Si l’on savait intégrer ces équations, on en tirerait
de sorte que et seraient exprimés en fonction du temps et de leurs valeurs initiales
Connaissant la position initiale d’une molécule, on en déduirait ainsi la position de cette même molécule au temps
Considérons des molécules fluides dont l’ensemble forme à l’origine des temps une certaine figure quand ces molécules se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira en se déformant d’une manière continue, et à l’instant l’ensemble des molécules envisagées formera une nouvelle figure
Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu, c’est-à-dire que sont des fonctions continues de il existe alors entre les figures et certaines relations que la continuité rend évidentes.
Si la figure est une courbe ou une surface continue, la figure sera une courbe ou une surface continue.
Si la figure est un volume simplement connexe, la figure sera un volume simplement connexe.
Si la figure est une courbe ou une surface fermée, il en sera de même de la figure
Examinons en particulier le cas des liquides ; c’est celui où le fluide est incompressible, c’est-à-dire où le volume d’une masse fluide est invariable.
Supposons alors que la figure soit un volume, au bout du temps la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un volume différent qui ne sera autre chose que la figure
Le volume de la masse fluide n’a pas dû changer ; donc et ont même volume : c’est ce que l’on peut écrire
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la première intégrale est étendue au volume et l’autre au volume
