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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

d’où

(3)

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right)=\sum \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}-\mathrm {NTD} ^{2}.$

324.Pour discuter l’équation (3), il faut distinguer plusieurs cas :

1^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont réels ; les fonctions

$\theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''$

sont alors aussi réelles.

2^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont purement imaginaires et le carré $\alpha _{k}^{2}$ est réel négatif.

Alors les fonctions $\theta _{k.i}$ et $\theta _{k.i}''$ $\theta _{k.i}'$ et $\theta _{k.i}'''$ sont imaginaires conjuguées.

3^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont complexes. Alors nous aurons, parmi les exposants caractéristiques, les exposants $\pm \alpha _{j}$ qui seront imaginaires conjugués des exposants $\pm \alpha _{k},$ et

$\theta _{j.i},\quad \theta _{j.i}',\quad \theta _{j.i}'',\quad \theta _{j.i}'''$

seront imaginaires conjugués de

$\theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''.$

Supposons maintenant les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ réels. Pour le calcul des constantes $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} ,$ nous aurons $2n$ équations que l’on obtiendra en faisant dans l’équation qui donne $x_{i}',$ par exemple,

$t=0,\quad t=\mathrm {T} ,\quad t=2\mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad t=(2n-1)\mathrm {T} .$

Ces $2n$ équations sont linéaires par rapport aux $2n$ inconnues $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} .$ Les seconds membres sont réels et les coefficients sont réels ou imaginaires conjugués deux à deux.

Quand on change ${\sqrt {-1}}$ en $-{\sqrt {-1}}$ :

1^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ ne changent pas quand $\alpha _{k}$ est réel ;

2^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ se permutent quand $\alpha _{k}$ est purement imaginaire ;

3^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ se changent en $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {B} _{j}$ quand $\alpha _{k}$ est complexe et imaginaire conjugué de $\alpha _{j}.$

Donc :

1^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont réels quand $\alpha _{k}$ est réel ;

2^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont imaginaires conjugués quand $\alpha _{k}$ est purement imaginaire ;