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CHAPITRE XXVIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui seuls m’intéressent, je prends les deux termes

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1},$

et je néglige les autres termes de $\mathrm {V}$ qui ne peuvent influer sur $\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.$

Je tire des équations (2)

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}$

en séries ordonnées suivant les puissances de $x_{1}$ et $x_{2}\,;$ je conserve seulement dans ces séries, les termes qui sont de degré 1 par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$ et de degré 0 ou 1 par rapport à $z\,;$ les autres termes peuvent être négligés car ils n’influent pas sur

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.$

Les équations (2) se réduisent alors à

${\begin{aligned}2\mathrm {A} _{3}x_{3}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{3}}}&=0,\\2\mathrm {A} _{4}x_{4}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{4}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\\2\mathrm {A} _{n}x_{n}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{n}}}&=0.\end{aligned}}$

Si, dans $\mathrm {U} _{0},$ nous substituons à la place de $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n},$ les valeurs ainsi obtenues, nous voyons que $\mathrm {U} _{0}$ devient divisible par $z^{2}\,;$ quant à $\mathrm {U} _{1}$ il se réduit à

$\mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2},$

où $\mathrm {U} _{1}^{0}$ n’est autre chose que ce que devient $\mathrm {U} _{1}$ quand on y annule $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et où $\mathrm {U} _{1}^{1}$ et $\mathrm {U} _{1}^{2}$ sont deux autres formes quadratiques par rapport aux $x.$ On aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}&=z^{2}\mathrm {U} _{0}^{2}\,;&\mathrm {U} _{1}&=\mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2}\end{aligned}}$

et

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}+z^{2}\left(\mathrm {U} _{0}^{2}+\mathrm {U} _{1}^{1}\right)+z^{3}\mathrm {U} _{1}^{2}.$

Pour le calcul de $\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1},$ je puis négliger les deux derniers termes qui sont divisibles par $z^{2}$ et $z^{3},$ et j’aurai simplement

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}.$

Je me propose de démontrer que $\mathrm {V}$ présente un maximum