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INVARIANTS INTÉGRAUX.

Nous dirons alors que l’intégrale

$\iiint dx\,dy\,dz$

est un invariant intégral.

On sait que la condition d’incompressibilité peut s’exprimer par l’équation

(3)

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {du}{dz}}=0.$

Les deux équations (2) et (3) sont donc équivalentes.

Revenons au cas des gaz, c’est-à-dire au cas où le volume d’une masse fluide est variable ; c’est alors la masse qui demeure invariable, de sorte que si l’on appelle $\rho$ la densité du gaz on aura

(4)

$\iiint \rho \,dx\,dy\,dz=\iiint \rho _{0}\,dx_{0}\,dy_{0}\,dz_{0}.$

La première intégrale est étendue au volume $\mathrm {F} ,$ la seconde au volume $\mathrm {F} _{0}.$ En d’autres termes, l’intégrale

$\iiint \rho \,dx\,dy\,dz$

est un invariant intégral.

Dans ce cas, le mouvement étant permanent, l’équation de continuité s’écrit

(5)

${\frac {d(\rho u)}{dx}}+{\frac {d(\rho v)}{dy}}+{\frac {d(\rho w)}{dz}}=0.$

Les conditions (4) et (5) sont donc encore équivalentes.

234.Un second exemple nous est fourni par la théorie des tourbillons de Helmholtz.

Supposons que la figure $\mathrm {F} _{0}$ soit une courbe fermée, il en sera de même de la figure $\mathrm {F} .$

Supposons que le fluide, compressible ou non, soit à une température constante et ne soit soumis qu’à des forces admettant un potentiel ; il faut alors, pour que le mouvement reste permanent, que $u,$ $v,$ $w$ satisfassent à certaines conditions qu’il est inutile de développer ici.