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CHAPITRE XXV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Ensuite $\mathrm {D}$ doit être indépendant de $t\,;$ il sera donc linéaire par rapport aux déterminants suivants

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}'&-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}&-\delta \mathrm {A} _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}),\\\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} &-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} ),\\\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!h&-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta h)\\(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!h&-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta h)\end{aligned}}\right.$

(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers en permutant $\mathrm {A} _{k}$ avec $\mathrm {A} _{k}',$ ou $\mathrm {A} _{j}$ avec $\mathrm {A} _{j}'$).

Les coefficients seront développés suivant les puissances des $\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}'$ et dépendront en outre de $\mathrm {C} .$

Le temps en effet doit disparaître. Les exponentielles doivent donc disparaître ; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur $\mathrm {A} e^{\alpha t}$ est multiplié par un facteur $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ ou $\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ ou $\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t}.$

On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.

279.Parmi les exposants $\alpha _{k}$ les uns sont imaginaires, les autres réels ; parmi ces derniers les uns sont positifs, les autres négatifs. Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je puis arbitrairement choisir celui que j’appelle $\alpha _{k},$ je ne restreindrai pas la généralité en supposant que $\alpha _{k}$ est positif s’il est réel.

Annulons maintenant les coefficients $\mathrm {A} _{k}$ qui correspondent à un exposant imaginaire, ou à un exposant positif.

Alors on aura, si $\alpha _{k}$ est réel,

$\mathrm {A} _{k}=0,\qquad \mathrm {A} _{k}'\gtrless 0$

et si $\alpha _{k}$ est imaginaire

$\mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'=0.$

Je ferai en outre

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},$

$\mathrm {C} _{0}$ étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique envisagée.

Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VII. Elles contiennent comme constantes arbitraires $h$ et les $\mathrm {A} _{k}'$ qui correspondent aux exposants négatifs.