc}\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta \mathrm {C} ,&\delta h,\\\delta '\!\mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta '\!\mathrm {C} ,&\delta '\!h.\end{array}}$

Le premier membre devant être indépendant de $t,$ nous aurons d’abord

$\mathrm {E} =\mathrm {F} =0,$

ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification auxquelles doivent satisfaire les développements des $x_{i}$ et des $y_{i}.$