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CHAPITRE XXVIII.

nant l’un des déterminants

${\begin{array}{c}\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{j}'-\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {B} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CA} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DA} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CB} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DB} _{k}',\end{array}}$

car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l’une des exponentielles

$e^{(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{(\alpha _{k}-\alpha _{j})t},\quad e^{-(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{\pm \alpha _{k}t}$

et ne pourrait se réduire à une constante.

Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme sont donc

$\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {CD} '-\mathrm {DC} ',$

de sorte que je puis écrire

(2)

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-y_{i}'x_{i}''\right)=\sum \mathrm {M} _{k}\left(\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}'\right)+\mathrm {N} \left(\mathrm {CD} '-\mathrm {DC} '\right),$

les $\mathrm {M} _{k}$ et $\mathrm {N}$ étant des.constantes.

Je dis que $\mathrm {M} _{k}$ ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne dépendrait pas des constantes $\mathrm {A} _{k},$ $\mathrm {A} _{k}',$ $\mathrm {B} _{k},$ $\mathrm {B} _{k}'\,;$ si alors nous supposions que toutes les constantes $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {D} '$ sont nulles à l’exception des deux constantes $\mathrm {A} _{k}'$ et $\mathrm {B} _{k}'$ auxquelles nous attribuerions des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une relation

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-x_{i}'y_{i}''\right)=0$

qui serait linéaire par rapport aux inconnues $x_{i}'$ et $y_{i}'$ et où les coefficients $x_{i}''$ et $y_{i}''$ seraient des fonctions données du temps, différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque les $2n$ variables $x_{i}'$ et $y_{i}'$ sont indépendantes. Donc $\mathrm {M} _{k}$ ne peut être nul.

Si nous changeons $t$ en $t+\mathrm {T} ,$ nous obtiendrons de nouvelles solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles s’obtiendront en changeant les constantes

$\mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D}$

en

$\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {C} +\mathrm {DT} ,\quad \mathrm {D} .$

Pour avoir

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right),$

il suffira donc de faire dans l’expression (1),

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}'&=\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {B} _{k}'&=\mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {C} '&=\mathrm {C} +\mathrm {DT} ,&\mathrm {D} '&=\mathrm {D} \end{aligned}}$