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STABILITÉ À LA POISSON.
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \sum {\frac {d(\mathrm {MX} _{i}')}{dx_{i}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbaf64b0de90ffcf5d953e456654bd6bfbfbc90)
ce qui veut dire que les équations
(1 bis)
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admettent l’invariant intégral
(2 bis)
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Supposons que la fonction
soit toujours positive et qu’elle
tende vers zéro quand le point
s’éloigne indéfiniment,
et cela assez rapidement pour que l’intégrale (2 bis)
étendue au domaine
soit finie.
Les conclusions des nos 297 et suivants sont applicables aux
équations (1 bis). Ces équations (1 bis) jouissent donc de la stabilité
à la Poisson. Comme, d’ailleurs, elles définissent les mêmes
trajectoires que les équations (1), on peut dire, dans un certain
sens, que les trajectoires du point
jouissent aussi de la stabilité
à la Poisson.
Je précise ma pensée.
Nous avons
(3)
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Comme
est essentiellement positif,
croîtra avec
mais,
comme
peut s’annuler, il peut arriver que l’intégrale du second
membre de (3) soit infinie.
Supposons, par exemple, que
s’annule pour
alors
sera infini pour
ou pour
![{\displaystyle t'>\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598ef95e6b83b42587ea745e33a39daccbc060b4)
Considérons la trajectoire du point
nous pouvons la diviser
en deux parties, la première que
parcourt depuis l’époque
jusqu’à l’époque
la seconde
que
parcourt
depuis l’époque
jusqu’à
Le point
décrira la même trajectoire que
mais il n’en
décrira que la partie
car il ne pourrait atteindre la partie
qu’au bout d’un temps
infini.